导数中分类讨论的三种常见类型.docx

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导数中分类讨论的三种常见类型

导数中分类讨论的三种常见类型

高中数学中，分类讨论思想是解决含有参数的复杂数学问题的重要途径，而所谓分类讨论，就是当问题所给的研究对象不能进行统一的研究处理时，对研究对象按照某种标准进行分类，然后对每一类的对象进行分别的研究并得出结论，最后综合各类的研究结果对问题进行整体的解释•

几乎所有的高中生都对分类讨论思想有所了解，而能正确运用分类讨论思想解决问题的不到一半，不能运用分类讨论思想解决具体问题的主要原因是对于一个复杂的数学问题不知道该不该去分类以及如何进行合理的分类，下面根据导数中3种比较常见的分类讨论类型谈谈导数中如何把握对参数的分类讨论

1.导函数根的大小比较

实例1：

求函数fx3x3子“axa，xR的单调区间-

分析：

对于三次或三次以上的函数求单调区间，基本上都是用求导法，所以对

函

数

fx

13

x

1a2

x

axa进行求导可以得

到导函数

3

2

1f

x

x21

ax

a，

观察可知导函数可以因

式分解为

1f

x

x21

ax

ax

ax1，由此可知方程f'x

0有两个实根

x1a，x21，由于a的范围未知，要讨论函数fx1x3--x2axa的

32

单调性，需要讨论两个根的大小，所以这里分a1，a1，a1三种情况进行讨论：

当a1时，fx，f'x随x的变化情况如下:

x

，-

a

a,1

-1

1,

f'x

+

0

—

0

+

fx

单调递增

极大值

单调递减

极小值

单调递增

所以，函数fx的单调递增区间为，a和1,，单调递减区间为a,1当a1时，f'x0在R上恒成立，所以函数fx的单调递增区间为

，没有单调递减区间•

当a1时，fx，f'x随x的变化情况如下:

x

1

-1

1,a

a

a,

f'x

+

0

—

0

+

fx

单调递增

极大值

单调递减

极小值

单调递增

所以，函数fx的单调递增区间为，1和a,,单调递减区间为1,a.

综上所述，

a和1,，单调递减区间为

，没有单调递减区间；

1和a,，单调递减区间为

当a1时，函数fx的单调递增区间为

a,1；

当a1时，函数fx的单调递增区间为

当a1时，函数fx的单调递增区间为

1,a.

点评：

这道题之所以要分情况讨论，是因为导函数两个根的大小不确定，而两根的大小又会影响到原函数的单调区间，而由于aR，所以要分a1，a1，a1三种情况，这里注意不能漏了a1的情况.

2.导函数的根的存在性讨论

实例2:

求函数fxx3ax2x的单调区间

分析：

这道题跟实例1一样，可以用求导法讨论单调区间，对函数fxx3ax2x进行求导可以得到导函数f'x3x22ax1，观察可以发

现，该导函数无法因式分解，故无法确定方程3x22ax10是否有实根，因

此首先得考虑一下方程是否有解，所以我们可以求出根判别式4a212，

若4a2120即3a3，方程3x22ax10没有实根，即f'x0

在R上恒成立，所以fx在R上单调递增；

若4a2120即a.3，方程3x22ax10有两个相等的实根

x1x2-，即f'x0在R上恒成立，所以fx在R上单调递增；

3

若4a2120即a■^或a-3，则方程3x22ax10有两个不同实根，

由求根公式可解得Xi亠a3,X2—a3，显然XiX2

33

此时fx，f'X随X的变化情况如下:

X

X1

X1

X1,X2

X2

X2,

f'X

+

0

—

0

+

fX

单调递增

极大值

单调递减

极小值

单调递增

综上所述，当.3a,3时，fX的单调递增区间为，，没有单调递

减区间；

当ax3或a,3时，fx的单调递增区间为，一aa3和

3

点评：

实例2和实例1都是求三次函数的单调区间，但是两道题分类讨论的情况不一样，实例2主要是因为导函数所对应的方程根的情况未知，所以需要讨论根的存在性问题，而实例1是因为导函数所对应的方程可以因式分解，所以可以确定方程的根肯定是存在的，因此不用再讨论，而需要讨论的是求出来两个根的大小关系，实例2则相反，实例2在方程有两个不同实根的情况下求出来的两根大小已知，所以不用再讨论。

通过这两道实例可以知道，在分情况讨论的时候弄清楚讨论的必要性是很重要的，不能以偏概全。

3.导函数的根与给定区间的关系

实例3：

已知函数fxX2lnx，函数gxfxX2ax,a0，若x0,e

时，gx的最小值是3,求实数a的值.（e是自然对数的底数）

分析：

由题意可以求得gxaxInx，且函数gx的定义域为0,，已知

的是函数gx在0,e上的最小值是3,而函数最值的讨论通常是以单调性的讨

论为基础，所以可以先考虑函数gx在0,e上的单调性，因此对gx进行求导，得到导函数g'xa-aX―1，因为a0，所以令gx0解得x—，

xxa

则gX，g'X随X的变化情况如下：

x

0,1

a

1a

1a

g'x

—

0

+

gx

单调递减

极小值

单调递增

这是gx在0,上的单调性，而要讨论其在0,e上的单调性，这里涉及到e

跟1的大小，也即是1是在给定区间内还是在区间外的冋题，可以知道，题目

aa

中并没有条件可以让我们确定e跟1的大小关系，所以这里需要分情况讨论：

a

11

若e一即0a-，则gx在0,e上单调递减，gxmingeae1，令ae

4

ae13，解得a—（舍去）

e

1iii

若e—即a-，则gx在0,上单调递减，在，e上单调递增，所以

aeaa

gx皿山g11lna，令1Ina3，解得ae2，满足条件.

a

综上所述，所求实数a的值为e2.

点评：

这道题实质上就是讨论函数在给定区间上的单调性，在这道例题中，导

函数存在唯一的实根，所以可以确定原函数gx在定义域0,上的单调性，

而要讨论其在区间0,e的单调性，则涉及到e跟1的大小关系，也就是确定导

a

函数等于零的点跟给定区间的关系.这道题中如果把a的范围改为aR，问题就

稍微复杂一点，首先得考虑导函数g'xa-■ax—1根是否存在，可以发现，

xx

如果a0，则不存在导函数等于零的点，此时g'xa-10,函数gx

xx

1

在0,e上单调递减；而如果a0，则导函数存在唯一的实根-，其中a0又

a

11

包含了两种情况：

a0和a0,如果a0，那么—0,—0,，此时

aa

g'xa1ax10，函数gx在0,e上单调递减；至于a0的情况，讨

xx

论如实例3.

分类讨论思想是对研究对象进行分类，简化所要研究的对象，它是解决问

题的一种逻辑方法，也是锻炼人思维模式的方法，但在分类讨论时要明确讨论

的对象以及按什么标准进行分类，做到不重复、不遗漏.导数中的分类讨论在历年高考中也是经常出现，主要是在研究函数的单调性、极值与最值中应用比较多.

导数问题中分类讨论的方法

摘要：

近年，高考解答题对导数部分的考察几乎都会涉及到对某个参数的分类讨论，而

考生的在这一题中的得分率并不高。

主要原因有两个，一是看不懂题意，二是不会分类讨论。

而分类讨论在高考中处于重要的"地位”：

分类讨论思想是历年高考的必考内容，它不仅是

高考的重点与热点，而且是高考的难点。

每年在中高档题甚至在低档题中都设置分类讨论问题，通过分类讨论考查推理的严谨性和分析问题解决问题的能力。

本人在几年的教学生涯中，

对这类问题作了一定的探讨，并总结出了导数问题中解答问题的步骤及引起分类讨论的原因。

关键词：

单调区间，极值，分类，最值，取值范围为了更好的解决导数中分类讨论的问题，笔者建议按照下列步骤来解决导数解答题

（1）求导f'（X）

（2）令f'（x）=O

（3）求出f'（x）=O的根

（4）作出导数的图像或等价于导数的图像（一般是二次函数或一次函数的图像）

（5）由图像写出函数的单调区间，极值，或最值

规范了步骤后，在解题过程中涉及到的分类讨论一般有：

方程f'（x）=0的类型引起的讨论、

根的存在引起的讨论、根的大小引起的讨论、画图像时开口或斜率的讨论、根与给定区间

或定义域的端点的大小的讨论）下面笔者结合若干例题对上述的分类讨论方法作一一阐述

例1:

若函数

f（x）ax

2,Inx

x

（a>0），求函数的单调区间。

解：

f（X）

21

2axx

2/c、

a2

2

（x0）

xx

x

令f'（x）=0,

即：

ax2

x20

（注意这里方程的类型需要讨论）

若a0,则x2,作出g（x）x2的图像，由图像可知f（x）在（0,2）上为减函数，在（2，+g）上为增函数

若a0,贝y18a0,

由ax2x20，得

11_8a11_8a

禺<0,X2>0

2a2a

作出h（x）ax2x2的图像，由图像可知

f（x）在（0,X2）上为减函数，在（X2,）上为增函数

综上所述：

a0时，f（x）在（0,2）上为减函数，在（2,+©上为增函数

在（118a,）上为增函数

2a

例2：

（08全国高考）已知函数f（x）=x3+ax2+x+1,a€R，讨论函数f（x）的单调区间

2

解:

f（x）3x2ax1

f（x）3x22ax1

0（注意这里根的存在需要讨论）

4a212

4a2120，即

f（x）在R上为增函数

4a2120,即a

f（x）3x22ax1

a.a23

，x2

f（X）在（

在（

综上所述:

0得,

2

a.a3

3

aa23-a

.a2

、3a

..3或a

aa23

aa—3,）上为增函数

3

3

）上为减函数

3时，f（x）在R上为增函数

.3时,f（x）在（

a

3

.a23

1~2

上为增函数，在（一—

3

——2

3-a.a3

）上为减函数

例3.（2010北京）已知函数f（x）=|n（1+

k2

x）-x+x（

2

求f（x）的单调区间。

1

解：

f（x）

1x

kx

x（kxk

r_x

1）（x1）

令f'（x）=o，即：

x（kx

1）

0（这里需要对方程kx

k10的类型讨论）

若k=0,则f（x）

x

rx

f（x）在（-1,0）

上为增函数，在（0,+8）上为减函数

若k工0,由x（kx

k1）

0得,

（这里需要对两个根的大小进行讨论）

若k=1，则f

（x）

—>0,f（x）在（-1,+^）上为增函数x

则f（x）在（1,0）或（!

k

1,）上为增函数

1

在（0,1）上为减函数

1

若k1，则f（x）在（1,f1）或（0,

）上为增函数

综上所述:

若k=0,

若k=1,

在（11,0）上为减函数

k

f（x）在（-1,0）上为增函数,

在（0,+8）上为减函数

1

1,f（x）在（1,0）或（1,）上为增函数

在（0,11）上为减函数

f（x）在（-1,+^）上为增函数

1

若k1,f（x）在（1,f1）或（0,）上为增函数

在（11,0）上为减函数

k

例4.（2009北京理改编）设函数f（x）xekx，求函数f（x）的单调区间

解：

f（x）ekxkxekxekx（kx1）

令f（x）0,即kx10（这里需要对方程kx10的类型

讨论）

若艮=0,贝yf（x）10,f（x）在R上为增函数

若k丰0则由kx10得，x1（这里需要对ykx1的

斜率讨论）

11

若k>0则f（x）在（,-）上为减函数，在（一，）上为增函数

kk

若k<0，则f（x）在（,1）上为增函数，在（一，）上为减函数

kk

综上所述：

若k=0,f（x）在R上为增函数

11

若k>0则f（x）在（,）上为减函数，在（一，）上为增函数

kk

若k<0，贝Uf（x）在（,1）上为增函数，在（一，）上为减函数

kk

例5:

（海南2011四校联考）

f（x）21nx2x3,g（x）（p2）x^23

x

解：

f（x）的定义域为（0,）

设h（x）

p2f（x）g（x）2lnxpx

x

设h（x）

2

px2xp2

2

x

令设h（x）0,即px22xp20（对方程类型的讨论）

2x2

若p=0,则设h'（x）一厂0

2,不符合要求

x

则h（x）在［1,2］上为增函数,h（x）minh

（1）

2

若p丰0,由px2xp20得

（对两根的大小，定义域的端点、给定区间的端点大小的讨论）

F面笔者就海南2010年高考的压轴题来说明本人提出的解题步骤和讨论方法具有一定

当然解答的过程可能不够严谨，处于定性的范围，不足之处，望全体同仁多

根的讨论转换成两个函数的交点的问题）

即ex2ax1

令y1ex,y22ax1

易求得yiex在A的切线的斜率为1

1

显然若有2a1，即a则有ex2ax1恒成立

2

即f（x）ex2ax10恒成立

所以x0，时f（x）f（0）0,即f（x）0

1

若有2a1，a则显然存在区间（0，X0）使得

2

x（0,X。

）时，有ex2ax1，即

f（x）ex2ax10

即存在x（0,x。

），使得f（x）f（0）0

1

综上所述：

a

2

总结：

总之规范解题步骤，弄清分类讨论的原因，相信导数问题中涉及到参数的分类

讨论不会是个困难的问题