高三数学对数函数教案20.docx
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高三数学对数函数教案20
高三数学对数函数教案20
2.10对数对数函数
一、明确复习目标
1理解对数的概念,掌握对数的运算性质,能正确进行运算;
2掌握对数函数的概念、图象和性质,并能运用图象和性质去解决有关问题。
二.建构知识网络
1对数的定义:
如果ab=N(a>0,a≠1),那么b叫做以a为底N的对数,记作lgaN=b
易得:
——对数恒等式
2指数式与对数式的关系:
ab=NlgaN=b(a>0,a≠1,N>0)
要能灵活运用这个关系,能随时将二者互化。
3对数运算性质:
①lga(N)=lga+lgaN②lga=lga-lgaN
③lgan=nlga(>0,N>0,a>0,a≠1)
④换底公式:
lgbN=(0<a≠1,0<b≠1,N>0)
4对数函数:
(1)定义:
=lgax(a>0,a≠1)叫对数函数,x是自变量,是x的函数。
对数函数与指数函数是互为反函数;
(2)对数函数的图象(3)对数函数的性质:
①定义域:
(0,+∞)②值域:
R
③过点(1,0),即当x=1时,=0
④当a>1时,在(0,+∞)上是增函数;当0<a<1时,在(0,+∞)上是减函数
底数互为倒数的两个对数函数的图象关于x轴对称
三、双基题目练练手
1(2006福建)函数的反函数是()
(A) (B)
() (D)
2若≥,则()
A.≥0B.≥0
.≤0D.≤0
3(2004全国Ⅰ)已知函数f(x)=lg,若f(a)=b,则f(-a)等于()
AbB-bD-
4已知,其中,则下列不等式成立的是()
A.B.
.D.
.计算:
=
6.已知函数的值域为R,则实数a的取值范围是
7已知函数的图象与函数(且)的图象关于直线对称,记若在区间上是增函数,则实数的取值范围是
简答精讲:
1-4ABB;2是增函数,x≥-;3f(x)是奇函数,f(-a)=-f(a)=-b;
4当0<x<1时,递减,,∴选;都换成2为底的对数,答案;6只须能取大于0的所有值,由图象知,答案;7记u=lgax,g(x)=u(u-),在时递减,时递增若0<a<1,则时,,要使g(x)递增必
若a>1,同理可知无解
所以,a的取值范围是
四、经典例题做一做
【例1】
(1)若60a=3,60b=求12的值
(2)已知31a=b=13,求证:
ab-b-3a=0
解
(1)a=lg603,b=lg60,
1-b=1-lg60=lg6012,
1-a-b=1-lg603-lg60=lg604,
==lg124,
12=12=12=2
证
(2)设31a=b=13=>0,则lg31a=lg,
∴同理,
把上述三式代入得
ab-b-3a=点评:
注意指数式和对数式的灵活转化;注意对数运算性质的正确运用
【例2】
(1)求函数
的值域
(2)设=(lg2x)2+(t-2)lg2x+1-t,若t在区间[-2,2]上变化时,值恒正,求x的取值范围
解:
①当,即时,值域为;
②当,即时,上单调递减,
,值域为
(2)=(lg2x-1)t+[(lg2x)2-2lg2x+1]关于变量t的图象是直线,要t∈[-2,2]时值恒正,只要t=-2和2时的值恒正,即有∴lg2x>3或lg2x<-1
∴x>8或0<x<
步骤归纳:
(1)正确确定定义域;转化为二次函数值域;再分类讨论;
(2)转化为一次函数在[-2,2]上恒正问题;再数形结合列出不等式组求的范围
【例3】已知函数,
(1)求f(x)的定义域;
(2)此函数的图象上是否存在两点,过这两点的直线平行于x轴?
(3)当a、b满足什么条时f(x)恰在取正值
解:
(1),
又,故函数的定义域是
(2)问题的结论取决于是否单调,考察单调性有三种方法:
①求导,②运用单调性定义,③复合分析,但以方法①最好
(解一)任取,则,即在定义域内单调递增,故不存在所述两点;
(解二)求导:
,,,在定义域内单调递增,故不存在所述两点;
(3)在单调递增,∴命题等价于:
,
思维拓展题
(2)中证单调性的方法有——
【例4】设a>0,a≠1,f(x)=lga(x+)
(1)判断函数f(x)的奇偶性;
(2)求函数的反函数f-1(x);
(3)若方程f(x)=lga(2x+a)有实数解,求的取值范围。
解∵x+>x+|x|≥0∴f(x)定义域为R。
设u=x+,则u∈(0,+∞),f(x)值域为R。
(1)f(-x)=lga(-x+)
=lga(x+)-1=-f(x)
∴f(x)是奇函数。
(2)设=lga(x+),则
a=x+,a-=-x
∴a-a-=2xx=(a-a-)
∴反函数f-1(x)=(ax-a-x)(x∈R)
(3)由对数性质知lga(x+)=lga(2x+a)
∴当=0时,②无解,从而原方程无解。
当≠0时,又a>0,由②得x=代入①得,
>-∴>0
∴>0∴>0
∴当>0时,原方程有实数解。
解题札记:
1定义域优先;求出值域作反函数的定义域;
2变形f(-x)=f(x)的方法——分子有理化;
3解对数方程的方法——去对数符号。
【研讨欣赏】设函数f(x)=lga(x-3a)(a>0且a≠1),当点P(x,)是函数=f(x)图象上的点时,点Q(x-2a,-)是函数=g(x)图象上的点
(1)写出函数=g(x)的解析式;
(2)若当x∈[a+2,a+3]时,恒有|f(x)-g(x)|≤1,试确定a的取值范围
解:
(1)设点Q的坐标为(x′,′),
则x′=x-2a,′=-即x=x′+2a,=-′
∵点P(x,)在函数=lga(x-3a)的图象上,
∴-′=lga(x′+2a-3a),即′=lga,
∴g(x)=lga
(2)由题意在[a+2,a+3]上x-3a≥(a+2)-3a=-2a+2>0;
又a>0且a≠1,∴0<a<1,
∵|f(x)-g(x)|=|lga(x-3a)-lga|=|lga(x2-4ax+3a2)|
而|f(x)-g(x)|≤1,∴-1≤lga(x2-4ax+3a2)≤1,
∵0<a<1,∴
又a+2>2a知u(x)=x2-4ax+3a2在[a+2,a+3]上为增函数,
∴只需
解得0<a≤,
∴所求a的取值范围是0<a≤
方法提炼
(1)求对称图象的函数解析式的方法;
(2)先去绝对值,再利用单调性列不等式组求a的取值范围
五.提炼总结以为师
1对数的概念、运算性质:
2对数函数的定义、图象和性质:
3感悟知识、思想方法在解题中的运用;
同步练习2.10对数与对数函数
【选择题】
1(2006浙江)已知,则()
ABD
2.若,则()
A.4B.16.26D.81
3设函数f(x)=lga|x|在(-∞,0)上单调递增,则f(a+1)与f
(2)的大小关系是()
Af(a+1)=f
(2)Bf(a+1)>f
(2)
f(a+1)<f
(2)D不能确定
4设,则与的大小关系为()
A.B.
.D.与的大小关系不确定
【填空题】
(2006江西)设的反函数为,若
则________
6已知,,则用a,b表示为
答案提示:
1-4ABB;3易得f(x)是偶函数,又在(-∞,0)上递增,∴f(x)在(0,+∞)上单调递减,0<a<11<a+1<2∴f(a+1)>f
(2)
4,选B;2;
6由得,又,
∴,∴
【解答题】
7设不等式2(lgx)2+9(lgx)+9≤0的解集为,求当x∈时函数f(x)=(lg2)(lg2)的最大、最小值
解∵2(x)2+9(x)+9≤0
∴(2x+3)(x+3)≤0∴-3≤x≤-
即()-3≤x≤()
∴()≤x≤()-3,∴2≤x≤8
即={x|x∈[2,8]}
又f(x)=(lg2x-1)(lg2x-3)=lg22x-4lg2x+3=(lg2x-2)2-1
∵2≤x≤8,∴≤lg2x≤3
∴当lg2x=2,即x=4时in=-1;当lg2x=3,即x=8时,ax=0
8已知函数f(x)=lgax(a>0且a≠1),(x∈(0,+∞)),若x1,x2∈(0,+∞),判断[f(x1)+f(x2)]与f()的大小,并加以证明
解f(x1)+f(x2)=lgax1+lgax2=lgax1x2,
∵x1,x2∈(0,+∞),x1x2≤()2(当且仅当x1=x2时取“=”号),
当a>1时,有lgax1x2≤lga()2,
∴lgax1x2≤lga(),(lgax1+lgax2)≤lga,
即f(x1)+f(x2)]≤f()(当且仅当x1=x2时取“=”号)
当0<a<1时,有lgax1x2≥lga()2,
∴(lgax1+lgax2)≥lga,即[f(x1)+f(x2)]≥f()(当且仅当x1=x2时取“=”号)
9.已知函数x,满足x≥1,≥1lga2x+lga2=lga(ax2)+lga(a2)(a>0且a≠1),求lga(x)的取值范围
9解:
由已知等式得lga2x+lga2=(1+2lgax)+(1+2lga),
即(lgax-1)2+(lga-1)2=4,
令u=lgax,v=lga,=lgax,则(u-1)2+(v-1)2=4(uv≥0),=u+v
在直角坐标系uv内,
圆弧(u-1)2+(v-1)2=4(uv≥0)与平行直线系v=-u+有公共点,
分两类讨论
(1)当u≥0,v≥0时,即a>1时,结合判别式法与代点法得
1+≤≤2(1+);
(2)当u≤0,v≤0,即0<a<1时,同理得到2(1-)≤≤1-
综上,当a>1时,lgax的最大值为2+2,最小值为1+;
当0<a<1时,lgax的最大值为1-,最小值为2-2
10 已知函数的反函数,
(1)若,求的取值范围;
(2)设函数,当时,求的值域
解∵ ,∴
(1)∵即
∴,
∴解之得,
∴
(2)∵
令,显然在[0,1]递增,则有
∴,即的值域为
【探索题】在函数的图象上有A、B、三点,它们的横坐标分别为、、,若△AB的面积为S,求函数的值域
解:
设A、B、在轴上的射影分别为A1、B1、1,
,
令,
,
的值域为
9已知函数
(1)讨论的奇偶性与单调性;
(2)若不等式的解集为的值;
(3)求的反函数;
(4)若,解关于的不等式R)
解:
(1)定义域为为奇函数;
,求导得,
①当时,在定义域内为增函数;
②当时,在定义域内为减函数;
(2)①当时,∵在定义域内为增函数且为奇函数,
;
②当在定义域内为减函数且为奇函数,
;
(3)
R);
(4)
,;①当时,不等式解集为R;
②当时,得,不等式的解集为;
③当
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