毕业论文巴特沃斯低通滤波器设计.docx
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毕业论文巴特沃斯低通滤波器设计
课程设计报告
题目:
巴特沃思低通滤波器的设计
学院
专业
学号
学生姓名
指导教师
低通滤波器设计要求:
1
滤波器简介2
设计原理与设计过程3
1、滤波器设计中的归一化与去归一化3
2、滤波器设计中的逼近问题3
3、巴特沃思(Butterworth)响应4
4、电路实现7
5、matlab仿真9
小结13
低通滤波器设计要求:
通带角频率•七=90二rad/s
阻带角频率•・s=150二rad/s
通带内允许最大衰减Amax=3dB阻带内允许最小衰减Amin=10dB
滤波器简介
滤波器是一种对信号有处理作用的器件或电路。
滤波器是给出规定响应的一个网络,是用一组激励一一响应关系表征的系统,如图1所示
滤波器的主要作用是让有用信号尽可能无衰减的通过,对无用信号尽可能大的反射。
按处理信号的不同,滤波器可分为模拟滤波器和数字滤波器。
模拟滤波器可处理模拟的或连续时间信号,数字滤波器可处理数字信号;按输出信号的不同频率,可分为低通滤波器、高通滤波器、带通滤波器、带阻滤波器和全通滤波器。
其中模拟滤波器,按构成元件的不同又可分为有源滤波器和无源滤波器两种。
激励
响应
・
图1-1
通常用滤波器的转移函数表征滤波器的特性,设响应的象函数为U°(s),激励
的象函数为Ui(s),则转移函数为
在正弦情况下,S二j,,相应地,上式的频域响应函数可写为
H(jgHj)e皿
其中,H(jeo)为幅频函数。
定义相频函数
()=/H(j•)
定义群时延函数为
C')—■(')
d«
滤波器的幅频函数和相频函数或群时延函数,共同表征了这个滤波器的特性。
设计原理与设计过程
1、滤波器设计中的归一化与去归一化
对于实际电路,电路中的电阻元件、电容元件、电感元件的数值分布范围很大,在电路分析、设计的计算过程中,所需处理的数据的大小相差甚远,这样,往往容易产生计算误差。
同时,综合的理论依据和方法与函数的大小无关,因此,为便于理论分析和计算,通常将电路参数作归一化处理,以便产生通用的计算公式和图表。
采用归一化的方法,不仅便于分析和计算,也可避免误差的产生。
归一化处理包括阻抗归一化和频率归一化两种。
如果将网络的全部阻抗除以
常数kZ,相当于所有的电阻值、电感值除以kZ,电容值乘以kZ,这一过程称
为阻抗归一化,kz称为阻抗归一化系数。
同理,可将角频率除以常数k,,这
一变换称为频率归一化,k称为频率归一化系数。
为使网络函数不受频率变
换的影响,变换前后各元件的阻抗值应保持不变,因此,电阻值R不受变换
的影响,电感值L和电容值C应乘以k.,
在设计过程中,按各种综合方法得到的网络参数通常为归一化参数,因此还需要将这些参数转换为满足实际要求的参数,这一逆运算称为去归一化。
2、滤波器设计中的逼近问题
各种理想滤波器的幅频特性不具有可实现性,因为它们具有非因果性。
对于RLC电路来说,转移函数的幅度通常是角频率■的函数,因此,在角频
率0~「c之间,幅度不可能是常数,若幅度在角频率O~「C之间是常数,则它在所有角频率范围即0~二处都是常数。
因此,必须对理想特性作一定的修正,使其具有可实现性,同时修改后的性能在一定误差范围内也能满足要求。
这就是所谓的逼近问题,即用具有可实现性的转移函数来描述所需的技术要求,它的幅频特性、相频特性或群时延函数与所求电路的特性近似。
通常,修正的方式为,允许幅频函数在通带内有一定的衰减,在阻带内有微弱的信号存在,并在两者之间增加过渡带,如图1所示,称为滤波器的容差图。
其中,Amax为通带内允许最大衰减,Amin
为阻带内允许最小衰减,'c称为通带角频率,'s称为阻带角频率
图1滤波器的容差图
在模拟滤波器的逼近问题中,有两个基本约束条件。
第一是关于传递函数H(s)的性质。
由网络理论中有关网络函数的基本定理可知,一个具有可实现的模拟滤波器的转移函数是实有理函数。
第二是关于构造过程中的约束。
构造的转移函数H(s)只能唯一满足幅频函数的要求或唯一满足相频函数的
要求,而不可能同时满足幅频函数和相频函数的要求。
关于逼近问题已有许多成熟的方法,如巴特沃斯(Butterworth)响应,切比雪夫(Chebyshev)响应、倒切比雪夫响应、椭圆响应、贝塞尔-汤姆逊响应等,它们各具有不同的特性。
3、巴特沃思(Butterworth)响应
一个n阶低通巴特沃思滤波器的幅频函数为
式中,•匕为通带下边界角频率;;是小常数,其值应满足;2乞1。
可看出该
幅频函数在■=0处具有最大平直的特点,而且随着,的增大而单调下降,因此,它可以用来逼近低通滤波器,逼近的程度随n的增大而增高。
1
令门=;n(_),
(0
c
则其归一化表达式可写为
将门—带入上式可得
j
令1(~1^n=0,可解出H(s)的极点,其表达式为
所以H(s)的全部极点位于一个单位圆上,位于左半平面的极点有
用位于左半平面的这些极点构造的H(s)的分母多项式称为巴特沃思多项式,相应地,n阶巴特沃思低通函数可写为
表1给出了n=1,2,…,7时的巴特沃思多项式
n
P(s)
1
s+1
2
S2十72s+1
3
32
s+2s+2s+1
4
s4+2.6131S3+3.4142S2+2.6131S+1
5
s5+3.2361S4+5.2361S3+5.2361S2+3.2361S+1
6
s6+3.8637S5+7.4641S4+9.1416S3+7.4641s2+3.8637s+1
7
765432
s+4.4940s+10.0978s+14.5918s+14.5918s+10.0978s+4.4940s+1
表1巴特沃思多项式
上式中,常数;的作用是调整通带内允许的最大衰减,使其可小于3dB。
逼近过程中,需要确定的参数为;和巴特沃斯多项式的阶数n,其中,通带内允
许最大衰减Amax确定了;的大小;阶数n的大小取决于阻带内允许的最小衰
减Amin。
首先,推导;的计算。
习惯上,多用衰减(分贝数)表示幅频特性,令
A(;r)=_20lg
H(j)
H(0)
则巴特沃斯低通响应
当,二c时,产生通带内最大衰减,即
Amax"0lg(1①
解上式可得
;-100.1Amax-1
当•1s时,产生阻带内最小衰减
―10叶逬”
上式可写为
对式求解,可得
将式代入可得
代入c=90二rad/s,
100.1Amin
2n
100.1扁_1
ig
(2)
n—
•I2
ig(s)2
■c
10°.1Amin—1n_lg100.1Amax_1
国s
2lg」
■c
s=150「rad/s,Amax=3dB,Amin=10dB;得
;=■,100.1Amax_1=一100.13_1=0.51
号10“1:
-1)
0.110‘
.J0_1、
lg
(2)
0.512
lg(
150二
90■:
=3.47
取n=4
Amin=10lg1
(乞)2nLoig1+0.512(
«cI
1;2(S'2n
即4阶巴特沃思函数可满足要求。
查表1可得
1
H(S)二~432
s+2.6131s+3.4142s+2.6131s+1上式为归一化表达式。
去归一化,用
SS
•c90二
代替上式等号右边表达式中的s可得
H(s)=6.39如09
s_s47.39102s32.73105s25.91107s6.39109
4、电路实现
由于n阶巴特沃思滤波器分母多项式是霍尔维兹多项式,并且H(s)全部传输零点在s「:
处,因而可以用图示达林顿电路结构实现。
一般情况电路都是在匹配情况下工作,所以取信号源内阻RS和负载电阻R相等。
此时满足
nn
S(-s)bn(s)Bn(-S)
其中Bn(S)是表1中所列的巴特沃思多项式。
由上式得到归一化的反射系数
用达林顿电路实现时,策动点阻抗函数
上式表示具有巴特沃思滤波特性的电路有两种可能的综合形式:
Zn(s)T曾;和Z'11(s)=Rs|4斗
Bn(S)-SBn(s)+s
本设计中选取
乙1(小^_^
Bn(s)-sn
其中
Bn(s)=B4(s)=S42.6131s33.4142s22.6131s1
Z11G)B4(s)s42s42.6131s33.4142s22.6131s1
2.6131s33.4142s22.6131s1
"rT飞(s)-s4=
展开成连分式表示
乙1(s)
」0.7654s
Rs1.8478s
1.8478s
0.7654s+1
二L「s
C2's
21
L3's
3C4W1
其中,LJ,C2',L3',C4'是归一化电感、电容值,其实现电路如下图2所示,
图2归一化电路图
在实际实现电路时,需要把原型滤波器的元件值对频率和内阻去归一化。
电阻值恢复原来值即可,实际电容、电感值可由下式求出
Rs
LSL'
-'C
1
CC'
RS&'C
根据原型电路图对各元件去归一化,其中Rs取600Q:
二Rsg、6000.7654=1.62H
-'C
C2
C4
—C2'丄1.8478=1.0910“F
RsC6002-45
=-RsL3'6001.8478=3.92H
C2二45
A
——C4'-0.7654=4.5110»F
Rsc6002-45
标准化参数,取
Li=1.6H,C2=10uF,L3=3.9H,C4=4.7uF
5、matlab仿真
仿真电路如图3所示。
亡DntinuouE
povengiui
图3simulink仿真电路
用matlab软件仿真后,所得波特图如图4所示。
通过波特图可以看出所设计滤波器满足要求的技术指标。
LUViewer:
LinearizationQuickPlot
FileEditWindowHeIp
□\订困
-150
0
-360
-1=1
BodeDiagram
From:
hlTo.Out1
50
-ICC
-90
-150
-270
1
102
Frequency(rad/sec)
10
10
LTIViev.-er
图4simulink仿真波特图
在上述仿真电路输入端分别加两个正弦电压源信号,AC1为10V电压,60Hz
频率;AC2为1V电压,600Hz频率。
得到仿真结果如图5所示。
其中,图5下面部分为输入的两交流电压源的叠加信号,上面部分为通过滤波器后的输出信号。
通过对比可以看出,滤波器作用显著。
TJfvifoITmI4-
图5高频、低频叠加信号输入及输出波形
图6为60Hz交流电压源单独作用是的仿真结果。
下面部分为输入信号,上面部分为输出信号。
图6低频输入及输出波形
图7为600Hz交流电压源单独作用仿真结果,下面部分为输入信号,上面部
分为输出信号。
可以看到高频信号的幅值从-1v~1v衰减到-1.5X10」v~1.5X
10爼v,衰减了
6.7X104倍,滤波效果显著
图7高频输入及输出波形
小结
在本次滤波器课程设计中,根据设计要求,通过分析计算选用了4阶巴特沃思型滤波器,根据滤波器设计原理,求出系统的归一化传递函数,通过去归一化得到具体实际电路,求出理论的电容电感参数,然后,根据实际选取相关标准化参数,并用Matlab/Simulink软件进行了仿真实验,由输出波形和波特图看出,电路很好的实现了滤波的功能。
在制作实际电路中,由于电容电感可能会存在误差,并且根据环境的不同,实现的效果可能跟电路仿真的结果有差距,这就需要在制作的时候,综合考虑各个因素,并在不断试验中,选出最佳的参数。
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- 毕业论文 巴特沃斯低通 滤波器 设计