致远管理学院 品质管理3.docx
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致远管理学院品质管理3
授课目录
第1章质量管理概说
第2章统计学概论
第3章机率概论及机率分配
第4章统计制程管制与管制图
第5章计量值管制图
第6章计数值管制图
第7章制程能力分析
第8章允收抽样的基本方法
第9章计数值抽样计划
第10章计量值抽样计划
第11章量具之再现度与再生度
第12章质量管理之新七大手法
第三章機率概論及機率分配
3.1集合论
◎集合论(SetTheory)机率论(Probability)群体分配
◎集合是元素的聚合,而元素是集合的单位。
A={1,2,3}1,2,3为A集合的单位1A
无元素的集合存在,称之为空集合,记做{}或
例集合B={X|X2+6X+5=0}求B={-1,-5}
◎元素和集合的关系
A={1,2,3}1A;4A
◎集合和集合的关系
(1)子集关系:
AB(A含于B或B包含A)即A中任一元素均在B集合中可找到
A={1,2,3}B={1,2,3,4}AB
(2)等集关系:
A=B(A等于B)即集合A与集合B中的元素完全相同
A={0,1}B={X|X(X-1)=0}A=B
(3)对等关系:
A~B(A对等于B)即集合A中每一元素可与集合B中的每一元素一对一对应关系
A={0,1}B={合格品,不合格品}
◎集合之运算
(1)联集运算:
AB
(2)交集运算:
AB
(3)去集运算:
A-B
(4)结合律:
ABC=(AB)C=A(BC)
(5)交换律:
AB=BA
(6)分配律:
A(BC)=(AB)(AC)
(7)余集:
设为全集,则-A称之为A之余集,
记作A’,-A=A’
若A’A=A’A=(A’)’=A
另A-B=AB’
(8)分割:
设为全集,集合A、B均含于,当满足(a)AB=(b)AB=时,则称为A、B为上的分割。
(9)余集律:
(AB)’=A’B’(AB)’=A’B’
******************
符号说明:
X:
随机变数,P:
机率,p:
不合格率
p(x):
机率密度函数(离散型)
f(x):
机率密度函数(连续型)
F(x):
累积机率分配函数(连续型、离散型)
E[X]=(期望值),V[X]=2(变异数)
:
母体平均值,2:
母体变异数
:
样本平均值,S2:
样本变异数
***********************
3.2机率的概念
◎机率论是现代统计学的基础。
机率是为了衡量不确定结果,而建构出来的一种测度。
其中基本的概念为:
※机率空间(ProbabilitySpace):
系统中,集合所有可能出现的事件而构成的一个抽象空间,通常以表示。
有时亦称样本空间(SampleSpace)或结果空间(OutcomeSpace)。
※事件(Events):
系统中我们所要讨论合理且可能发生的现象,是机率空间的基本元素。
※随机实验(RandomExperiment):
可能出现的结果有很多种,重复实验时无法明确预知得到什么结果的实验方式。
※随机变数(RandomVariables):
定义在机率空间的一个量测机率的工具,通常以一个一对多的不确定函数表示。
它对实验的每一种结果指定一数值与之对应。
或将『文字叙述』转换成『数字叙述』(将实验结果以数值表示,省略一一列出可能实验结果的烦杂)。
常以X表示之,且其结果常符合某一特定分配。
函数系针对定义域与对应域(值域)之间一对一或多对一的关系,即输入某一数值就对应输出另一数值,过程与结果均是确定的(Deterministic)。
但当输入一事件却可能出现好几种其他情况时,如掷一骰子对应的是可能出现6种情况,此即随机变量。
简言之,随机变量是一种多的『广义函数』。
实数值x(事件)之机率P(X=x)决定机率分配函数p(x)。
范例、某品牌相同原子笔n支,内有不合格品,某同学任意选1支,试写出样本空间?
(合格品=G,不合格品=NG)
={G,NG}=21
若以不格合品数目表示(随机变量之概念,转换成数字)
X的可能值有0,1;={X|0,1};如{x=1}={NG}
(X:
随机变数表选得不合格品数;x:
事件)
范例、承上题,某同学任意选2支,试写出样本空间?
={(G,G),(G,NG),(NG,G),(NG,NG)}=22
若以不格合品数目表示(随机变量之概念,转换成数字)
X的可能值有0,1,2;X={X|0,1,2}
如{x=1}={(G,NG),(NG,G)}
范例、承上题,某同学任意选3支,试写出样本空间?
={(G,G,G),(G,G,NG),(G,NG,G),(NG,G,G),(G,NG,NG),(NG,G,NG),(NG,NG,G),(NG,NG,NG)}=23
若以不格合品数目表示(随机变量之概念,转换成数字)
X的可能值有0,1,2,3;X={X|0,1,2,3}
如{x=1}={(G,G,NG),(G,NG,G),(NG,G,G)}
实验检验真理,真理只有一个。
然随机实验中,其产生之结果是不确定的(Uncertainty)。
机率就是衡量此不确定结果,而建构出来的一种测度。
如何决定机率值---决定机率值的方法
(1)理论机率=古典机率=机会均等机率
※样本空间内有n()个元素,若事件A为之部份集合,含n(A)个元素,则事件A的机率为:
P(A)=n(A)/n()
范例、承上题,某同学任意选1支,为不合格品之机率?
n()=21事件={NG}n(A)=1P(A)=1/2
若以不格合品数目表示(随机变量之概念,转换成数字)
X的可能值有0,1;={X|0,1};则{x=1}={NG}
P(A)=n(A)/n()P(x=1)=P({NG})=1/2
范例、承上题,某同学任意选2支,有1不合格品之机率?
n()=22事件={(G,NG),(NG,G)}n(A)=2P(A)=2/22=1/2
若以不格合品数目表示(随机变量之概念,转换成数字)
X的可能值有0,1,2;X={X|0,1,2}
{x=1}={(G,NG),(NG,G)};
P(x=1)=P({(G,NG),(NG,G)})=2/4=1/2
范例、承上题,某同学任意选3支,有1不合格品之机率?
n()=23
事件={(G,G,NG),(G,NG,G),(NG,G,G)}n(A)=3P(A)=3/23=3/8
若以不格合品数目表示(随机变量之概念,转换成数字)
X的可能值有0,1,2,3;X={X|0,1,2,3}
则{x=1}={(G,G,NG),(G,NG,G),(NG,G,G)}
P(x=1)=P({(G,G,NG),(G,NG,G),(NG,G,G)})=3/8
计算理论机率的方法亦称古典方法,此法依靠抽象的推理与逻辑分析,而不必进行实际的试验。
(2)经验机率=客观机率
※一随机实验重复试行n次,其中A事件共发生fA次,则A事件发生之机率可视为发生次数与总次数比:
P(A)=fA/n
当实验的次数愈多,事件的相对次数比将愈趋稳定;即
P(A)=
fA/n
(3)主观认定机率
※一事件发生之机率,常由人们对此事的经验,或心理的感觉而决定。
此机率较有争议。
机率公设
在样本空间中,事件A发生的机率记做P(A),机率必须符合以下公设:
(1)P()=1,P()=0
(2)P(A)0
(3)P(A’)=1-P(A),其中A’=-A
(4)若B,P(AB)=P(A)+P(B)-P(AB)
樣本空間計算基本法則
法則一(加法原理):
完成一件事有二種方式,第一種方式有n1種方法,第二種方式有n2種方法,則完成此事件共有n1+n2種方法。
法則二(乘法原理):
完成一件事有k個階段,第一階段有n1種方法,第二階段有n2種方法,第k階段有nk種方法,則完成此事件共n1n2…nk種方法。
法則三:
在n個不同事物中,任取r個予以組合,其方法有C(n,r)=n!
/(n-r)!
r!
。
范例、甲、乙二人掷骰子,约定甲掷出点数是1,2时,甲可得2元;点数是3,4时可得4元;点数是5时可得10元;点数是6时,则甲需付给乙20元。
令X表掷骰子后甲所得的钱,求X的机率分布?
={1,2,3,4,5,6};n()=6
X的可能值有2,4,10,-20;X={X|2,4,10,-20}
P(x=2)=P({1,2})=n(A)/n()=2/6
P(x=4)=P({3,4})=n(A)/n()=2/6
P(x=10)=P({5})=n(A)/n()=1/6
P(x=-20)=P({6})=n(A)/n()=1/6
x
2
4
10
-20
p(x)
2/6
2/6
1/6
1/6
范例、甲掷一枚铜板2次,令X表出现正面的次数,求X的机率分布?
={正正,正反,反正,反反};n()=4
X的可能值有0,1,2;X={X|0,1,2}
P(x=0)=P({反反})=n(A)/n()=1/4
P(x=1)=P({正反,反正})=n(A)/n()=2/4
P(x=2)=P({正正})=n(A)/n()=1/4
x
0
1
2
p(x)
1/4
2/4
1/4
上述二范例均为离散型数据系属离散型随机变量,即实验结果其对应之数值只有可数的几种可能值,且可一一列出此种情况,以机率P(X=x)决定机率分配函数p(x)(离散型)。
反之,连续型数据系属连续型随机变量,即实验结果其对应之数值不能列出各种可能值,则以机率P(Xa)决定机率分配函数f(x)(连续型)。
3.3统计独立与条件机率
定义:
统计独立(StatisticallyIndependent)
在样本空间中有两事件A与B,若A发生的机率不受B影响,即P(AB)=P(A)P(B),则称事件A与B为统计独立。
范例:
(独立无关联)
爱足球
不爱足球
合计
男
648
252
900
女
72
28
100
P(男)=900/1000=0.9;P(女)=100/1000=0.1=1-0.9
P(爱足球)=(648+72)/1000=0.72
P(不爱足球)=(252+28)/1000=0.28=1-0.72
P(男爱足球)=648/1000=0.648
P(男不爱足球)=252/1000=0.252
P(女爱足球)=72/1000=0.072
P(女不爱足球)=28/1000=0.028由于
P(男爱足球)=0.648=P(男)P(爱足球)
P(男不爱足球)=0.252=P(男)P(不爱足球)
P(女爱足球)=0.072=P(女)P(爱足球)
P(女不爱足球)=0.028=P(女)P(不爱足球)
定义:
互斥事件(DisjointEvents)
在样本空间中有两事件A与B,若其集合无共同元素,即AB=,则称事件A与B互斥。
P(AB)=0。
定义:
条件机率
在样本空间中有两事件A与B。
在事件A已发生的条件下,事件B发生的机率称为条件机率,以P(B|A)表示,则P(B|A)=P(BA)/P(A)。
范例、掷一枚铜板2次,求2次均出现相同结果下,至少出现一次正面的机率?
={正正,正反,反正,反反};n()=4
A:
2次均出现相同结果={正正,反反};n(A)=2
P(B|A)=P(BA)/P(A)=(1/4)/(1/2)=1/2
范例、甲到玉市购玉,已知某玉店的10块玉中有4块为膺品。
甲欲买该店2块玉,则2块均为真品的机率?
设A为第一块玉为真品的事件,B为第二块玉为真品的事件,则
P(BA)=P(A)P(B|A)=(6/10)*(5/9)=1/3
定理:
贝氏定理
设B1,B2,…,Bn为互斥事件,且事件A为含有各种事件Bi某种共同特性之任意事件。
在事件A已发生情况下,则事件Bk发生之机率为
P(Bk|A)=P(Bk)P(A|Bk)/
P(Bi)P(A|Bi)
范例、甲制造车厂有二条生产线B1,B2,分别各占60%和40%的生产量。
已知生产线B1有2%的不合格率,生产线B2有3%的不合格率,兹某人购买该车厂乙部车有瑕疵,则此车为生产线B1之产品的机率?
P(B1)=0.6,P(A|B1)=0.02;P(B2)=0.4,P(A|B2)=0.03
P(B1)=P(B1)P(A|B1)/[P(B1)P(A|B1)+P(B2)P(A|B2)]
=(0.6)(0.02)/[(0.6)(0.02)+(0.4)(0.03)]=0.5
3.4机率分配函数及其特征值
机率分配函数(ProbabilityDistributionFunction)可了解事件在机率空间中,其密度分布的情况,或样本在母体中出现的频率的情形。
机率分配函数通常指累积机率分配函数(cdf,CumulativeProbabilityDistribution)以F(x)表示之,或机率密度函数(pdf,ProbabilityDensityFunction)分别以p(x)---离散型与f(x)---连续型表示之。
机率分配之性质
x离散型:
(1)0p(xi)1所有xi值
(2)P(X=xi)=p(xi)所有xi值
(3)p(xi)=1所有xi值
x连续型:
(1)0f(x)
(2)P(axb)=
f(x)dx
(3)
f(x)dx=1
一个随机变量X之累积机率分配函数F(x)定义为:
F(x)=P(Xx)
F(x)表示随机变量X之值小于或等于x的机率。
x1Xx2时
P(x1Xx2)=F(x2)-F(x1)
F(x)具有下列性质
(a)F(x)是递增函数,即若ab,则F(a)F(b)
(b)limx-F(x)=0,limxF(x)=1
(c)F(x)是右连续函数
掷1骰子2次,令随机变数X为2次点数之和
x
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
p(x)
1/36
2/36
3/36
4/36
5/36
6/36
5/36
4/36
3/36
2/36
1/36
F(x)
1/36
3/36
6/36
10/36
15/36
21/36
26/36
30/36
33/36
35/36
1
P(5X9)=F(9)–F(5)=30/36–10/36=20/36
平均值、变异数与期望值
一个机率分配的平均值是其集中趋势。
其定义为
=
xf(x)dx连续型
=xp(x)(所有x值)离散型
亦可将平均值表示为随机变量X的期望值(ExpectedValue)。
其定义为
=E[X]=
xf(x)dx连续型
=E[X]=xp(x)(所有x值)离散型
其中E代表为期望值运算符(ExpectedValueOperator)。
一个机率分配的变异数是其离散趋势。
其定义为
2=
(x-)2f(x)dx连续型
2=(x-)2p(x)(所有x值)离散型
亦可将变异数以期望值表示。
其定义为
2=E[(x-)2]
另变异数的使用亦可定义为变异数运算符(VarianceOperator)V表示
V[X]=E[(x-)2]=2
有关随机变数X之平均值与变异数2与常数c,则
(1)E[c]=c
(2)E[X]=
(3)E[cX]=cE[X]=c
(4)V[c]=0
(5)V[X]=2=E[X2]-2
(6)V[cX]=c22
(7)E[X1+X2]=E[X1]+E[X2]=1+2
(8)V[X1+X2]=V[X1]+V[X2]+2Cov[X1,X2]
其中Cov[X1,X2]=E[(X1-1)(X2-2)]为随机变数X1与X2之共变异数(Covariance)。
如X1与X2是独立的,则Cov[X1,X2]=0。
(9)V[X1-X2]=V[X1]-V[X2]+2Cov[X1,X2]
倘X1与X2是独立的,则
(10)V[X1-X2]=V[X1]+V[X2]=21+22
(11)E[X1X2]=E[X1]E[X2]=12
一般而言,X1与X2是否独立
(12)E[X1/X2]E[X1]/E[X2]
范例:
每天大型生日蛋糕销售量(X)
销售量
0
1
2
3
4
5
机率
0.1
0.1
0.2
0.3
0.2
0.1
E[X]
0
0.1
0.4
0.9
0.8
0.5
2.7
E[X2]
0
0.1
0.8
2.7
3.2
2.5
9.3
V[X]
9.3–2.7^2=2.01
范例:
投资电子股股票的投资报酬率(X)
可能投资报酬率
-10
-6
5
15
机率
0.1
0.3
0.4
0.2
E[X]
-1
-1.8
2
3
2.2
E[2X+3]
2E[X]+3=2*2.2+3=7.4
E[X2]
10
10.8
10
45
75.8
V[2X+3]
4(75.8–2.2^2)=283.84
习题
1、下列何种抽样方法,抽样作为估计群体误差为最小
(1)单纯随机抽样法
(2)系统抽样法(3)分层随机抽样法(4)集体抽样法(5)视情形。
2、随机数表0392182746579916965630,若在50件(编号00–49)要抽5件时,则抽样第5件之编号为(16)。
3、进货50件,系统抽样,要抽5件,若第一件为编号3,则第四件之编号为(33)。
4、
一班学生50人之重量(群体/样本)
一桶溶液取一杯量来分析,一杯量为(群体/样本)
每批中取30个量测尺寸(群体/样本)
100箱(当抽样数为5)该箱可视为(无限群体/有限群体)
30箱(当抽样数为5时)该箱可视为(无限群体/有限群体)
5、随机数表0392182746579916965630,若在1000件(编号000–999)要抽五件时,则抽样第3件之编号为(274)
6、不良品A类10件,B类3件,C类6件,D类2件,E类4件,绘制柏拉图,则于柏拉图内第三要项之累积不良比率(80%)。
A:
10/25=40%,B:
3/25=12%,C:
6/25=24%,D:
2/25=8%,E:
4/25=16%,(40+24+16)%=80%
7、不良品A类10件,B类3件,C类6件,D类2件,E类4件,B类在百分比图中之%为(12)。
8、同上,扇形图A类之图心角度(144)。
9、次数分配表之组中点为3.5,5.5,7.5,9.5,11.5试求组距
(2)。
10、直方图向规格上下限伸展时,表示
变异过大
平均数过小
平均数过大
变异过小
平均数过小,变异也变小。
11、一组数字1,4,7,9,Y其R值=10求Y。
9-Y=10,Y=-1orY-1=10,Y=11
12、23,21,22,20,X平均值=23求X。
(23+21+22+20+X)/5=23,X=29
13、1,3,5,7,9求样本变异数及样本标准偏差。
8,2
(2)^0.5
14、某批取12个量测尺寸,其数据之特性必有(中位数/平均数/众数)。
15、常态分配平均值3,标准偏差0.2,则2.6~3.4间之次数约占全部次数之(95.45%)。
16、和中心值无关统计量(标准偏差/平方和/R值/平均偏差/变异数)。
17、写出1至30中可被5整除之集合。
{5,10,15,20,25,30}
18、集合B={X︳X^2+6X+5=0}求B={-1,-5}
19、A={1,3}B={3,5,6}C={1,3,5,8}
A∪B={1,3,5,6}A∩B={3}A-B={1}
20、样本空间Ω={1,2,3,4}A={1,2}B={3}
A’={3,4}A-B={1,2},(A∪B)’={1,2,3}’={4},B∩A’={3}∩{3,4}={3}
21、某公司有五架同型电视机,内有二架故障,王小姐任意挑选二架,试写出样本空间Ω={GG,GNG,NGG,NGNG}
22、一批制品有4个良品,3个疵品,自其中抽取二个时,其样本空间以不良品数目表示时,其样本空间为{GG,GNG,NGG,NGNG}={X|0,1,2}。
23、一铜币,其出现正反面之机会相等,掷一铜币二次,样本空间以正面出现次数表示,样本空间为{正正,正反,反正,反反}={X|0,1,2}。
24、某制程要控制温度,原料及水份,今考虑有4种水平的温度,5种原料及2种不同水份,则制造方法共有(4*5*2=40)种方法。
25、7题是非题总共有几种答法。
26、求C(20,4)=4845;C(100,3)=161700;C(100,97)=161700
27、从10件制品送验批中,任取3件加以检验,选取的方法有多少种?
C(10,3)=120
28、五男三女选4人组成委员会,可能组成若干委员会(2男2女)。
C(5,2)*C(3,2)=30
29、扑克牌52张中,随机取出4个,全部均为红砖的机率(C(13,4)C(39,0)/C(52,4)=0.00264)。
30、投一个六面骰子,出现偶数的机率=(1/2)。
31、投二个六面骰子,出现和大于10机率=(1/12)。
32、P(A-B)=0.4P(A∪B)=0.7求P(B)=?
P(B)=0.3
33、设A,B为互斥事件P(A)=0.4P(B)=0.5
P(A∪B)=(0.9)
P(A∩B)=(0)
P(A’)=(0.6)
P(A’∩B)=(0.5)
P(A∩B’)=(0.4)。
34、P(A)=0.3,P(B)=0.4,P(A∪B)=0.7则P(A∩B)=(0)。
35、P(A)=0.4P(A∪B)=0.7P(B)=Y若A及B互斥事件则Y=(0.3)
36、P(A∩B∩C∩D)写出上列公式。
37
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