等差数列及其前n项和练习题.docx
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等差数列及其前n项和练习题
第1讲等差数列及其前n项和
一、填空题
1.在等差数列{an}中,a3+a7=37,则a2+a4+a6+a8=.
S4S3
2.设等差数列{an}的前n项和为Sn,若得一卷=1,则公差为.129
3.在等差数列{an}中,ai>0,S4=0,则与取最大值时,n=.
4.在等差数列{an}中,若ai+a4+a7=39,a3+a6+a9=27,则S9=.
5.设等差数列{an}的公差为正数,若ai+a2+a3=15,aia2a3=80,则aii+ai2+ai3=.
6.已知数列{an}的前n项和为Sn=2n2+pn,a7=11若ak+aki>12,则正整数k的最小值为.
7.已知数列{an}满足递推关系式an+i=2an+2n—1(nCN*),且史2尹为等差数列,则人的值是.
8.已知数列{an}为等差数列,3为其前n项和,a7—a5=4,aii=21,Sk=9,则k=.
10.已知f(x)是定义在R上不包为零的函数,对于任意的x,yCR,都有f(xy)
=xf(y)+yf(x)成立.数列{an}满足an=f(2n)(nCN),且ai=2.则数列的通项公式an=.
二、解答题
11.已知等差数列{an}的前三项为a-1,4,2a,记前n项和为Sn.
(1)设Sk=2550,求a和k的值;
S)n
(2)设bn=-,求b3+b7+bii+…+b4n1的值.
12.已知数列{an}的通项公式为an=2n,若a3,a5分别为等差数列{bn}的第3项和第5项,试求数列{bn}的通项公式及前n项和Sn.
13.在等差数列{an}中,公差d>0,前n项和为Sn,a2a3=45,a〔+a5=18.
⑴求数列{an}的通项公式;
(2)令bn=-Sn-(n€N*),是否存在一个非零常数c,使数列{bn}也为等差数列?
n十c‘、,
若存在,求出c的值;若不存在,请说明理由.
第2讲等比数列及其前n项和
、填空题
1.设数列{a2}前n项和为Sn,ai=t,a2=t,Sn+2—(t+1)&+i+tSn=0,则{an}
是数列,通项an=.
解析由Sn+2-(t+1)Sn+l+tSn=0,得Sn+2—Sn+1=t($+1—$),所以an+2
an+2a2
=tan+1,所以=t,又==t,
an+1a1
所以{an}成等比数列,且an=ttn-1=tn.
答案等比tn
S6
2.等比数列{an}的前n项和为Sn,8a2+a5=0,则&=
S3
解-8a2+a5=8a1q+a1q4=a1q(8+q3)=0
-q=-2
S61-q6
♦;
S31-q3
1+q3=—7.
答案—7
3.数列{an}为正项等比数列,若a2=2,且an+an+1=6an-1(nCN,n>2),则此数列的前4项和S4=.
解析由a〔q=2,a1qn-1+a1qn=6a1qn_2,得qn-1+qn=6qn-2,所以q2+q
=6.又q>0,所以q=2,a1=1.
a11—q41—24
所以S4===15.
1-q1-2
答案15
1
4.已知等比数列{an}的前n项和Sn=t5n2—5,则实数t的值为.
列知Pt2=:
X4t,显然30,所以t=5.
555
答案5
5,已知各项都为正数的等比数列{an}中,a2a4=4,ai+a2+a3=14,则满足anan
1一
+ian+2>鼻的取大正整数n的值为O
解析由等比数列的性质,得4=a2a4=a3(a3>0),所以a3=2,所以ai+a2aiq2=2,
=14—a3=12,于是由
ai(1+q)=12,
a1二8,
11
解得[所以an=8”J1=2n―4.
q=2,
于是由anan+ian+2=a3+i=□3(n-3)=n-3>o,得n-301,即n04.
288
答案4
6.在等比数列,{an}中,an>0,若aia2…a7a8=16,贝Ua4+a5的最值为.解析由已知aia2…a7a8=(a4a5)4=16,所以a4a5=2,又a4+a5>2\/a4a5=2遍(当且仅当a4=a5={2时取等号).所以a4+a5的最小值为2迎
答案22
ai3
7.已知递增的等比数列{an}中,a2+a8=3,a3a7=2,则二;;=.
a10
解析,•{an}是递增的等比数列,a3a7=a2a8=2,
又,「a2+a8=3,
•'a2,a8是方程x2—3x+2=0的两根,则a2=i,a8=2,
q3:
2.
答案-2
8.设1=ai&a20…&a7,其中ai,a3,a5,a7成公比为q的等比数列,a2,a4,a6成公差为1的等差数列,则q的最小值为.
解析由题意知a3=q,a5=q2,a7=q3且q>1,a4=a2+1,a6=a2+2且a2>1,
那么有q212且q3>3>q>33,即q的最小值为33.
答案3,3
二、解答题
11.在等差数列{an}中,a2+a7=-23,a3+a8=—29.
(1)求数列{an}的通项公式;
(2)设数列{an+bn}是首项为1,公比为c的等比数列,求{bn}的前n项和Sn.
解
(1)设等差数列{an}的公差是d.
依题意a3+a8—(a2+a7)=2d=-6,从而d=-3.
由a2+a7=2a〔+7d=—23,解得a1=—1.
所以数列{an}的通项公式为an=—3n+2.
(2)由数列{an+bn}是首项为1,公比为c的等比数列,
得an+bn=cn—1,即一3n+2+bn=cn—1,
所以bn=3n—2+cn—1.
n3n—1
所以Sn=[1+4+7+-+(3n-2)]+(1+c+c2+…+cn—1)+(1+c+c2+…+cn-1).
n3n—13n2+n
从而当c=1时,&=2+n=2-
n3n-11—cn
当cW1时,Sn=q+
21-c
12.设各项均为正数的等比数列{an}的前n项和为Sn,8=1,8=17.
(1)求数列{an}的通项公式;
2011,一
(2)是否存在最小的正整数m,使得n》m时,an>2能恒成立?
若存在,求
15
出m;若不存在,请说明理由.
a1q—1
解
(1)设{an}的公比为q,由S4=1,S8=17知qwl,所以得=1,
q-1
a1q8—1二17.
q—1
q8—1,
相除得-4—1=17,解得q=16.所以q=2或q=—2(舍去).
12n」
由q=2可得a1=行,所以an=而.
得2n-1>2011,而210<201K211,所以n—1^11,
即n》12.
2011-因此,存在取小的正整数m=12,使得n》m时,an>侣恒成立.
13.已知公差大于零的等差数列{an}的前n项和为Sn,且满足a2a4=65,a〔+a5
=18.
(1)求数列{an}的通项公式an.
(2)若1
(3)是否存在常数k,使得数列{.Sn+kn}为等差数列?
若存在,求出常数k;
若不存在,请说明理由.
解
(1)因为a1+a5=a2+a4=18,又a2a4=65,
所以m,a4是方程x2—18x+65=0的两个根.
又公差d>0,所以a2 a1+d=5, 所以解得a1=1d=4.所以an=4n—3. a1+3d=13, (2)由1 =(4i—3)2,解得i=3. nn12 (3)由 (1)知,&=n1+-2-4=2n2—n. 假设存在常数k,使数列{\/Sn+kn}为等差数列, 由等差数列通项公式,可设V§^=an+b, 得2n2+(k—1)n=an2+2abn+b恒成立,可得a=2,b=0,k=1.所以存在k=1使得h/Sn+kn}为等差数列. 第3讲等差数列、等比数列与数列求和 一、填空题 1.设{an}是公差不为0的等差数列,ai=2且ai,a3,a6成等比数列,则{an}的前n项和Sn=. 解析由题意设等差数列公差为d,则a1=2,a3=2+2d,a6=2+5d.又二21, a3,a6成等比数列,a3=a1a6,即(2+2d)2=2(2+5d),整理得2d2—d=0.= 1nn—1n27 dw0,•.d=2,..Sn=na1+2d=^+^n. 2 答案nr+7n 1 2 .数列{an}的通项公式an=-p,右刖n项的和为10,则项数为n+n+1 Vn+Ayn+I 1,… k的刖100 答案120 3.已知等差数列{an}的前n项和为8,a5=5,Ss=15,则数列 项和为 5a1+a5 解析.为5=5,9=15,一2—二15,即a1=1. 项和为Tn. 4,已知数列{an},{bn}都是等差数列,ai=5,bi=7,且a20+b20=60.则{an+bn}的前20项的和为. 解析由题意知{an+bn}也为等差数列,所以{an+bn}的前20项和为: &0= =720. 20ai+bi+a20+b2020x5+7+60 答案/4n-1) 一一一*一》、………、一.—一.、、》 CN),贝Ua3=,数列{an}的通项公式为an= 解析由题意得a1一1=1,3an+1—3an=12即a1=2,an+1—an=4. ・••{an}是以2为首项,4为公差的等差数列 ・an=2+4(n—1)=4n—2,a3=4X3-2=10. 答案104n-2 1 7.在等比数列{an}中,a—],a4=—4,则公比q=;|a1|+|a2|+-+|an| 解析,•m=q3=—8,「.q=-2.「。 门=<(―2)n—1,ai2' 11-2n 212i •.|an|=2n-之,/.|ai|+|a2|+…+|an|=---=2n-1—2. .1 答案—22n1-2 8.已知Sn是等差数列{an}的前n项和,且Sii=35+S6,则Si7的值为. 11i0,八八65,□口… 解析因Sii=35+S3,得11ai+一2—d=35+6ai+-^d,即ai+8d=7, 17X16.—…_ 所以Si7=17ai+—2d=17(ai+8d)=17X7=119. 答案119 9.等差数列{an}的公差不为零,a4=7,ai,a2,a5成等比数列,数列{Tn}满足 条件Tn=a2+a4+a8+…+a2n,则Tn=. 解析设{an}的公差为dw0,由ai,a2,a5成等比数列,得 a2=aia5,即(7—2d)2=(7—3d)(7+d) 所以d=2或d=0(舍去). 所以an=7+(n—4)X2=2n—1.又a2n=22n—1=2n+1—1, 故Tn=(22—1)+(23-1)+(24-1)+--+(2n+1-1) (22+23+•+2n+1)—n=2*—n—4. 答案2n+2-n-4 2n 10.数列{an}的通项公式an=y2—1,如果bn=,那么{bn}的前n项和 Yan+an+1 解析 所以bi+b2+…+bn=>\y22—1一y2-1+弋23—1—^22—1+…+ 答案.2"1—1-1 、解答题 11.已知{an}为等差数列,且a3=—6,a6=0. ⑴求{an}的通项公式; (2)若等比数列{bn}满足b〔=—8,b2=a〔+a2+a3,求{bn}的前n项和公式. 解 (1)设等差数列{an}的公差为d. 因为a3=—6,a6=0, a1+2d=—6, a1+5d=0. 所以an=—10+(n—1)2=2n—12. (2)设等比数列{bn}的公比为q. 因为b2=a1+a2+a3=—24,b1二—8,所以一8q=—24,即q=3. b11—q_ 所以{bn}的前n项和公式为Sn=—"=4(1—3). ‘1—q' 13.记公差dw0的等差数列{an}的前n项和为Sn,已知a1=2+正,9=12+ 3.12. (1)求数列{an}的通项公式an及前n项和Sn. (2)已知等比数列{bnk},bn+&=an,n〔=1,n2=3,求nk. (3)问数列{an}中是否存在互不相同的三项构成等比数列,说明理由. 解 (1)因为a1=2+也,S3=3a1+3d=12+3血, 所以d=2. 所以an=a[+(n—1)d=2n+42, na1+an2厂 Sn=2=n2+(V2+1)n. (2)因为bn=an—J2=2n, 所以bnk=2nk. b3 又因为数列{bnk}的首项bm=b1=2,公比q=£=3, 所以bnk=23k—1. 所以2nk=23k―1,则nk=3k—1. (3)假设存在三项ar,as,at成等比数列,则a2=arat,即有(2s+⑫2=(2r+W)(2t+V2), 整理得(rt—s2),2=2s—r—t. 2s—r—t 若rt—Jw0,则蛆=2-, rt—s 一、,_* 因为r,s,t€N, 2s—r—t 所以二是有理数,这与也为无理数矛盾; rt—s 若rt—s2=0,则2s—r—1=0, 从而可得r=s=t,这与r 综上可知,不存在满足题意的三项a,as,at. z=z 22 答案720 5.已知等比数列{an}的前n项和Sn=2n—1,则a2+a2+…+a^= 解析当n=1时,a〔=S1=1, 当n>2时,an=Sn-S^-1=2n-1-(2n-1-1)=2n-1, 又,「a1=1适合上式.」.anuZn-1,「.ai^dn—1. •••数列{a2}是以a2=1为首项,以4为公比的等比数歹I」.
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