四年级奥数巧算与速算 2.docx
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四年级奥数巧算与速算2
巧算与速算
(二)
巧点晴——方法和技巧
数列中的数称为项,第一个数叫第一项,又叫首项;第二个数叫第二项……最后一个数叫末项。
如果一个数列从第二项开始,每一项与它前面一项的差都相等,就称这个数列为等差数列。
后一项与前一项的差叫做这个数列的公差。
如:
1,3.5.7,…是等差数列,公差为2;
5,10,15,20…是等差数列,公差为5。
在等差数列中,有如下规律:
总和=(首项+末项)×项数÷2
项数=(末项-首项)÷公差+1
第n项=首项+(n-1)×公差
巧指导——例题精讲
A级冲刺名校·基础点晴
[例1]求下面各数列有多少项。
(1)2,5,8,…65,68
(2)1,3,5…,97,99
做一做1已知等差数列7,11,15,…,195。
问这个数列共有多少项?
[例2]计算:
(1)2+5+8+…+65+68
(2)(2+4+6+…+2008)-(1+3+5+…+2007)
做一做2计算:
(1)2+4+6+…+98+100
(2)51+52+53+…+99+100
【例3】计算:
1÷2003+2÷2003+3÷2003+…+2001÷2003+2002÷2003+2003÷2003
做一做3计算:
15÷49+17÷49+19÷49+21÷49+23÷49+25÷49+27÷49
B级培优竞赛·更上层楼
【例4】求等差数列3,5,7…的第10项和第100项。
【例5】有20个朋友聚会,见面时如果每人都和其他人握手1次,这20个人一共握手多少次?
做一做5如果参加宴会的每一个人都和其他人握手1次,宴会结束时,统计出一共握手28次。
问参加宴会的一共有多少人?
【例6】如下图所示,这是一个堆放钢管的V形架。
如果V开架上一共放有465根钢管,问最上面一层有多少根钢管?
做一做6在一个七层高的书架上放了497本书,上面一层总比下面一层少7本书。
问最上面一层放了多少本书?
C级(选学)决胜总决赛·勇夺冠军
【例7】若干同样的盒子排成一排。
小明把50多个同样的棋子分装在盒里,其中只有一个盒子里没有装棋子,然后他出去了。
小光从每个装有棋子的盒子里各拿出一个棋子放在空的盒子里,再把盒子重新排一下。
小明回来仔细查看一番,没发现有人动过这些盒子里的棋子。
你知道盒子有多少个吗?
做一做7有10只盒子,能不能把44只乒乓球放到盒子里去,使各盒子里的乒乓球数不相等?
巧练习——温故知新(四)
A级冲刺名校·基础点晴
1.1+2+3+…+2002+2003
2.2+6+3+12+4+18+5+24+6+30
3.等差数列4,8,12,16,…中第99项是多少?
4.1-2+3-4+5-…-2002+2003
5.等差数列0,6,12,18,…中第31项是多少?
在这个数列中,2400是第几项?
B级培优竞赛·更上层楼
6.(2000+1998+…+4+2)-(1999+1997+1995+…+3+1)
7.求1~100这100个数中所有3的倍数以外的数的和。
8.小红从五月一日开始写大字。
她第一天写了4个,以后每天比前一天多写相同的数量的字。
结果全月一共写了589个大字,小红每天比前一天多写几个大字?
9.兄弟分钱问题:
兄弟共十人,来分十万元。
十人十个等,差数却均匀。
长多幼弟少,老八六千元。
每级差多少,谁能说得清?
10.计算所有三位自然数之和。
C级(选学)决胜总决赛·勇夺冠军
11.求所有被4除余2的两位数之和。
12.把从1开始的所有奇数进行分组,其中每组的第一个数都等于此组中所有数的个数,如
(1),(3,5,7),(9,11,13,15,17,19,21,23,25),(27,29,…,79),(81,…),那么第5组中所有数的和是多少?
13.有一堆粗细均匀的圆木,堆成如下图的形状,最上面一层有6根,每向下一层增加一根。
若最下面一层有94根,问:
这堆圆木共有多少根?
14.一个正三角形ABC,每边长1米。
在每边上从顶点开始每隔2厘米取一点,然后从这些点出发作两条直线,分别和其他两平行(如右下图),这些平行张相交在三角形ABC中得到许多边长为2厘米的三形。
(1)求边长为2厘米的三角形的个数;
(2)求所作平行线段的总长度。
A
BC
巧总结
本节我的收获是:
。
不足之处有:
。
智慧泉
数学回文
清代,北京有个酒楼叫“天然居”。
一次,乾隆皇帝触景生情,以酒楼为题写对联,上联是:
客上天然居,居然天上客。
但是,这位博学多才的皇帝苦苦思索,却写不出下联,直到很久以后,才有位读书人给出了下联:
僧游云隐寺,寺隐云游僧。
与此类似,数学里也有“回文式”。
我们借用上面的对联组成这样一个式子:
僧游×云隐寺=寺隐云×游僧
现在要问:
不同的汉字用不同的数字(0~9)代替,这个算式能成立吗?
能,而且不止一个:
12×231=132×21,12×462=264×21,13×341=143×31,13×682=286×31……
我们看到,这类等式不仅外形整齐、对称,“内部构造”也很巧妙:
每个等式中两位数的十位数字和三位数的百位数字的乘积,正好等于两位数的个位数字和三位数的个位数字的乘积;等式中的三位数的十位数字恰好等于个位数字和百位数字和和。
例如,在12×231=132×12中,1×2=2×1,且3=2+1;在12×693=396×21中,1×6=2×3,且9=6+3等。
掌握了这两个特点,就容易写出这类等式了,并且能够容易地看出,关键是找出满足第一个特点的四个数字,从而三位数的十位数字也就确定了。
例如,3×6=9×2,这时三位数的十位数字是6+2=8,可得等式
39×682=286×93
当然,也可以由9×2=3×6,又2+6=8,得
93×286=682×39
这两种形式反映了同样四个数之间的关系,可以看做是一个等式的两种形式。
那么这类等式共有多少个呢?
我们可从1开始,依次取2,3,…9进行组合,然后再从2开始,依次取3,4,…,9,进行组合,看能组合成多少不完全相同的4个数字的乘积,并且第2个、第4个数字的和不大于9,就能有多少个不同的等式。
1×2=2×1,又2+1=3,于是有12×231=132×21;
1×3=3×1,又3+1=4,于是有13×341=143×31;
1×4=4×1,又4+1=5,于是有14×451=154×41;
……
依此类推,共可得出33个不同等式。
数学里还有“回文数”,其特征是:
从左到右读与从右到左读完全一样,例如,101,32123,9999等。
两个相同位数的回文数,如果各位相加时能够“就地消化”,不发生进位情况,那么其和仍是一个回文数。
同样,当两个回文数相减时(规定要用大数减小数),如果不需要从上一位“借”,则其差也是一个回文数。
例如:
563655775
+12621-2222
689863553
有趣的是,某些回文数在相加时即使要发生“进位”,其和数却依然是个回文数。
例如:
33337777
+8888+4444
1222112221
我们的回文数的模式是αα…α(共n个α)与bb…b(共n个b),而且α与b应满足关系式α+b=11,以及1<α,b<10。
假如你遇到一个不是回文数的普通数,怎样才能使它“变”成回文数呢?
办法很简单,只要把这个数加上它的逆序数就行了,这称为一次“操作”(或“变换”),把这种“操作”反复进行下去,到头来你就可以得出一个回文数。
这就是有名的“回文数猜想”,它至今仍然是个谜:
说它正确,却无法证明;说它不正确又找不出一个反例。
可能成为说明“回文数猜想”不成立的是196,因为有人用电子计算机对这个数进行了几十万步计算,仍然没有出现回文数,但是却没有人能证明这个数永远产生不了回文数。
数学家还对“回文质数“进行了大量研究,发现了另外一些“谜”。
101,131,353,919,这些自然数既是回文数,又是质数,叫做“回文质数“。
第一个谜是:
回文质数是无穷多个吗?
数学家猜想它有无穷多个,但也仅仅是猜想。
181和191,373和383,30303和30203等等,它们都叫回文质数,并且每一对中间的数字是连续的,而其他数字都是相同的,这样的两个数叫做“回文质数对“。
第二个谜是:
回文质数都是相同的,这样的两个数叫做“回文质数对“。
数学家还发现,在回文数中,平方数是非常多的,例如,121=112,12321=1112,1234321=11112,…,12345678987654321=1111111112。
立方数也有类似情况,例如,1331=113,1367631=1113。
想想练练
1.试找出10个回文算式。
2.任取三个自然数,验证“回文数猜想”。
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