空间向量测试题选修21人教A.docx
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空间向量测试题选修21人教A
(本栏目内容,在学生用书中以独立形式分册装订)
一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)
1.若A,B,C,D为空间不同的四点,则下列各式为零向量的是
①+2+2+;
②2+2+3+3+;
③++;
④-++.( )
A.①②B.②③
C.②④D.①④
解析:
①中,原式=+2+=+++=+,不符合题意;②中,原式=2(+++)+(++)=0;③中,原式=,不符合题意;④中,原式=(-)+(-)=0.故选C.
答案:
C
2.已知向量a=(2,4,5)、b=(3,x,y)分别是直线l1、l2的方向向量,若l1∥l2,则( )
A.x=6,y=15B.x=3,y=
C.x=3,y=15D.x=6,y=
解析:
∵l1∥l2,∴a∥b,
则==,∴x=6,y=.
答案:
D
3.已知空间三点O(0,0,0),A(-1,1,0),B(0,1,1),在直线OA上有一点H满足BH⊥OA,则点H的坐标为( )
A.(-2,2,0)B.(2,-2,0)
C.D.
解析:
由=(-1,1,0),且点H在直线OA上,可设H(-λ,λ,0),则=(-λ,λ-1,-1).
又BH⊥OA,∴·=0,即(-λ,λ-1,-1)·(-1,1,0)=0,即λ+λ-1=0,解得λ=,∴H,故选C.
答案:
C
4.若向量(1,0,z)与向量(2,1,0)的夹角的余弦值为,则z等于( )
A.0B.1
C.-1D.2
解析:
由题知=,
=,1=,∴z=0.
答案:
A
5.在以下命题中,不正确的个数为( )
①|a|-|b|=|a+b|是a,b共线的充要条件;
②若a∥b,则存在唯一的实数λ,使a=λb;
③对空间任意一点O和不共线的三点A,B,C,若=2-2-,则P,A,B,C四点共面;
④若{a,b,c}为空间的一个基底,则{a+b,b+c,c+a}构成空间的另一个基底;
⑤|(a·b)·c|=|a|·|b|·|c|
A.5B.4
C.3D.2
解析:
①|a|-|b|=|a+b|⇒a与b的夹角为π,故是充分不必要条件,故不正确;②b需为非零向量,故不正确;③因为2-2-1≠1,由共面向量定理知,不正确;④由基底的定义知正确;⑤由向量的数量积的性质知,不正确,故选B.
答案:
B
6.若直线l的方向向量为b,平面α的法向量为n,则可能使l∥α的是( )
A.b=(1,0,0),n=(-2,0,0)B.b=(1,3,5),n=(1,0,1)
C.b=(0,2,1),n=(-1,0,-1)D.b=(1,-1,3),n=(0,3,1)
解析:
若l∥α,则b·n=0,将各选项代入,知D正确.
答案:
D
7.已知空间三点A(0,2,3),B(-2,1,6),C(1,-1,5).若|a|=,且a分别与,垂直,则向量a为( )
A.(1,1,1)B.(-1,-1,-1)或(1,1,1)
C.(-1,-1,-1)D.(1,-1,1)或(-1,1,-1)
解析:
设a=(x,y,z),=(-2,-1,3),=(1,-3,2)
则解得a=(1,1,1)或(-1,-1,-1).
答案:
B
8.已知空间不同的四点O,A,B,P,满足=m+n,其中m+n=1,则( )
A.点P一定在直线AB上
B.点P一定不在直线AB上
C.点P可能在直线AB上,也可能不在直线AB上
D.与的方向一定相同
解析:
由m+n=1,知m=1-n,故=(1-n)+n=-n+n,则-=n(-),即=n,所以点A,P,B共线.故选A.
答案:
A
9.已知点P是平行四边形ABCD所在的平面外一点,如果=(2,-1,-4),=(4,2,0),=(-1,2,-1).对于结论:
①AP⊥AB;②AP⊥AD;③是平面ABCD的法向量;④∥.其中正确的个数是( )
A.1B.2
C.3D.4
解析:
·=-2-2+4=0,∴AP⊥AB,①正确;
∴·=-4+4=0,∴AP⊥AD,②正确;
是平面ABCD的法向量,
∴③正确;④错误.
答案:
C
10.已知空间四边形ABCD的每条边和对角线的长都等于a,点E,F分别是BC、AD的中点,则·的值为( )
A.a2B.a2
C.a2D.a2
解析:
如右图,=(+),=,·=(·+·)
=(a2cos60°+a2cos60°)=a2.
答案:
C
11.已知三棱锥S-ABC中,底面ABC为边长等于2的等边三角形,SA垂直于底面ABC,SA=3,那么直线AB与平面SBC所成角的正弦值为( )
A.B.
C.D.
解析:
建系如图,则S(0,0,3),A(0,0,0),B(,1,0),C(0,2,0).
∴=(,1,0),=(,1,-3),=(0,2,-3).
设面SBC的法向量为n=(x,y,z).
则.
令y=3,则z=2,x=,∴n=(,3,2).
设AB与面SBC所成的角为θ,则sinθ===.
答案:
D
12.直三棱柱ABC-A1B1C1中,若∠BAC=90°,AB=AC=AA1,则异面直线BA1与AC1所成的角等于( )
A.90°B.60°
C.45°D.30°
解析:
建系如图,设AB=1,则B(1,0,0),A1(0,0,1),C1(0,1,1),A(0,0,0).
∴=(-1,0,1),=(0,1,1).
∴cos〈,〉===.
∴〈,〉=60°,即异面直线BA1与AC1所成的角等于60°.
答案:
B
二、填空题(本大题共4小题,每小题4分,共16分.将答案填在题中的横线上)
13.若A(x,5-x,2x-1),B(1,x+2,2-x),则当||取最小值时,x的值等于________.
解析:
=(1-x,2x-3,-3x+3),则
||=
==,
故当x=时,||取最小值.
答案:
14.在空间四边形OABC中,若OB=OC,∠AOB=∠AOC=,则cos〈,〉的值是________.
解析:
cos〈,〉====0.
答案:
0
15.已知a=(2,-1,3),b=(-1,4,-2),c=(7,5,λ),若a,b,c共面,则λ=________.
解析:
由已知可发现a与b不共线,由共面向量定理可知,要使a,b,c共面,则必存在实数x,y,使得c=xa+yb,
即,解得.
答案:
16.如图,在空间四边形ABCD中,AC和BD为对角线,G为△ABC的重心,E是BD上一点,BE=3ED,以{,,}为基底,则=________.
解析:
=-
=+-
=+-(+)
=+---
=--+.
答案:
--+
三、解答题(本大题共6小题,共74分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)
17.(本小题满分12分)
如图所示,已知ABCD-A′B′C′D′是平行六面体.
(1)化简++,并在图形中标出化简结果的向量;
(2)设M是底面ABCD的中心,N是侧面BCC′B′的对角线BC′上的点,且BN∶NC′=3∶1,设=α+β+γ,试求α,β,γ的值,
解析:
(1)先在图形中标出,为此,可取的中点E,则=.
∵=,在D′C′上取点F,使D′F==D′C′,
∴==.
又=,从而有++=++=,如图所示.
(2)=+=+=(+)+(+)=(-+)+(+)=++.
∴α=,β=,γ=.
18.(本小题满分12分)如图,直三棱柱ABC-A′B′C′,∠BAC=90°,AB=AC=λAA′,点M,N分别为A′B和B′C′的中点.
(1)证明:
MN∥平面A′ACC′;
(2)若二面角A′-MN-C为直二面角,求λ的值.
解析:
(1)证明:
证法一:
连接AB′,AC′,由已知∠BAC=90°,AB=AC,三棱柱ABC-A′B′C′为直三棱柱,所以M为AB′的中点.又因为N为B′C′的中点,所以MN∥AC′.
又MN⊄平面A′ACC′,AC′⊂平面A′ACC′,因此MN∥平面A′ACC′.
证法二:
取A′B′的中点P,连接MP,NP.而M,N分别为AB′与B′C′的中点,所以MP∥AA′,PN∥A′C′,所以MP∥平面A′ACC′,PN∥平面A′ACC′.又MP∩NP=P,因此平面MPN∥平面A′ACC′.而MN⊂平面MPN,所以MN∥平面A′ACC′.
(2)以A为坐标原点,分别以直线AB,AC,AA′为x轴,y轴,z轴建立空间直角坐标系O-xyz,如图所示.
设AA′=1,则AB=AC=λ,
于是A(0,0,0),B(λ,0,0),C(0,λ,0),A′(0,0,1),B′(λ,0,1),C′(0,λ,1),所以M,N.
设m=(x1,y1,z1)是平面A′MN的法向量.
由得可取m=(1,-1,λ).
设n=(x2,y2,z2)是平面MNC的法向量,
由得
可取n=(-3,-1,λ).
因为A′-MN-C为直二面角,所以m·n=0.
即-3+(-1)×(-1)+λ2=0,解得λ=(负值舍去).
19.(本小题满分12分)如图,四棱锥P-ABCD中,PA⊥底面ABCD,四边形ABCD中,AB⊥AD,AB+AD=4,CD=,∠CDA=45°.
(1)求证:
平面PAB⊥平面PAD;
(2)若AB=AP,直线PB与平面PCD所成的角为30°,求线段AB的长.
解析:
(1)证明:
因为PA⊥平面ABCD,AB⊂平面ABCD,所以PA⊥AB.
又AB⊥AD,PA∩AD=A,所以AB⊥平面PAD.
又AB⊂平面PAB,所以平面PAB⊥平面PAD.
(2)以A为坐标原点,建立空间直角坐标系(如图).
在平面ABCD内,作CE∥AB交AD于点E,则CE⊥AD.
在Rt△CDE中,DE=CD·cos45°=1.
CE=CD·sin45°=1.设AB=AP=t,则B(t,0,0),P(0,0,t).
由AB+AD=4,得AD=4-t.所以E(0,3-t,0),C(1,3-t,0),D(0,4-t,0),=(-1,1,0),=(0,4-t,-t).
①设平面PCD的法向量为n=(x,y,z),由n⊥,n⊥,得.取x=t,得平面PCD的一个法向量n=(t,t,4-t).
又=(t,0,-t),故由直线PB与平面PCD所成的角为30°得
cos60°=,即=,
解得t=或t=4(舍去,因为AD=4-t>0),所以AB=.
20.(本小题满分12分)如图,在四面体ABCD中,平面ABC⊥平面ACD,AB⊥BC,AD=CD,∠CAD=30°,若二面角C-AB-D为60°,求异面直线AD与BC所成的角的余弦值.
解析:
如图,取AC的中点F,作FM⊥AB,交AB于M,
已知平面ABC⊥平面ACD
易知FC,FD,FM两两垂直,以F为原点,射线FM,FC,FD分别为x轴、y轴、z轴,建立空间直角坐标系F-xyz.
不妨设AD=2,由CD=AD,∠CAD=30°,
∴A(0,-,0),C(0,,0),D(0,0,1),=(0,,1),k=(0,0,1)是平面ABC的法向量.
已知二面角C-AB-D为60°
故可取平面ABD的单位法向量n=(l,m,n)
使得〈n,k〉=60°,从而n=.
由n⊥得m+n=0,m=-.
由l2+m2+n2=1得l=±.
设点B的坐标为(x,y,0),由⊥,
n⊥,取l=,有.
解得或(舍去).
易知l=-与坐标系的建立方式不合,舍去.
∴点B的坐标为.
所以=,
从而cos〈,〉=
==.
故异面直线AD与BC所成的角的余弦值为.
21.(本小题满分13分)如图,在三棱锥P-ABC中,AB=AC,D为BC的中点,PO⊥平面ABC,垂足O落在线段AD上,已知BC=8,PO=4,AO=3,OD=2.
(1)证明:
AP⊥BC;
(2)在线段AP上是否存在点M,使得二面角A-MC-B为直二面角?
若存在,求出AM的长;若不存在,请说明理由.
解析:
(1)证明:
如图,以O为坐标原点,建立空间直角坐标系,则O(0,0,0),A(0,-3,0),B(4,2,0),C(-4,2,0),P(0,0,4),=(0,3,4),=(-8,0,0).
由此可得·=0,
∴⊥,即AP⊥BC.
(2)假设在线段AP上存在点M,使得二面角A-MC-B为直二面角,设=λ,λ≠1,=λ(0,-3,-4),=+=+λ=(-4,-2-3λ,4-4λ),=(-4,5,0),=(-8,0,0).
设平面BMC的法向量n1=(x1,y1,z1),平面APC的法向量n2=(x2,y2,z2),由,得,可取n1=.
由,得,可取n2=(5,4,-3),
由n1·n2=0,得λ=,故AM=3.
综上所述,存在点M符合题意,AM=3.
22.(本小题满分13分)如图所示,平面ABDE⊥平面ABC,△ABC是等腰直角三角形,AC=BC=4,四边形ABDE是直角梯形,BD∥AE,BD⊥BA,BD=AE=2,O,M分别为CE,AB的中点.
(1)求直线CD与平面ODM所成角的正弦值;
(2)能否在ME上找一点N,使得ON⊥平面ABDE?
若能,请指出点N的位置,并加以证明;若不能,请说明理由.
解析:
∵BD⊥BA,又平面ABDE⊥平面ABC,平面ABDE∩平面ABC=AB,BD⊂平面ABDE,∴BD⊥平面ABC.
∵BD∥AE,∴AE⊥平面ABC.
如图所示,以点C为坐标原点,分别以CA,CB为x轴,y轴,过点C且与平面ABC垂直的直线为z轴,建立空间直角坐标系.
∵AC=BC=4,∴C(0,0,0),A(4,0,0),B(0,4,0),D(0,4,2),E(4,0,4),O(2,0,2),M(2,2,0).
(1)=(0,4,2),=(-2,4,0),=(-2,2,2).
设平面ODM的法向量为n=(x,y,z),则由n⊥,n⊥,可得,令x=2,得y=1,z=1,∴n=(2,1,1).
设直线CD与平面ODM所成角为θ,则sinθ=
===.
∴直线CD与平面ODM所成角的正弦值为.
(2)假设ME上存在一点N,使得ON⊥平面ABDE,设N(a,b,c),则=(a-2,b-2,c),=(4-a,-b,4-c).
∵点N在ME上,∴=λ(λ∈R),即(a-2,b-2,c)=
λ(4-a,-b,4-c),∴,即,
∴N.
∵BD⊂平面ABDE,∴⊥,即·=0,又=,=(0,0,2),∴=0,解得λ=1,∴=,即当N是ME的中点时,ON⊥平面ABDE.
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