精品解析北京朝阳垂杨柳中学学年高二上学期期中考试数学试题解析版.docx
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精品解析北京朝阳垂杨柳中学学年高二上学期期中考试数学试题解析版
北京市垂杨柳中学2016-2017学年度第一学期
高二年级数学(文科)期中考试题
一、选择题(每题5分,共12小题)
1.已知直线经过点
和点
,则直线
的斜率为()
A.
B.
C.
D.不存在
【答案】B
【解析】
因为直线经过点
和点
,所以直线
的斜率为
故选A.
2.下列几何体各自的三视图中,有且仅有两个视图相同的是()
(1)
(2)
(3)
(4)
A.(
)(
)B.(
)(
)C.(
)(
)D.(
)(
)
【答案】D
【解析】
根据题目要求三视图中有且仅有两个视图相同,其中
(1)的正视图、侧视图、俯视图都是完全相同的正方形,即三个视图都相同,故可以排除
,故选D.
3.在下列命题中,假命题是().
A.如果平面
内的一条直线
垂直于平面
内的任一直线,那么
B.如果平面
内的任意直线平行于平面
,那么
C.如果平面
平面
,任取直线
,那么必有
D.如果平面
平面
,任取直线
,那么必有
【答案】C
【解析】
由
,
,得
,∴
是真命题.
若
内任一条直线都平行于
,则
与
无公共点,由面面平行的定义知
,
∴
是真命题.由
,
可得
,或
与
相交(垂直或斜交),
∴
是假命题.若
,
,则
,这是面面平行性质定理,∴
是真命题.
综上所述,故选
.
4.已知经过椭圆
右焦点
的直线交椭圆于
、
两点,则
的周长等于()
A.
B.
C.
D.
【答案】A
【解析】
因为椭圆的方程为
,所以由椭圆的定义可得
,
周长为
,故选A.
5.如果直线
与直线
关于
轴对称,那么直线
的方程为()
A.
B.
C.
D.
【答案】B
【解析】
因为和直线
关于
轴对称的直线,其斜率与直线
的斜率相反,
设所求直线为
,又因为两直线在
轴截距相等,所以所求直线方程为
,故选
.
6.圆
和圆
的位置关系是()
A.相交B.内切C.外离D.内含
【答案】C
【解析】
圆
的圆心
,半径
,圆
的圆心
,半径
,
,∴两圆外离,故选C.
7.过点
的直线交圆
与
、
两点,当
最大时,直线
的方程是()
A.
B.
C.
D.
【答案】A
【解析】
把圆的方程
化为标准方程为
,∴圆心坐标为
,
设直线
的方程为
,则直线过圆心时
最大,又
,把圆心坐标和
的坐标代入得:
,解得
,则直线
的方程为
,即
,故选
.
8.一个几何体的三视图如图所示,则这个几何体的体积等于()
A.4B.6C.8D.12
【答案】A
【解析】
由三视图复原几何体,是如图所示的四棱锥,
它的底面是直角梯形,梯形的上底长为
,下底长为
,高为
,棱锥的一条侧棱垂直底面高为
,所以这个几何体的体积:
,故选
.
【方法点睛】本题利用空间几何体的三视图重点考查学生的空间想象能力和抽象思维能力,属于难题.三视图问题是考查学生空间想象能力最常见题型,也是高考热点.观察三视图并将其“翻译”成直观图是解题的关键,不但要注意三视图的三要素“高平齐,长对正,宽相等”,还要特别注意实线与虚线以及相同图形的不同位置对几何体直观图的影响.
9.三棱锥
的高为
,若三个侧面两两垂直,则
为△
的()
A.内心B.外心C.垂心D.重心
【答案】C
【解析】
如图所示,
三个侧面两两垂直,可看成正方体的一角,则
面
,而
平面
,∴
而
面
,
面
,∴
,又
,∴
面
,而
面
,∴
,同理可得
,故
为
的垂心,故选C.
10.水平放置的正方体的六个面分别用“前面、后面、上面、下面、左面、右面”表示,如图所示,是一个正方体的表面展开图,若图中“2”在正方体的上面,则这个正方体的下面是()
A.0B.9C.快D.乐
【答案】B
【解析】
根据一个正方体的表面展开图以及图中“
”在正方体的上面,把该正方体还原,其直观图为:
由直观图可得这个正方体的下面是
,故选B.
【方法点睛】本题主要考查空间线能力、抽象思维能力,属于难题.利用展开图复原几何体考查空间想象能力,要求较高,难度较大,好多同学对这种题型感到束手无策,解答该题型可以先固定一个面,采取多种方案逐一验证;也可以利用一种更直观的方法,就是自己动手,制作纸片模型.
11.给出下列四个命题:
①垂直于同一直线的两条直线互相平行
②垂直于同一平面的两个平面互相平行
③若直线
与同一平面所成的角相等,则
互相平行
④若直线
是异面直线,则与
都相交的两条直线是异面直线.其中假命题的个数是()
A.1B.2C.3D.4
【答案】D
【解析】
解:
因为
(1)垂直于同一直线的两条直线互相平行,不成立
(2)垂直于同一平面的两条平面互相平行,不一定可能相交。
(3)若直线
与同一平面所成的角相等,则
互相平行,可能相交。
(4)若直线
是异面直线,则与
都相交的两条直线是异面直线,不一定。
故选D
12.已知三棱锥
的各顶点都在一个半径为
的球面上,球心
在
上,
底面
,
,则球的体积与三棱锥体积之比是( )
A.
B.
C.
D.
【答案】D
【解析】
试题分析:
如图所示,因为球心
在
上,所以
,
,又因为
,所以
,因为
底面
,所以三棱锥体积为
,而球的体积为
,所以球的体积与三棱锥体积之比是
.
考点:
本小题主要考查球的体积和表面积、锥体的体积和表面积以及球内接多面体等,考查学生的空间想象能力和运算求解能力.
点评:
求解此类问题,要注意转化思想的应用.
二、填空题(每题5分,共6小题)
13.已知点
和
,则
__________.
【答案】
【解析】
因为
和
,由两点间距离公式可得
,故答案为
.
14.若
,
是异面直线,直线
,则
与
的位置关系是__________.
【答案】可能异面,可能相交.
【解析】
若
,则由
可得到
,与
,
是两条异面直线矛盾,所以
与
可能相交;
也可能异面,不可能平行,故
与
的位置关系为相交或异面.
15.
为圆
上的动点,则点
到直线
的距离的最小值为__________.
【答案】
【解析】
圆心
到直线距离
,
圆上动点到直线距离最小值为
.
点睛:
与圆有关的最值问题的常见类型及解题策略
(1)与圆有关的长度或距离的最值问题的解法.一般根据长度或距离的几何意义,利用圆的几何性质数形结合求解.
(2)与圆上点
有关代数式的最值的常见类型及解法.①形如
型的最值问题,可转化为过点
和点
的直线的斜率的最值问题;②形如
型的最值问题,可转化为动直线的截距的最值问题;③形如
型的最值问题,可转化为动点到定点
的距离平方的最值问题.
16.以点
为圆心,与直线
相切的圆的方程是__________.
【答案】
【解析】
以点
为圆心,与直线
相切,圆心到直线的距离等于半径,即半径
,所求圆的标准方程:
,故答案为:
.
方法点睛】本题主要考查圆的方程和性质、点到直线距离公式,属于难题.求圆的方程常见思路与方法有:
①直接设出动点坐标
,根据题意列出关于
的方程即可;②根据几何意义直接找到圆心坐标和半径,写出方程;③待定系数法,可以根据题意设出圆的标准方程或一般式方程,再根据所给条件求出参数即可.本题
(1)是利用方法②解答的.
17.一个正方体的顶点都在球面上,若正方体的棱长为
,则球的表面积是__________.
【答案】
【解析】
正方体的棱长为
,正方体的体对角线的长为
,也就是球的直径
,∴球的表面积为
,故答案为、
.
18.已知经过点
的直线
被圆
截得的弦长
,则直线
的方程为__________.
【答案】
【解析】
设
,即
,
,∴
,
解得:
,可得直线
的方程为
,故答案为
.
三、解答题
19.若直线
与两坐标轴的交点分别为
,
,求以
为直径的圆的方程.
【答案】
.
【解析】
试题分析:
先求出直线与
轴交于
,与
轴交于
的坐标,中点就是圆心,再根据两点间距离公式求出
,则半径为
,从而可得以
为直径的圆的方程.
∴
,
试题解析:
设直线与
轴交于
,与
轴交于
,
令
,令
,
∴
,
.
∴
,圆心
,
∴
.
20.如图,在三棱锥
中,平面
平面
,三角形
为等边三角形,
,且
.
(1)求证:
平面
;
(2)求证:
平面
平面
;
(3)求三棱锥
的体积.
【答案】
(1)证明见解析;
(2)证明见解析;(3)
.
【解析】
试题分析:
(1)根据三角形中位线定理可得
,从而根据直线与平面平行的判定定理可得结论;
(2)根据等腰三角形性质可得,由平面
平面
可得,
平面
,从而根据面面垂直的判定定理可得结论;(3)根据等积变换
.
试题解析:
(1)∵
,
分别为
,
的中点,
∴
,
∵
平面
,
平面
,
∴
平面
,
综上所述,命题得证.
(2)∵
,
为
的中点,
∴
,
∵平面
平面
,
平面
,
∴
平面
,
∵
平面
,
∴平面
平面
,
综上所述:
命题得证.
(3)在等腰直角三角形
中,
,∴
,
,
∴
,
∵
平面
,
∴
,
∴
.
【方法点晴】本题主要考查线面平行的判定定理、面面垂直的判定定理、利用等积变换求三棱锥体积,属于难题.证明线面平行的常用方法:
①利用线面平行的判定定理,使用这个定理的关键是设法在平面内找到一条与已知直线平行的直线,可利用几何体的特征,合理利用中位线定理、线面平行的性质或者构造平行四边形、寻找比例式证明两直线平行.②利用面面平行的性质,即两平面平行,在其中一平面内的直线平行于另一平面.本题
(1)是就是利用方法①证明的..
21.在长方体
中,
,
是棱
上的一点.
(1)求证:
平面
;
(2)求证:
;
(3)若
是棱
的中点,在棱
上是否存在点
,使得
平面
?
若存在,求出线段
的长;若不存在,请说明理由.
【答案】
(1)证明见解析;
(2)证明见解析;(3)当点
是棱
的中点时,有
平面
.
【解析】
试题分析:
(1)由
平面
,可得
,在矩形
中,可证得
,根据线面垂直的判定定理即可证得
平面
;
(2)由
(1)可知,
平面
,根据线面垂直的性质可得
;(3)假设点
是棱
的中点时,有
平面
,在
上取中点
,连接
,
,根据线面平行的性质定理可得四边形
是平行四边形,所以
.
试题解析:
(1)证明:
在长方体
中,
因为
平面
,
平面
,所以
.
在矩形
中,
因为
,
所以
,
因为
,
所以
平面
.
(2)证明:
因为
,所以
平面
,
由
(1)可知,
平面
,
所
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