高考数学 命题角度64 导数与不等式大题狂练 理.docx
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高考数学命题角度64导数与不等式大题狂练理
命题角度4:
导数与不等式
1.设函数.
(1)求函数的单调区间;
(2)若,证明:
对任意的实数,都有.
【答案】
(1)当时,在上单调递增;当时,的单调减区间为,单调增区间为;
(2)见解析.
【解析】试题分析:
(Ⅰ)求出函数的导数,通过讨论的范围求出函数的单调区间即可;
(Ⅱ)问题转化为证明,先证出,再证明令,根据函数的单调性证明即可.
试题解析:
(1)定义域为,,
①当时,,在上单调递增,
②当时,令,有,
0
↘
极小值
↗
所以的单调减区间为,单调增区间为.
综合①②,当时,在上单调递增;当时,的单调减区间为,单调增区间为.
∴当时,,
从而.
接下来只需证:
,
即证:
,
令,则,
所以在上单调递减,上单调递增,
即,
∵时,,
∴,
∴.
点晴:
本题主要考查函数单调性,及不等式的证明问题.要求单调性,求导比较导方程的根的大小,解不等式可得单调区间,要证明不等式恒成立问题可转化为构造新函数证明新函数单调,只需要证明其导函数大于等于0(或者恒小于等于0即可),要证明一个不等式,我们可以先根据题意构造新函数,求其值最值即可.这类问题的通解方法就是:
划归与转化之后,就可以假设相对应的函数,然后利用导数研究这个函数的单调性、极值和最值,图像与性质,进而求解得结果.
2.已知,.
(1)求函数的极值;
(2)求证:
当时,.
【答案】
(1),无极大值;
(2);(3)证明见解析.
【解析】试题分析:
(1)对函数进行求导,令和,结合极值的定义得结果;
(2)由对函数求导得到函数在上单调递减,单调递增,要想有两个零点结合数形结合思想可得等价于解得结果;(3)问题等价于,由
(1)知的最小值为,令()使得成立即可.
(2)问题等价于
由
(1)知的最小值为
令()
∴
易知在上单调递增,上单调递减
∴
又
∴,
故当时,成立
考点:
(1)利用导数求函数的极值;
(2)不等式的证明.
【方法点睛】本题考查学生利用导数研究函数极值的能力,利用导数求函数的极值的步骤:
①确定函数的定义域;②对求导;③求不等式和的解,根据单调性求极值;函数零点的个数转化为函数图象与轴的交点的问题,由数形结合思想,根据单调性得结果;观察所证式子的特征,利用前面的结论,构造不等式,可证结果.
3.设,函数.
(Ⅰ)若,求曲线在处的切线方程;
(Ⅱ)若无零点,求实数的取值范围;
(Ⅲ)若有两个相异零点,求证:
.
【答案】(Ⅰ);(Ⅱ);(Ⅲ)证明见解析.
【解析】试题分析:
(Ⅰ)首先求得函数的导数,然后利用导函数研究函数的切线可得曲线在处的切线方程是;
(Ⅱ)结合函数的解析式分类讨论可得实数的取值范围是;
(Ⅲ)由题意结合题中的结论构造函数即可证得题中的不等式.
②若有唯一零点;
③若,令,得,
在区间上,,函数是增函数;
在区间上,,函数是减函数;
故在区间上,的最大值为,
由于无零点,须使,解得,
故所求实数的取值范围是.
(Ⅲ)设的两个相异零点为,设,
∵,∴,
∴,
∵,要证,只需证,
只需,等价于,
设上式转化为),
设,
∴在上单调递增,
∴,∴,
∴.
4.已知二次函数对都满足且,设函数(,).
(Ⅰ)求的表达式;
(Ⅱ)设,,求证:
对于
恒有
【答案】(Ⅰ)(Ⅱ)见解析.
【解析】试题分析:
(Ⅰ)设,根据=直接可得答案.(Ⅱ)先根据H(x)的导数小于等于0判断出H(x)单调递减的,只要证明|H(m)-H
(1)|<1即可.
试题解析:
(Ⅰ)设,于是
所以又,则.所以.
(Ⅱ)因为对,所以在内单调递减.
于是
.
记,则
所以函数在是单调增函数,
所以,故命题成立.
点睛:
本题考查函数的表达式的求法,考查满足条件的实数的取值范围是否存在的判断与求法,恒成立问题采用变量分离求最值得范围,双变元问题分别找最值求解,借助于导数求单调性.
5.已知函数,函数.
(Ⅰ)求函数的单调区间;
(Ⅱ)若不等式在上恒成立,求实数a的取值范围;
(Ⅲ)若,求证:
不等式:
.
【答案】
(1)略
(2)(3)略.
【解析】试题分析:
对函数求导,讨论,确定单调区间和单调性;作差构造新函数,利用导数
判断函数的单调性,根据不等式恒成立条件,求出的范围;借助第二步的结论,证明不等式.
试题解析:
(Ⅰ),
当时,增区间,无减区间
当时,增区间,减区间
(Ⅱ)
即在上恒成立
设,考虑到
,在上为增函数
,当时,
在上为增函数,恒成立
当时,,在上为增函数
,在上,,递减,
,这时不合题意,
综上所述,
所以原不等式成立.
6.已知函数.
(Ⅰ)若函数有零点,其实数的取值范围.
(Ⅱ)证明:
当时,.
【答案】
(1)
(2)见解析
【解析】试题分析:
(1)求出函数的导数,讨论两种情况,分别研究函数的单调性,求其最值,结合函数的图象和零点定理即可求出的取值范围;
(2)问题转化为,令,令,利用导数研究函数的单调性,分类讨论求出函数的最值,即可证明.
试题解析:
(1)函数的定义域为.由,得.
①当时,恒成立,函数在上单调递增,又,所以函数在定义域上有个零点.
②当时,则时,时,.所以函数在上单调递减,在上单调递增.当.当,即时,又,所以函数在定义域上有个零点.
综上所述实数的取值范围为.
当时,.
于是,当时,.①
令,则.
当时,;当时,.
所以函数在上单调递增,在上单调递减.当时,.
于是,当时,.②
显然,不等式①、②中的等号不能同时成立.
故当时,).
7.已知函数,.
(Ⅰ)若函数与的图像在点处有相同的切线,求的值;
(Ⅱ)当时,恒成立,求整数的最大值;
(Ⅲ)证明:
.
【答案】(Ⅰ);(Ⅱ);(Ⅲ)证明见解析.
试题解析:
(Ⅰ)由题意可知,和在处有相同的切线,
即在处且,
解得.
(Ⅱ)现证明,设,
令,即,
因此,即恒成立,
即,
同理可证.
由题意,当时,且,
即,
即时,成立.
当时,,即不恒成立.
因此整数的最大值为2.
(Ⅲ)由,令,
即,即
由此可知,当时,,
当时,,
当时,,
……
当时,.
综上:
.
即.
8.已知函数.
(1)求的极值;
(2)当时,求证:
【答案】
(1)答案见解析;
(2)证明见解析.
【解析】试题分析:
(1)结合导函数研究原函数可得在时取极小值,极小值为,无极大值.
(2)原问题等价于.构造新函数,结合题意和函数的特征即可证得题中的结论.
试题解析:
在递减,在递增,所以
∵,
设,∵,∴递增.
,∴,∴,故结论成立.
9.已知函数.
(1)求的单调区间;
(2)设(其中为的导函数),证明:
时,.
【答案】
(1)单调递增区间为,单调递减区间为;
(2)详见解析.
【解析】试题分析:
试题解析:
解:
(1)函数的定义域为,由于在上是减函数,所以当时,;当时,.所以的单调递增区间为,单调递减区间为.
(2)由,①当时,由
(1)知,所以.②当时,
,
构造函数,则,则当时,,易知当时,,.
要证,只需证,设,得,由,得,当时,,则单调递增;当时,,则单调递减,当时,,所以当时,成立.综合
①②可知:
当时,.
10.设函数.
(1)当时,求函数在点处的切线方程;
(2)讨论函数的单调性;
(3)当时,求证:
对任意,都有.
【答案】
(1);
(2)见解析;(3)见解析.
试题解析:
(1)当时,,,,,所以函数在点处的切线方程为,即.
(2),定义域为,.
①当时,,故函数在上单调递减;
②当时,令,得
x
↘
极小值
↗
综上所述,当时,在上单调递减;当时,函数在上单调递减,在上单调递增.
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