直线的一般式方程附答案.docx

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直线的一般式方程附答案

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直线的一般式方程（附答案）

　直线的一般式方程

[学习目标]　1.掌握直线的一般式方程.2.了解关于x、y的二元一次方程Ax＋By＋C＝0（A、B不同时为0）都表示直线，且直线方程都可以化为Ax＋By＋C＝0的形式.3.会进行直线方程不同形式的转化.

知识点　直线的一般式方程

1.在平面直角坐标系中，对于任何一条直线，都有一个表示这条直线的关于x，y的二元一次方程；任何关于x，y的二元一次方程都表示一条直线.方程Ax＋By＋C＝0（其中A、B不同时为0）叫做直线方程的一般式.

2.对于直线Ax＋By＋C＝0，当B≠0时，其斜率为－

，在y轴上的截距为－

；当B＝0时，在x轴上的截距为－

；当AB≠0时，在两轴上的截距分别为－

，－

.

3.直线一般式方程的结构特征

（1）方程是关于x，y的二元一次方程.

（2）方程中等号的左侧自左向右一般按x，y，常数的先后顺序排列.

（3）x的系数一般不为分数和负数.

（4）虽然直线方程的一般式有三个参数，但只需两个独立的条件即可求得直线的方程.

思考　

（1）当A，B同时为零时，方程Ax＋By＋C＝0表示什么

（2）任何一条直线的一般式方程都能与其他四种形式互化吗

答　

（1）当C＝0时，方程对任意的x，y都成立，故方程表示整个坐标平面；

当C≠0时，方程无解，方程不表示任何图象.

故方程Ax＋By＋C＝0，不一定代表直线，只有当A，B不同时为零时，即A2＋B2≠0时才代表直线.

（2）不是.当一般式方程中的B＝0时，直线的斜率不存在，不能化成其他形式；当C

＝0时，直线过原点，不能化为截距式.但其他四种形式都可以化为一般式.

题型一　直线的一般形式与其他形式的转化

例1　

（1）下列直线中，斜率为－

，且不经过第一象限的是（　　）

＋4y＋7＝0＋3y＋7＝0

＋3y－42＝0＋4y－42＝0

（2）直线

x－5y＋9＝0在x轴上的截距等于（　　）

B.－5D.－3

答案　

（1）B　

（2）D

解析　

（1）将一般式化为斜截式，斜率为－

的有：

B、C两项.

又y＝－

x＋14过点（0,14）即直线过第一象限，

所以只有B项正确.

（2）令y＝0则x＝－3

.

跟踪训练1　一条直线经过点A（－2,2），并且与两坐标轴围成的三角形的面积为1，求此直线方程.

解　设所求直线方程为

＋

＝1，

∵点A（－2,2）在直线上，∴－

＋

＝1.①

又∵直线与坐标轴围成的三角形面积为1，

∴

|a|·|b|＝1.②

由①②可得

或

解得

或

第二个方程组无解.

故所求直线方程为

＋

＝1或

＋

＝1，

即x＋2y－2＝0或2x＋y＋2＝0.

题型二　直线方程的应用

例2　已知直线l的方程为3x＋4y－12＝0，求满足下列条件的直线l′的方程：

（1）过点（－1,3），且与l平行；

（2）过点（－1,3），且与l垂直.

解　方法一　l的方程可化为y＝－

x＋3，

∴l的斜率为－

.

（1）∵l′与l平行，∴l′的斜率为－

.

又∵l′过点（－1,3），

由点斜式知方程为y－3＝－

（x＋1），

即3x＋4y－9＝0.

（2）∵l′与l垂直，∴l′的斜率为

，又l′过点（－1,3），

由点斜式可得方程为y－3＝

（x＋1），

即4x－3y＋13＝0.

方法二　

（1）由l′与l平行，可设l′的方程为3x＋4y＋m＝0.将点（－1,3）代入上式得m＝－9.

∴所求直线的方程为3x＋4y－9＝0.

（2）由l′与l垂直，可设l′的方程为4x－3y＋n＝0.

将（－1,3）代入上式得n＝13.

∴所求直线的方程为4x－3y＋13＝0.

跟踪训练2　a为何值时，直线（a－1）x－2y＋4＝0与x－ay－1＝0.

（1）平行；

（2）垂直.

解　当a＝0或1时，两直线既不平行，也不垂直；

当a≠0且a≠1时，直线（a－1）x－2y＋4＝0的斜率为k1＝

，b1＝2；

直线x－ay－1＝0的斜率为k2＝

，b2＝－

.

（1）当两直线平行时，由k1＝k2，b1≠b2，

得

＝

，a≠－

，

解得a＝－1或a＝2.

所以当a＝－1或2时，两直线平行.

（2）当两直线垂直时，由k1·k2＝－1，

即

·

＝－1，解得a＝

.

所以当a＝

时，两直线垂直.

题型三　由含参一般式方程求参数的值或取值范围

例3　

（1）若方程（m2＋5m＋6）x＋（m2＋3m）y＋1＝0表示一条直线，则实数m满足______.

（2）当实数m为何值时，直线（2m2＋m－3）x＋（m2－m）y＝4m－1.

①倾斜角为45°；②在x轴上的截距为1.

（1）答案　m≠－3

解析　若方程不能表示直线，则m2＋5m＋6＝0且m2＋3m＝0.

解方程组

得m＝－3，

所以m≠－3时，方程表示一条直线.

（2）解　①因为已知直线的倾斜角为45°，

所以此直线的斜率是1，

所以－

＝1，

所以

解得

所以m＝－1.

②因为已知直线在x轴上的截距为1，

令y＝0得x＝

，

所以

＝1，

所以

解得

所以m＝－

或m＝2.

跟踪训练3　已知直线l：

5ax－5y－a＋3＝0.

（1）求证：

不论a为何值，直线l总经过第一象限；

（2）为使直线l不经过第二象限，求a的取值范围.

（1）证明　直线方程变形为y－

＝a

，

它表示经过点A

，斜率为a的直线.

∵点A

在第一象限，

∴直线l必过第一象限.

（2）解　如图所示，直线OA的斜率k＝

＝3.

∵直线不过第二象限，

∴直线的斜率a≥3.

∴a的取值范围为[3，＋∞）.

一般式求斜率考虑不全致误

例4　设直线l的方程为（m2－2m－3）x＋（2m2＋m－1）y－（2m－6）＝0，若此直线的斜率为1，试确定实数m的值.

分析　由直线方程的一般式，可转化为斜截式，利用斜率为1，建立方程求解，但要注意分母不为0.

解　由题意，得

由①，得m＝－1或m＝

.

当m＝－1时，②式不成立，不符合题意，故应舍去；

当m＝

时，②式成立，符合题意.

故m＝

.

1.若方程Ax＋By＋C＝0表示直线，则A、B应满足的条件为（　　）

≠0≠0·B≠0＋B2≠0

2.已知ab<0，bc<0，则直线ax＋by＝c通过（　　）

A.第一、二、三象限B.第一、二、四象限

C.第一、三、四象限D.第二、三、四象限

3.过点（1,0）且与直线x－2y－2＝0平行的直线方程是（　　）

－2y－1＝0－2y＋1＝0

＋y－2＝0＋2y－1＝0

4.若直线x－2y＋5＝0与直线2x＋my－6＝0互相垂直，则实数m等于（　　）

A.－1D.－

5.已知两条直线y＝ax－2和3x－（a＋2）y＋1＝0互相平行，则a＝________.

一、选择题

1.直线x＋y－3＝0的倾斜角的大小是（　　）

°°D.－1

2.直线（2m2－5m＋2）x－（m2－4）y＋5m＝0的倾斜角为45°，则m的值为（　　）

A.－2C.－3

3.直线l的方程为Ax＋By＋C＝0，若直线l过原点和二、四象限，则（　　）

＝0，B>0>0，B>0，C＝0

<0，C＝0>0，C＝0

4.直线ax＋3my＋2a＝0（m≠0）过点（1，－1），则直线的斜率k等于（　　）

A.－3D.－

5.直线y＝mx－3m＋2（m∈R）必过定点（　　）

A.（3,2）B.（－3,2）C.（－3，－2）D.（3，－2）

6.若三条直线x＋y＝0，x－y＝0，x＋ay＝3构成三角形，则a的取值范围是（　　）

≠±1≠1，a≠2

≠－1≠±1，a≠2

7.直线l1：

ax－y＋b＝0，l2：

bx－y＋a＝0（a≠0，b≠0，a≠b）在同一坐标系中的图形大致是（　　）

二、填空题

8.已知直线l1：

ax＋3y－1＝0与直线l2：

2x＋（a－1）y＋1＝0垂直，则实数a＝_______.

9.若直线mx＋3y－5＝0经过连接点A（－1，－2），B（3,4）的线段的中点，则m＝______.

10.直线l：

ax＋（a＋1）y＋2＝0的倾斜角大于45°，则a的取值范围是______________.

11.已知两条直线a1x＋b1y＋4＝0和a2x＋b2y＋4＝0都过点A（2,3），则过两点P1（a1，b1），P2（a2，b2）的直线方程为________________.

三、解答题

12.设直线l的方程为（a＋1）x＋y＋2－a＝0（a∈R）.

（1）若l在两坐标轴上的截距相等，求l的方程；

（2）若l不经过第二象限，求实数a的取值范围.

13.

（1）已知直线l1：

2x＋（m＋1）y＋4＝0与直线l2：

mx＋3y－2＝0平行，求m的值.

（2）当a为何值时，直线l1：

（a＋2）x＋（1－a）y－1＝0与直线l2：

（a－1）x＋（2a＋3）y＋2＝0互相垂直

当堂检测答案

1.答案　D

解析　方程Ax＋By＋C＝0表示直线的条件为A、B不能同时为0，即A2＋B2≠0.

2.答案　C

解析　由ax＋by＝c，得y＝－

x＋

，

∵ab<0，∴直线的斜率k＝－

>0，

直线在y轴上的截距

<0.

由此可知直线通过第一、三、四象限.

3.答案　A

解析　由题意，得所求直线斜率为

，且过点（1,0）.故所求直线方程为y＝

（x－1），即x－2y－1＝0.

4.答案　B

解析　由两直线垂直，得

×

＝－1，解得m＝1.

5.答案　－3或1

解析　两条直线y＝ax－2和3x－（a＋2）y＋1＝0互相平行，所以

＝

≠

，解得a＝－3或a＝1.

课时精练答案

一、选择题

1.答案　B

解析　直线x＋y－3＝0，即y＝－x＋3，它的斜率等于－1，故它的倾斜角为135°，故选B.

2.答案　D

解析　由已知得m2－4≠0，且

＝1，

解得：

m＝3.

3.答案　D

解析　通过直线的斜率和截距进行判断.

4.答案　D

解析　由点（1，－1）在直线上可得a－3m＋2a＝0（m≠0），解得m＝a，故直线方程为ax＋3ay＋2a＝0（a≠0），即x＋3y＋2＝0，其斜率k＝－

.

5.答案　A

解析　由y＝mx－3m＋2，得y－2＝m（x－3）.所以直线必过点（3,2）.

6.答案　A

解析　因为直线x＋ay＝3恒过点（3,0），所以此直线只需不和x＋y＝0，x－y＝0两直线平行就能构成三角形.所以a≠±1.

7.答案　C

解析　将l1与l2的方程化为斜截式得：

y＝ax＋b，y＝bx＋a，

根据斜率和截距的符号可得选C.

二、填空题

8.答案　

解析　由两直线垂直的条件，得2a＋3（a－1）＝0，解得a＝

.

9.答案　2

解析　线段AB的中点为（1,1），则m＋3－5＝0，即m＝2.

10.答案　（－∞，－

）∪（0，＋∞）

解析　当a＝－1时，直线l的倾斜角为90°，符合要求；

当a≠－1时，直线l的斜率为－

，

只要－

>1或者－

<0即可，

解得－1

或者a<－1或者a>0.

综上可知，实数a的取值范围是

（－∞，－

）∪（0，＋∞）.

11.答案　2x＋3y＋4＝0

解析　由条件知

易知两点P1（a1，b1），P2（a2，b2）都在直线2x＋3y＋4＝0上，即2x＋3y＋4＝0为所求.

三、解答题

12.解　

（1）当直线过原点时，该直线在x轴和y轴上的截距都为0，当然相等，所以a＝2，方程即为3x＋y＝0.

当a≠2时，截距存在且均不为0，

所以

＝a－2，即a＋1＝1.

所以a＝0，方程即为x＋y＋2＝0.

（2）将l的方程化为y＝－（a＋1）x＋a－2，

所以

或

所以a≤－1.

综上，a的取值范围是a≤－1.

13.解　方法一　

（1）由l1：

2x＋（m＋1）y＋4＝0，

l2：

mx＋3y－2＝0知：

①当m＝0时，显然l1与l2不平行.

②当m≠0时，l1∥l2，需

＝

≠

.

解得m＝2或m＝－3，∴m的值为2或－3.

（2）由题意知，直线l1⊥l2.

①若1－a＝0，即a＝1时，直线l1：

3x－1＝0与直线l2：

5y＋2＝0显然垂直.

②若2a＋3＝0，即a＝－

时，直线l1：

x＋5y－2＝0与直线l2：

5x－4＝0不垂直.

③若1－a≠0，且2a＋3≠0，则直线l1，l2的斜率k1，k2都存在，k1＝－

，k2＝－

.

当l1⊥l2时，k1·k2＝－1，

即（－

）·（－

）＝－1，

∴a＝－1.

综上可知，当a＝1或a＝－1时，直线l1⊥l2.

方法二　

（1）令2×3＝m（m＋1），

解得m＝－3或m＝2.

当m＝－3时，l1：

x－y＋2＝0，l2：

3x－3y＋2＝0，

显然l1与l2不重合，∴l1∥l2.

同理当m＝2时，l1：

2x＋3y＋4＝0，l2：

2x＋3y－2＝0，

显然l1与l2不重合，∴l1∥l2.

∴m的值为2或－3.

（2）由题意知直线l1⊥l2，

∴（a＋2）（a－1）＋（1－a）（2a＋3）＝0，

解得a＝±1，

将a＝±1代入方程，均满足题意.

故当a＝1或a＝－1时，直线l1⊥l2.