数学北师大版高中必修1第一节集合的概念及其运算.docx
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数学北师大版高中必修1第一节集合的概念及其运算
第一节集合的概念及其运算
考点串串讲
1.集合的概念与表示
(1)集合与元素
一般地,某些指定的对象集在一起,就称为一个集合,也简称集.或者说,符合某种条件(或具有某种性质)的全体就构成了一个集合.
通常用大写字母A,B,C,…表示集合,集合中的每个对象叫作这个集合的元素,通常用小写字母a,b,c,…表示.
(2)集合的分类
①集合
②空集:
不含任何元素的集合叫作空集,通常用符号∅表示.
如:
是空集,一方面它说明了方程组
无解,另一方面从解析几何的角度分析,说明了直线2x-y=1与直线4x-2y=3平行,没有公共点,因此由这两条直线的公共点组成的集合是一个空集.
注意集合{∅}、空集∅、数字0和{0}的区别与联系:
∅⊆{∅},∅∈{∅},0∈{0},∅≠0,∅≠{0}.
(3)基本数集专用符号
常用的基本数集有正整数集N*或N+、自然数集N、整数集Z、有理数集Q、实数集R和复数集C,它们之间满足的关系是N*NZQRC.要认识清楚这些集合的意义.
(4)集合中元素的性质
集合的元素具有确定性、互异性、无序性.
①确定性:
对于集合A和某一对象x,有一个明确的判断标准,要么x∈A,要么x∉A,二者必居其一.
如:
“所有的高个子”、“学习成绩好的人”.这类对象没有明确的标准,因此不能构成集合.
②互异性:
集合中的相同元素只能算作一个,即集合中没有重复的元素.
如:
{x|x2-2x+1=0}={1},而不能写成{1,1}.
③无序性:
集合中的元素是无序的.
如:
{1,2}与{2,1}是同一个集合.
两个集合相等:
当且仅当它们的元素完全相同时,这两个集合才相等.
(5)元素与集合的关系
①元素与集合的关系是“属于”与“不属于”的关系,某个对象x要么在集合A中,要么不在集合A中.如果x在A中,记为:
x∈A,读作“x属于A”;如果x不在A中,记为:
“x∉A”,读作“x不属于A”.
如:
3∈{3,5,8},而2∉{3,5,8}.
②元素与集合之间是个体与整体的关系.
③“∈”与“∉”不能随便用来表示集合与集合之间的关系,除非某个集合是另一个集合中的“元素”!
如:
{1}∈{1,3,5},{2}∉{1,3,5},这样的写法是错误的,而{1}∈{{1},{3},{1,3}}这种写法是正确的,因为在这里集合{1}是集合{{1},{3},{1,3}}中的元素了.
(6)集合的表示法
集合的表示法有列举法,描述法,图示法(Venn图法).
①列举法:
将集合中的所有元素一一列举出来,写在大括号内的表示法.
列举法适用于元素为有限个的集合或自然数集或其子集.
如:
Z={0,±1,±2,±3,…},N*={1,2,3,…}.
②描述法:
用确定的条件表示某些对象是否属于这个集合的方法.
如:
不等式|x|≤1的解集可以用描述法表示为:
{x||x|≤1}.
大括号中“|”的前面是集合的代表元素,后面是元素所满足的条件,即集合中所有元素共同具有的本质特性,有时“|”用“:
”代替,如{a+
b:
a∈Q,b∈Q}.
对于描述法需注意看清代表元素:
如集合{x|y=
},表示函数y=
的定义域,而集合{y|y=
}则表示函数y=
的值域.
还有方程组
的解集是
,这个集合中元素的形式是有序数对(x,y),其几何意义就是两曲线f(x,y)=0与g(x,y)=0的交点.
如方程组
的解集应写成
或{(2,0)},而不能写成{2,0},前者是单元集,即方程组只有唯一解
,亦即两直线只有唯一的公共点P(2,0),而{2,0}是一个二元集.
③图示法:
有时为了直观起见,用“框”或“圆”表示集合及其相互关系,这种表示法叫作Venn图法.如图所示.
各种表示法是可以相互转化的.
如:
{x||x|≤3,x∈Z}={0,±1,±2,±3}.
2.集合之间的关系
(1)子集、真子集
①定义:
如果对于集合A中的任何一个元素x,都有x∈B,则称集合A为集合B的子集,记作A⊆B或B⊇A.
特别地,如果A是B的子集,且在集合B中至少有一个元素x∉A,则称A是B的真子集,记作AB,或BA.
如QR,NZ.
②作为定义的特殊情况有:
(ⅰ)空集是任何非空集合的真子集,即∅A,空集是任何集合的子集,即∅⊆A;(ⅱ)任何集合A都是它本身的子集,即A⊆A.
③注意:
(ⅰ)在子集的定义中,不能理解为子集A是B中的“部分元素”所组成的集合.因为如果这样就无法理解上面(ⅱ)中的两种特殊性质;
(ⅱ)子集与真子集的区别就在于“A⊆B”允许A=B或AB,而“AB”是不允许“A=B”的,所以若“A⊆B”则“AB”不一定成立.
④若集合A中的元素有n个,则集合A的子集有2n个,其证明方法需要用到排列组合知识.
如集合A={0,1,2}的子集有23=8个,它们分别是:
{0},{1},{2},{0,1},{0,2},{1,2},{0,1,2},∅,其中真子集有23-1=7个,即集合{0,1,2}除外,其余的7个都为真子集.
(2)两个集合的相等关系——集合的相等
①定义:
对于两个集合A、B,如果A⊆B,同时B⊆A,那么A=B.
②注意:
(ⅰ)从两个集合相等的定义,可以看出,若两个集合相等,则两个集合的元素完全相同,反之也成立;
(ⅱ)教材中用彼此互相包含来定义相等.实际上也给出了两个集合相等的证明方法.
3.集合的运算
(1)交集
①定义:
由所有属于集合A且属于集合B的元素所组成的集合,叫作集合A与集合B的交集,记作A∩B,即A∩B={x|x∈A且x∈B}.
用Venn图表示,图中阴影部分为A∩B.
②根据定义,用Venn图不难验证下述交集的性质.
③注意:
(ⅰ)根据定义可知A∩B是由集合A与集合B的公共元素所组成的集合,如果A与B没有公共元素,则A∩B=∅.这一条可以看成是对定义的补充,所以又有了A∩∅=∅;
(ⅱ)如果集合B不确定而已知A∩B=∅,则应分两种情况考虑,一种是B≠∅的情形,另一种是B=∅的情形,在实际解题过程中有不少同学常常忽略这种情形.
(2)并集
①定义:
由所有属于集合A或属于集合B的元素所组成的集合,叫作集合A与集合B的并集,记为A∪B,即A∪B={x|x∈A或x∈B}.
②根据定义,用Venn图可以验证并集的性质.
(3)全集与补集
①全集
(ⅰ)定义:
全集是相对于所研究的问题而言的,如果一个集合含有我们所要研究的各个集合的全部元素,这个集合就可以看作是一个全集,常用U、I或S来表示.
(ⅱ)注意:
全集具有相对性,如研究有理数或无理数时常取实数集为全集.
②补集
(ⅰ)定义:
一般地,设S是一个集合,A是S的一个子集(即A⊆S),由S中所有不属于A的元素组成的集合,叫作S的子集A的补集(或余集),记为∁SA,即∁SA={x|x∈S,且x∉A}.
用Venn图表示,图中阴影部分为∁SA.
(ⅱ)根据定义及上图可以得出:
∁S(∁SA)=A,∁S∅=S,∁SS=∅.
(4)集合中元素的个数
①card(A)+card(∁UA)=card(U)
②card(A∪B)=card(A)+card(B)-card(A∩B)(容斥原理)
③card(A∩B)=card(A)-card(A∩∁UB)
=card(B)-card(B∩∁UA)
典例对对碰
题型一集合的表示方法
例1用列举法表示下列集合:
(1){x|
∈Z,x∈Z};
(2){x|x=
,a∈Z,|a|<2,b∈N*且b≤3};
(3){(x,y)|y=2x,x∈N且1≤x<4}.
解析
(1)∵
∈Z,∴|2-x|是6的因数,故|2-x|=1或|2-x|=2或|2-x|=3或|2-x|=6,即x=1、3、4、0、-1、5、-4、8.
∴{x|
∈Z,x∈Z}={-4,-1,0,1,3,4,5,8}.
(2)由a∈Z,|a|<2,知a=-1、0、1,由b∈N*且b≤3,知b=1、2、3.所以
的值为
、
、
、
、
、
、
、
、
.考虑到集合中元素的互异性,故原集合可用列举法表示为{-1,0,1,-
,
,-
,
}.
(3)∵x∈N且1≤x<4,∴x=1、2、3,其对应的y值分别为2、4、6,故原集合用列举法可表示为{(1,2),(2,4),(3,6)}.
变式迁移1
试用列举法表示下列集合:
(1)24的正约数;
(2)数轴上与原点的距离小于1的所有点;
(3)平面直角坐标系中Ⅰ、Ⅲ象限的角平分线上的点;
(4)所有非零偶数;
(5)所有被3除余数是1的数.
解析
(1){1,2,3,4,6,8,12,24};
(2){x||x|<1};
(3){(x,y)|y=x};
(4){x|x=2k,k∈Z,k≠0}或{x|
∈Z且x≠0};
(5){x|x=3k+1,k∈Z}.
题型二元素与集合的关系
例2设全集为R,A={x|x2-5x-6>0},B={x||x-5|<a}(a是常数),且11∈B,则有( )
A.(∁RA)∪B=R
B.A∪(∁RB)=R
C.(∁RA)∪(∁RB)=R
D.A∪B=R
解析 ∵A={x|x<-1或x>6},又11∈B,∴可知B不是空集.
∴a>0,B={x|5-a<x<5+a}.
∴由|11-5|<a知a>6,因此,有5-a<-1,5+a>6.
于是A∪B=R.
答案 D
变式迁移2
已知-3∈A={a-3,2a-1,a2+1},求a的值及对应的集合A.
解析 由-3∈A,可知,a-3=-3或2a-1=-3.当a-3=-3,即a=0时,A={-3,-1,1};当2a-1=-3,即a=-1时,A={-4,-3,2}.
题型三集合与集合之间的包含关系
例3设集合M={x|x=
+
,k∈Z},N={x|x=
+
,k∈Z},则( )
A.M=NB.MN
C.MND.M∩N=∅
解析 M={x|x=
+
,k∈Z}
={x|x=
,k∈Z},
N={x|x=
+
,k∈Z}
={x|x=
,k∈Z}.
∵2k+1为奇数,而k+2为整数,
∴MN,故选B.
答案 B
变式迁移3
(2011·南京调研)满足条件{1,2,5}MA={1,4,8,x,y,x-y}的所有不同集合M的个数为________.
答案 12个
解析 由条件2∈A且5∈A,知A={1,4,8,2,5,3}或{1,4,8,2,5,-3}或{1,4,8,2,5,7}.若M为四元素集合,则有{1,2,5,4}、{1,2,5,8}、{1,2,5,3}、{1,2,5,-3}、{1,2,5,7}共5个;若M为五元素集合,则有{1,2,5,4,8}、{1,2,5,4,3}、{1,2,5,4,-3}、{1,2,5,4,7}、{1,2,5,8,3}、{1,2,5,8,-3},{1,2,5,8,7}共7个.所以符合条件的集合M有12个.
题型四有关子集和真子集的问题
例4写出集合{a,b,c}的所有的子集,并指出其中哪些是它的真子集.
解析 子集为:
∅,{a},{b},{c},{a,b},{a,c},{b,c},{a,b,c};
真子集为:
∅,{a},{b},{c},{a,b},{a,c},{b,c}.
点评
(1)虽然问题简单,但在解题过程中常常漏掉空集与集合本身,一定要予以相当的关注.
(2)若集合中含有n个元素,则其子集的个数为2n个,其真子集的个数为2n-1个.
变式迁移4
写出满足{a,b}⊆A⊆{a,b,c,d}的所有集合A.
解析 由题设的包含关系知,一方面A是集合{a,b,c,d}的子集,与此同时又包含集合{a,b},A中必至少要含有元素a、b,而c、d两个元素可不含、含一个或含二个.
故满足条件的集合A有:
{a,b},{a,b,c},{a,b,d},{a,b,c,d}.
题型五集合的相等
例5已知以3个实数为元素给出的集合用列举法表示时,既能表示为{1,a,
}的形式,又能表示为{0,a2,a+b}的形式,试求实数a、b的值.
分析 设P={1,a,
},Q={0,a2,a+b},依题意即是在P=Q的条件下求实数a、b的值,由于有限集集合的相等即是对应元素之间的一一相等,由此可以建立一个关于a、b的方程组,但建立这一方程组时要注意讨论,并要保证所求的a、b使得集合中元素的互异性得到满足.
解析 依题意有{1,a,
}={0,a2,a+b},
∴有a=0或
=0,而a=0显然与集合中元素的互异性矛盾,∴
=0,即b=0,
∴{1,a,
}={1,a,0}={0,a2,a+b}={0,a2,a},
∴a2=1,∴a=±1,
当a=1时,a2=1与集合中元素的互异性矛盾,故舍去,
当a=-1时,{1,a,
}={0,a2,a+b}={0,-1,1},
因此,a=-1,b=0.
变式迁移5
已知集合A={x,xy,lg(xy)},B={0,|x|,y},若A=B,试求x,y.
解析 因为A=B,0∈B,所以0∈A,又因为lg(xy)有意义,所以xy≠0.同样也有x≠0,因此只能得到lg(xy)=0,故xy=1,1∈A,1∈B.于是|x|=1或y=1.
①当|x|=1时,x=±1,若x=1时,则集合A中的两元素x,xy都为1,而这与元素的互异性矛盾.若x=-1时,由xy=1,则y=-1.这时A={-1,1,0},B={0,-1,1}满足题设条件.
②当y=1时,由于xy=1,所以x=1.这也与集合A中的三元素要互异相矛盾.
综合①、②可得:
x=-1,y=-1.
题型六集合的运算
例6设全集是实数集R,M={x|-2≤x≤2},N={x|x<1},则(∁RM)∩N等于( )
A.{x|x<-2}B.{x|-2<x<1}
C.{x|x<1}D.{x|-2≤x<1}
分析 本题是以不等式的解集为实数集的子集,考查集合的运算,这是集合类命题的常见题型,进行相关运算时要注意逐步进行.如本题可以先求M在集合R中的补集,再求它与N的交集.
解析 ∵∁RM={x|x<-2,或x>2},
∴(∁RM)∩N={x|x<-2}.
答案 A
点评 进行不等式解集间的集合运算时,当遇到较为复杂情况时,要注意利用数轴来表示各个不等式的解集,以便能直观地分析出各个集合之间的关系.
变式迁移6
已知A={x|x2+ax+b=0},B={x|x2+cx+15=0},且A∩B={3},A∪B={3,5},求a、b、c的值.
解析 ∵A∩B={3},∴3∈B,
即9+3c+15=0,∴c=-8.
∴B={3,5}=A∪B,∴A⊆B,
又∵A∩B={3},∴A≠B,∴A={3}.
此时必有a2-4b=0,且-
=3,∴a=-6,b=9,
因此,a=-6,b=9,c=-8.
题型七Venn图的应用
例7已知全集U={x∈N*|x<10},且∁UA∩B={1,9},∁UA∩∁UB={6,8},A∩B={2,4},求集合A和B.
分析 全集U中的两个子集A、B,可以将全集分成∁UA∩B、A∩∁UB、A∩B和∁UA∩∁UB四大块,本题在化简集合U、明确全集U中的元素后,就能利用Venn图反映出对全集U的四块划分,从而直接写出集合A和B来.
解析 依题意,全集U={1,2,3,4,5,6,7,8,9},
作出Venn图如图所示,容易知道A={2,3,4,5,7},B={1,2,4,9}.
点评 对于全集中的任意集合A、B、C,用Venn图可以验证它们之间满足下列性质:
(1)A∩(B∪C)=(A∩B)∪(A∩C);
(2)A∪(B∩C)=(A∪B)∩(A∪C).
变式迁移7
已知全集I={1,2,3,4,5,6,7,8,9},A∩B={2},∁IA∩∁IB={1,9},∁IA∩B={4,6,8},求集合A、B.
解析 用Venn图将题中给出的数填入相应的位置,3、5、7三数只能填到图中的A∩∁IB处,所以A={2,3,5,7},B={2,4,6,8}
题型八涉及到有关空集(∅)的问题
例8已知集合A={x|-2≤x≤5},B={x|m+1≤x≤2m-1},若B⊆A,求实数m的取值范围.
解析 ∵A={x|-2≤x≤5},B={x|m+1≤x≤2m-1},且B⊆A.
①若B=∅,则m+1>2m-1,解得m<2,此时有B⊆A;
②若B≠∅,则m+1≤2m-1,解得m≥2,由B⊆A得
解得2≤m≤3.
由①②得m≤3.
∴实数m的取值范围是{m|m≤3}.
点评 进行集合运算,首先要分析简化每个集合,同时切莫漏掉有关空集的情况.
变式迁移8
若集合A={x|x2+x-6=0},B={x|mx+1=0},且BA,求m的值.
解析 A={x|x2+x-6=0}={-3,2}.
∵BA,∴mx+1=0的解为-3或2或无解.
当mx+1=0的解为-3时,由m·(-3)+1=0,得m=
;
当mx+1=0的解为2时,由m·2+1=0,得m=-
;
当mx+1=0无解时,m=0.
综上所述,m=
,或m=-
,或m=0.
题型九集合中的转化思想
例9设A={x|x2+4x=0},B={x|x2+2(a+1)x+a2-1=0}.
(1)若A∩B=B,求a的值;
(2)若A∪B=B,求a的值.
分析 明确A∩B=B和A∪B=B的含义,根据问题的需要,将A∩B=B和A∪B=B转化为等价的关系式B⊆A和A⊆B是解决本题的关键.同时,在包含关系B⊆A中,不要漏掉B=∅的情况.
解析 首先化简集合A,得A={-4,0}.
(1)由于A∩B=B,则有B⊆A,可知集合B或为∅,或为{0},{-4},{0,-4}.
①若B=∅,由Δ=4(a+1)2-4(a2-1)<0,得a<-1.
②若0∈B,代入,得a2-1=0,
∴a=1或a=-1.
当a=1时,B={x|x2+4x=0}={0,-4}=A,符合题意;
当a=-1时,B={x|x2=0}={0}A,也合题意.
③若-4∈B,代入,得a2-8a+7=0,
∴a=7或a=1.
当a=1时,②中已讨论,符合题意;
当a=7时,B={x|x2+16x+48=0}={-12,-4},不合题意,因此a≠7.
由①、②、③得a=1,或a≤-1.
(2)因为A∪B=B,所以A⊆B.又因为A={-4,0},而B至多只有两个根,因此应有A=B.由
(1)知,a=1.
变式迁移9
设A={x|-2≤x≤a},B={y|y=2x+3,x∈A},C={z|z=x2,x∈A},且B∩C=C,求实数a的取值范围.
解析 ∵B∩C=C⇒C⊆B,
又∵A={x|-2≤x≤a},∴a≥-2.
∴B={y|y=2x+3,x∈A}
={y|-1≤y≤2a+3}.
①当a≥2时,
C={z|z=x2,x∈A}={z|0≤z≤a2}.
由C⊆B⇒a2≤2a+3,即-1≤a≤3.
而a≥2,∴2≤a≤3.
②当0≤a<2时,
C={z|z=x2,x∈A}={z|0≤z≤4}.
由C⊆B⇒4≤2a+3,即a≥
.
又0≤a<2,∴
≤a<2.
③当-2≤a<0时,
C={z|z=x2,x∈A}={z|a2<z≤4}.
由C⊆B⇒4≤2a+3,即a≥
,这与-2≤a<0矛盾,
此时无解.
综上,a的取值范围为:
{a|
≤a≤3}.
题型十集合的开放题
例10设P是一个数集,且至少含有两个数,若对任意a、b∈P,都有a+b、a-b、ab、
∈P(除数b≠0),则称P是一个数域,例如有理数集Q是数域,有下列命题:
①数域必含有0,1两个数;
②整数集是数域;
③若有理数集Q⊆M,则数集M必为数域;
④数域必为无限集.
其中正确命题的序号是________.(把你认为正确的命题的序号都填上)
解析 命题①,设P是数域,a∈P且a≠0,
由数域定义知a-a∈P,
∈P,
即0∈P,1∈P,故命题①正确;
命题②,由1∈Z,2∈Z但
∉Z知整数集不是数域,故命题②不正确;
命题③,设M={x|x∈Q或x=π},
则Q⊆M,取a=2,b=π有a∈M,b∈M,
但ab=2π∉M,故数集M不是数域,命题③不正确;
命题④,设P为数域,m∈P且m≠0,
则由数域定义知2m∈P,3m∈P,4m∈P,…,nm∈P(n∈N*),故集合P为无限集,命题④正确.
答案 ①④
变式迁移10
定义M-N={x|x∈M且x∉N},则集合M-(M-N)=( )
A.MB.N
C.M∩ND.∅
答案 C
解析 由图可知,M-N为如图所示的阴影部分,所以M-(M-N)=M∩N.
方法路路通
1.集合语言是一种数学的符号语言,要学会正确地使用符号:
∈,∉,⊆,⊇,,,∩,∪,∁U等.要注意集合语言转译的准确性.
2.处理集合问题时,要注意化简集合的表达式,如果集合中含有字母而使集合不确定时,要注意对字母进行讨论.尤其注意空集的特殊性以及解题后的检验.
3.当集合间关系比较复杂时,一方面要用Venn图或数轴进行直观表示;另一方面要学会用元素分析法寻求集合之间的联系与区别,要注意集合中补集思想的灵活运用.
4.常用的运算性质及一些重要结论
(1)A∩A=A,A∩∅=∅,A∩B=B∩A
(2)A∪A=A,A∪∅=A,A∪B=B∪A,A∩(B∪C)=(A∩B)∪(A∩C)
(3)A∩∁UA=∅,A∪∁UA=U
(4)(C∪A)∩(C∪B)=C∪(A∩B),(C∩A)∪(C∩B)=C∩(A∪B)
(5)A∩B=A⇔A⊆B,A∪B=A⇔B⊆A
(6)∁U(A∩B)=(∁UA)∪(∁UB),∁U(A∪B)=(∁UA)∩(∁UB)
(7)card(A∪B)=card(A)+card(B)-card(A∩B)
(8)A⊆B,B⊆C则A⊆C
5.掌握集合的概念关键是把握集合中元素的三大特性:
确定性、互异性、无序性.要特别注意集合的互异性,在解题过程中最容易被疏忽,因此要对计算结果加以检验,以确保结果的正确性,防止所得结果违反集合中元素的互异性.
6.解答集合有关的问题应首先认清集合中的元素是什么,是数集还是点集?
而后再进行相关运算,以免混淆集合中元素的属性.
例如:
{x|x2+2x-3=0}表示方程x2+2x-3=0的根组成的集合.
{x|x2+2x-3>0}表示不等式x2+2x-3>0的解集.
{x|y=x2+2x-3}表示函数y=x2+2x-3的定义域.
{y|y=x2+2x-3}表示函数y=x2+2x-3的值域.
{(x,y)|y=x2+2x-3}表示函数y=x2+2x-3的图像上的点构成的集合是点集.
总之:
认清集合,一定要看清楚代表元素.然后是代表元素应满足的条件.
7.分清集合中的两种隶属关系,即元素与集合、集合与集合的关系是正确掌握和解答集合问题的先决条件,也是正确使用集合有关术语和符号的基础.请记住:
元素与集合的关系是:
“个体与集体的关系”,而集合与集合的关系是“集体与集体的关系”.
8.如果一个集合中含有n个元素,那么这个集合的子集个数为2n,非空子集的个数为2n-1,非空真子集的个数为2n-2.
9.注意空集∅的特殊性.在解题中,若未指明集合非空时,要考虑到空集的可能性.如A⊆B,则有A=∅或A≠∅两种可能,此时应分类讨论.
10.等价转化思想:
解答集合问题时,有时需要对给定的
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