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图形变换的研究与应用综述
课程设计(论文)
题目:
图形变换的研究与应用综述
2013年12月
摘要
计算机图形学(ComputerGraphics,简称CG)是一种使用数学算法将二维或三维图形转化为计算机显示器的栅格形式的科学。
简单地说,计算机图形学的主要研究内容就是研究如何在计算机中表示图形、以及利用计算机进行图形的计算、处理和显示的相关原理与算法。
计算机图形学作为计算机科学与技术学科的一个独立分支已经历了近40年的发展历程。
一方面,作为一个学科,计算机图形学在图形基础算法、图形软件与图形硬件三方面取得了长足的进步,成为当代几乎所有科学和工程技术领域用来加强信息理解和传递的技术和工具。
图形变换是计算机图形学的基础内容之一。
图形在计算机上的显示可以比喻为用假想的照相机对物体进行拍照,并将产生的照片贴在显示屏上的指定位置进行观察的过程。
三维物体要在屏幕上显示首先要做的就是投影变换。
此外,还要求能够对物体进行旋转、缩放、平移变换。
绘图过程还要用窗口规定显示物体的哪个部分,用视区来规定将窗口中的内容显示在屏幕上的什么位置。
因此,通过图形变换,可由简单图形生成复杂图形,可用二维图形表示三维形体,甚至可以对静态图形经过快速变换而获得图形的动态显示效果,可见图形变换在计算机图形学中的重要之处。
图形变换的方法主要包括:
齐次坐标技术,二、三维图形几何变换;平行投影、透视投影变换;线段的Cohen-Sutherland裁剪、Liang-Basky裁剪算法、多边形的逐边裁剪、双边裁剪算法。
本文主要详细介绍了图形变换的齐次坐标技术,二、三维的几何变换包括平移、比例和旋转变换,投影变换的理论知识。
并介绍了图形变换在现代科技中的应用及其发展方向。
关键词:
计算机图形学、图形变换、几何变换、投影变换、
一、图形变换的概念
图形变换一般是指对图形的几何信息经过几何变换后产生新图形。
对于线框图的变换,通常以点变换作为基础,把图形的一系列顶点作几何变换后,连接新的顶点系列即可产生新的图形。
一般来说,图形从输入到输出贯串着各种变换。
被描述的对象所处的环境和显示屏幕的环境是不同的,不仅位置不同,大多是情况下,尺寸也是不同的。
这要求协调二者的关系。
此外,三维的图形要在二维的图纸或屏幕上表示出来要通过投影变换。
为了从不同的方向去观察对象,要求能对对象做旋转变换,放大缩小和平移变换更是经常要用的。
绘图过程中还要用窗口来规定要显示的内容,用视区来规定在屏幕上或图纸上显示的位置。
本章学习实现上述功能的算法。
计算机产生图形的过程大致可分为三步:
计算机对图形数据进行处理,就是图形处理。
图形变换---就是要变换图形的几何关系(即改变顶点坐标),同时保持图形的原拓扑关系不变.图形变换的主要方法主要包括以下几种:
在数字化过程中,由于地图的定向,即数字化仪坐标系与地图投影坐标系不一致所产生的误差,可以通过坐标旋转得到校正也就是用户根据获得或设计的原始图像,按照需要产生大小、形状和位置的变化。
对于输入计算机中的图形数据,有时因为比例尺不符,或为了实现地图的合成与排版,需要对这些图形数据进行几何变换(线性变换),以满足地理信息系统应用的要求。
此外,地理信息系统所要表达、管理及分析的对象是空间实体,为了能在二维空间(屏幕或绘图仪)上表示三维物体,就需进行三维空间到二维空间的变换,这种变换称为图形变换。
在遥感影像处理中影像预处理是最基础的工作但同时也是最重要的工作。
其中影像的几何纠正更是重中之重。
影像配准是一向很繁重的工作且经验和技巧也很重要。
2几何变换
1、齐次坐标
采用齐次坐标系可以将平移、比例、旋转这三种基本变换都以相同的矩阵形式来表示,并统一地用矩阵乘法来实现变换的组合。
齐次坐标系在三维透视变换中有更重要的作用,它使非线形变换也能采用线形变换的矩阵表示形式。
所谓齐次坐标就是将一个原本是n维的向量用一个n+1维向量来表示。
实数。
显然一个向量的齐次表示是不唯一的,齐次坐标的h取不同的值都表示的是同一个点,比如齐次坐标[8,4,2]、[4,2,1]表示的都是二维点[2,1]。
那么引进齐次坐标有什么必要,它有什么优点呢?
它提供了用矩阵运算把二维、三维甚至高维空间中的一个点集从一个坐标系变换到另一个坐标系的有效方法。
它可以表示无穷远的点。
n+1维的齐次坐标中如果h=0,实际上就表示了n维空间的一个无穷远点。
对于齐次坐标[a,b,h],保持a,b不变,
点沿直线ax+by=0逐渐走向无穷远处的过程。
2、二维图形的几何变换
二维几何变换包括平移、比例和旋转变换。
我们假设变换前和变换后的图形坐标分别用(x,y)和(x',y')表示。
(1)平移、比例和旋转变换
平移变换:
如图5.13(a)所示,它使图形移动位置。
新图P'的每一图元点是原图形P中每个图元点在x和y方向分别移动Tx和Ty产生,所以对应点之间的坐标值满足
和
(5.8)
和
(5.6)
可利用矩阵形式表示为
(5.7)
歼击为P'=P+T,T=[TxTy]是平移变换矩阵(行矢量)。
(2)比例变换:
图像比例缩放是指将给定的图像在x轴方向按比例缩放fx倍,在y轴方向按比例缩放fy倍,从而获得一幅新的图像。
如图5.13(b)所示,它改变显示图形的比例。
新图形P'的每个图元点的坐标值是原图形P中每个图元点的坐标值分别乘以比例常数Sx和Sy,所以对应点之间的坐标值满足
(5.9)
简记成P’=P.S,其中S是比例变换矩阵。
(1).图像的比例缩小变换
从数码技术的角度来说,图像的缩小是将通过减少像素个数来实现的,因此,需要根据所期望缩小的尺寸数据,从原图像中选择合适的像素点,使图像缩小之后可以尽可能保持原有图像的概貌特征不丢失。
(2)图像的比例放大变换
图像在缩小操作中,是在现有的信息里如何挑选所需要的有用信息。
而在图像的放大操作中,则需要对尺寸放大后所多出来的空格填入适当的像素值,这是信息的估计问题,所以较图像的缩小要难一些。
由于图像的相邻像素之间的相关性很强,可以利用这个相关性来实现图像的放大。
与图像缩小相同,按比例放大不会引起图像的畸变,而不按比例放大则会产生图像的畸变,图像放大一般采用最近邻域法和线性插值法。
①最近邻域法
一般地,按比例将原图像放大k倍时,如果按照最近邻域法则需要将一个像素值添在新图像的k×k的子块中.
②线性插值法
为了提高几何变换后的图像质量,常采用线性插值法。
该方法的原理是,当求出的分数地址与像素点不一致时,求出周围四个像素点的距离比,根据该比率,由四个邻域的像素灰度值进行线性插值
旋转变换:
图形相对坐标原点的旋转如图5.13(c)所示,他产生图形位置和方向的变动。
新图形P'的每个提远点是原图形P每个图元点保持距离坐标原点距离不变并绕原点旋转Q角产生的,以逆时针方向旋转为正角度。
对应图远点的坐标值满足
和
(5.10)
用矩阵形式表示为
(5.11)
简记为P'=P.R,其中R是旋转变换矩阵。
(3)变换的组合
在齐次坐标中三种基本变换都用矩阵乘法表示,从而可以通过基本变换矩阵的连乘来实现变换组合,以达到特殊变换的目的。
例如,将图形绕任意点A
进行旋转变换。
该变换可分为三个步骤来实现:
利用平移变换
移动图形,使点
移至坐标原点;利用旋转变换
产生绕在坐标原点的A点的旋转;再利用平移变换
)移动旋转后的图形,使A点回到(
处。
任意矩阵的乘法满足结合律不满足交换律,在进行连续变换时一定要按变换次序对变换矩阵求积后才得总的变换矩阵。
这和在图形变换中不同次序的变换会产生不同的变换结果一致。
3、三维几何变换
1.由于用齐次坐标表示,三维几何变换的矩阵是一个4阶方阵,其形式如下:
1)平移变换
参照二维的平移变换,我们很容易得到三维平移变换矩阵:
2)缩放变换
直接考虑相对于参考点(xf,yf,zf)的缩放变换,其步骤为:
A.将平移到坐标原点处;
B.进行缩放变换;
C.将参考点(xf,yf,zf)移回原来位置
则变换矩阵为:
3)绕坐标轴的旋转变换
三维空间的旋转相对要复杂些,考虑右手坐标系下相对坐标原点绕坐标轴旋转q角的变换:
A.绕x轴旋转
B.绕y轴旋转
C.绕z轴旋转
三维空间的平移、旋转及缩放示意图
4)绕任意轴的旋转变换
设旋转轴AB由任意一点A(xa,ya,za)及其方向数(a,b,c)定义,
可以通过下列步骤来实现P点的旋转:
A.将A点移到坐标原点。
B.使AB分别绕X轴、Y轴旋转适当角度与Z轴重合。
D.作上述变换的逆操作,使AB回到原来位置。
是AB在YOZ平面与XOZ平面的投影与Z轴的夹角。
3图形的投影变换
1、投影变换分类
把三维物体变为二维图形表示的过程称为投影变换。
投影变换的分类情况如下表所示:
2、世界坐标与观察坐标
物体在空间的表示是用世界坐标来表示,但是当人们去观察物体时,坐标系就转化为观察坐标系。
这就需要在两个坐标系之间进行转换,可以通过平移、旋转实现从世界坐标到观察坐标的变换。
平移后,用单位矢量法得到旋转矩阵:
A.取Zv轴向为观察平面的法向VPN,其单位矢量n=VPN/|VPN|=(nx,ny,nz)
B.取Xv轴向为观察方向PREF,其单位矢量u=PREF/|PREF|=(ux,uy,uz)
C.取Yv轴向的单位矢量v=u×n=(vx,vy,vz)
因此世界坐标到观察坐标到变换矩阵为:
3、正平行投影(三视图)
投影方向垂直于投影平面的投影称为正平行投影,我们通常所说的三视图均属于正平行投影。
三视图的生成就是把x、y、z坐标系的形体投影到z=0的平面,变换到u、v、w坐标系。
一般还需将三个视图在一个平面上画出,这时就得到下面的变换公式,其中(a,b)为u、v坐标系下的值,tx、ty、tz均如图中所示。
1)主视图
2)俯视图
3)侧视图
三视图
4、斜平行投影
投影方向不垂直于投影平面的平行投影被称为斜平行投影,现在让我们来推导斜平行投影的变换矩阵。
下图中的Z=0的坐标平面为观察平面,点(x,y)为点(x,y,z)在观察平面上的正平行投影坐标,点(x´,y´)为斜投影坐标。
(x,y)与(x´,y´)的距离为L。
透视投影
透视投影的视线(投影线)是从视点(观察点)出发,视线是不平行的。
不平行于投影平面的视线汇聚的一点称为灭点,在坐标轴上的灭点叫做主灭点。
主灭点数和投影平面切割坐标轴的数量相对应。
按照主灭点的个数,透视投影可分为一点透视、二点透视和三点透视。
下面我们来推导简单的一点透视的投影公式。
从上图P点在观察平面上的投影我们可以得到描述P´点的参数方程:
用齐次坐标表示为:
三、图形变换的应用及发展前沿
1.智能CAD
CAD的发展也显现出智能化的趋势,就目前流行的大多数CAD软件来看,主要功能是支持产品的后续阶段一一工程图的绘制和输出,产品设计功能相对薄弱,利用AutoCAD最常用的功能还是交互式绘图,如果要想进行产品设计,最基本的是要用其中的AutoLisp语言编写程序,有时还要用其他高级语言协助编写,很不方便。
而新一代的智能CAD系统可以实现从概念设计到结构设计的全过程。
2.计算机辅助设计与制造
CAD/CAU是计算机图形学在工业界最广泛、最活跃的应用领域。
计算机图形学被用来进行土建工程、机械结构和产品的设计,包括设计飞机、汽车、船舶的外形和发电厂、化工厂等的布局以及电子线路、电子器件等。
在电子工业中,计算机图形学应用到集成电路、印刷电路板、电子线路和网络分析等方面的优势是十分明显的。
3.计算机动画艺术
计算机动画技术的发展是和许多其它学科的发展密切相关的。
计算机图形学、计算机绘画、计算机音乐、计算机辅助设计、电影技术、电视技术、计算机软件和硬件技术等众多学科的最新成果都对计算机动画技术的研究和发展起着十分重要的推动作用。
计算机动画的一个重要应用就是制作电影特技可以说电影特技的发展和计算机动画的发展是相互促进的。
计算机动画的应用领域十分宽广除了用来制作影视作品外,在科学研究、视觉模拟、电子游戏、工业设计、教学训练、写真仿真、过程控制、平面绘画、建筑设计等许多方面都有重要应用。
4.科学计算可视化
科学技术的迅猛发展,数据量的与日俱增使得人们对数据的分析和处理变得越来越难,人们无法从数据海洋中得到最有用的数据,找到数据的变化规律,提取最本质的特征。
但是如果能将这些数据用图形的形式表示出来,情况就不一样了,事物的发展趋势和本质特征将会很清楚地呈现在人们面前。
5.虚拟现实
“虚拟现实”(VirbualReMity)-词是由美国喷气推动实验室(VPL)的创始人拉尼尔(JaronLanier)首先提出的,在克鲁格(MyrenKruege070年代中早期实验里.被称为人工现实”(AfitifiCialrealioy);而在吉布森(WiUianGibson)l984年出版的科幻小说Neuremanccr里,又被称为“可控空间”(Cyberspaee)。
虚拟现实技术是一门多学科交叉和综合集成的新技术。
因此,它的发展将取决于相关科学技术的发展和进步虚拟现实技术最基本的要求就是反映的实时性和场景的真实性。
但一般来说,实时性与真实性往往是相互矛盾的。
6.用户接口
用户界面是计算机系统中人与计算机之间相互通讯的重要组成部分。
以用户为中心的系统设计思想.增进人机交互的自然性,提高人机交互的效率和带宽是用户界面的研究方向。
人体的表面就是人机界面。
人体的任何部分都应成为人机对话的通道。
虚拟现实显示是关键所在,这不仅要求软件来实现,更主要的是硬件上的实现。
概括起来虚拟现实的人机交互通道可分为两个方面:
主要的感觉通道和主要作用通道。
4、小结
本文主要详细介绍了图形变换的概念以及图形变换的各种方法,比如二维几何变换、三维几何变换、投影变换等,概述了图形变换在计算机图形学中的重要地位及在现代科技中的主要应用。
图形变换一般是指对图形的几何信息经过几何变换后产生新图形。
对于线框图的变换,通常以点变换作为基础,把图形的一系列顶点作几何变换后,连接新的顶点系列即可产生新的图形。
计算机图形学的主要研究内容就是研究如何在计算机中表示图形、以及利用计算机进行图形的计算、处理和显示的相关原理与算法。
计算机图形学在图形基础算法、图形软件与图形硬件三方面取得了长足的进步,成为当代几乎所有科学和工程技术领域用来加强信息理解和传递的技术和工具。
因此,通过图形变换,可由简单图形生成复杂图形,可用二维图形表示三维形体,甚至可以对静态图形经过快速变换而获得图形的动态显示效果,可见图形变换在计算机图形学中的重要之处。
参考文献
1孙家广,许隆文.计算机图形学.清华大学出版社,1986
2樊映川等.高等教学讲义(上).人民教育出版社,1977
3MortensonME.ComputerGraphics:
AnIintroductiontotheMathematicsandGeometryTndustrialinc.1989
4StevenHarrington.ComputerGraphics.AProgrammingApproach.McGraw-Hillimc.1983
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