选修45绝对值不等式教案绝对经典.docx
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选修45绝对值不等式教案绝对经典
选修4-5不等式选讲
第1节绝对值不等式
【最新考纲】1.理解绝对值的几何意义,并了解下列不等式成立的几何意义及取等号的条件:
|a+b|≤|a|+|b|(a,b∈R);|a-b|≤|a-c|+|c-b|(a,b∈R);2.会利用绝对值的几何意义求解以下类型的不等式:
|ax+b|≤c;|ax+b|≥c;|x-c|+|x-b|≥a.
要点梳理
1.绝对值不等式的解法
(1)含绝对值的不等式|x|a的解集
不等式
a>0
a=0
a<0
|x| (-a,a) ? ? |x|>a (-∞,-a)∪(a,+∞) (-∞,0)∪(0,+∞) R (2)|ax+b|≤c(c>0)和|ax+b|≥c(c>0)型不等式的解法 1|ax+b|≤c? -c≤ax+b≤c; 2|ax+b|≥c? ax+b≥c或ax+b≤-c; (3)|x-a|+|x-b|≥c(c>0)和|x-a|+|x-b|≤c(c>0)型不等式的解法①利用绝对值不等式的几何意义求解,体现了数形结合的思想;②利用“零点分段法”求解,体现了分类讨论的思想;③通过构造函数,利用函数的图象求解,体现了函数与方程的思想. 2.含有绝对值的不等式的性质 (1)如果a,b是实数,则|a+b|≤|a|+|b|,当且仅当ab≥0时,等号成立. (2)如果a,b,c是实数,那么|a-c|≤|a-b|+|b-c|,当且仅当(a-b)(b-c)≥0时,等号成立. 基础自测 1.思考辨析(在括号内打“√或”“×”) (1)若|x|>c的解集为R,则c≤0.() (2)不等式|x-1|+|x+2|<2的解集为? .() (3)对|a+b|≥|a|-|b|当且仅当a>b>0时等号成立.() (4)对|a|-|b|≤|a-b|当且仅当|a|≥|b|时等号成立.() (5)对|a-b|≤|a|+|b|当且仅当ab≤0时等号成立.() 答案 (1)× (2)√(3)×(4)×(5)√ 2.不等式|x-1|-|x-5|<2的解集是() A.(-∞,4)B.(-∞,1)C.(1,4)D.(1,5) 解析①当x≤1时,原不等式可化为1-x-(5-x)<2,∴-4<2,不等式恒成立,∴x≤1. ②当1 ∴x<4,∴1 3当x≥5时,原不等式可化为x-1-(x-5)<2,该不等式不成立.综上,原不等式的解集为(-∞,4). 答案A 3.若关于x的不等式|a|≥|x+1|+|x-2|存在实数解,则实数a的取值范围是解析由于|x+1|+|x-2|≥|(x+1)-(x-2)|=3,∴|x+1|+|x-2|的最小值为3. 要使原不等式有解,只需|a|≥3,则a≥3或a≤-3.答案(-∞,-3]∪[3,+∞) 4.若不等式|kx-4|≤2的解集为{x|1≤x≤3},则实数k= 解析∵|kx-4|≤2,∴-2≤kx-4≤2,∴2≤kx≤6. ∵不等式的解集为{x|1≤x≤3},∴k=2. 答案2 aa 5.设a>0,|x-1|<3,|y-2|<3,求证: |2x+y-4| 证明因为|x-1|<3a,|y-2|<3a,所以|2x+y-4|=|2(x-1)+(y-2)|≤2|x-1|+|y-2|<23a+a3=a. 故原不等式得证. 题型分类深度解析 考点一绝对值不等式的解法 【例1-1】已知函数f(x)=|x+1|-|2x-3|. (1)在图中画出y=f(x)的图象; (2)求不等式|f(x)|>1的解集. x-4,x≤-1, 3 解 (1)f(x)=3x-2,-1 3 -x+4,x>2, 故y=f(x)的图象如图所示. (2)由f(x)的解析式及图象知, 当f(x)=1时,可得x=1或x=3; 1 当f(x)=-1时,可得x=3或x=5. 故f(x)>1的解集为{x|1 【例1-2】已知函数f(x)=-x2+ax+4,g(x)=|x+1|+|x-1|. (1)当a=1时,求不等式f(x)≥g(x)的解集; (2)若不等式f(x)≥g(x)的解集包含[-1,1],求a的取值范围.解 (1)当a=1时,f(x)=-x+x+4, 2 f(x)≥g(x)? x2-x+|x+1|+|x-1|-4≤0. 1当x>1时,f(x)≥g(x)? x2+x-4≤0, 解之得 1 2当-1≤x≤1时,f(x)≥g(x)? (x-2)(x+1)≤0,则-1≤x≤1. ③当x<-1时,f(x)≥g(x)? x2-3x-4≤0,解得-1≤x≤4,又x<-1,∴不等式此时的解集为空集. 综上所述,f(x)≥g(x)的解集为x-1≤x≤172-1. (2)依题意得: -x2+ax+4≥2在[-1,1]上恒成立.则x2-ax-2≤0在[-1,1]上恒成立. 解之得-1≤a≤1. 故a的取值范围是[-1,1]. 规律方法1.本题利用分段函数的图形的几何直观性,求解不等式,体现了数形结合的思想. 2.解绝对值不等式的关键是去绝对值符号,常用的零点分段法的一般步骤: 求零点;划分区间,去绝对值符号;分段解不等式;求各段的并集.此外,还常用绝对值的几何意义,结合数轴直观求解. 【变式练习1】已知函数f(x)=|x-2|. (1)求不等式f(x)+x2-4>0的解集; (2)设g(x)=-|x+7|+3m,若关于x的不等式f(x) 解 (1)不等式f(x)+x2-4>0,即|x-2|>4-x2. 当x>2时,不等式可化为x2+x-6>0,解得x>2; 当x<2时,不等式可化为x-x-2>0,解得x<-1.所以原不等式的解集为{x|x>2或x<-1}. (2)依题意,|x-2|<3m-|x+7|解集非空,∴3m>|x-2|+|x+7|在x∈R上有解,又|x-2|+|x+7|≥|(x-2)-(x+7)|=9,所以3m>9,解得m>3. 故实数m的取值范围是(3,+∞). 考点二绝对值不等式性质的应用 【例2-1】设不等式-2<|x-1|-|x+2|<0的解集为M,a,b∈M. 111 (1)证明: 31a+61b<41; (2)比较|1-4ab|与2|a-b|的大小,并说明理由. 3,x≤-2, (1)证明设f(x)=|x-1|-|x+2|=-2x-1,-2 -3,x>1. 11 由-2<-2x-1<0,解得-2 111111111 所以3a+6b≤3|a|+6|b|<3×2+6×2=4. 解 (1)不等式|a+b|+|a-b|≥M·|a|恒成立, 即M≤|a+b|+|a||a-b|对于任意的实数a(a≠0和)b恒成立,只要左边恒小于或等于右边的最小值. 因为|a+b|+|a-b|≥|(a+b)+(a-b)|=2|a|,当且仅当(a-b)(a+b)≥0时等号成立,即|a|≥|b|时,|a+b|+|a||a-b|≥2成立,也就是|a+b|+|a||a-b|的最小值是2,所以M≤2.因此m=2. (2)不等式|x-1|+|x-2|≤m,即|x-1|+|x-2|≤2. 法一由于|x-1|+|x-2|表示数轴上的x对应点到1和2对应点的距离之和; 15 而数轴上21和25对应点到1和2对应点的距离之和正好等于2, 故|x-1|+|x-2|的解集为x|21≤x≤25. 法二①当x<1时,不等式为-(x-1)-(x-2)≤2, 11 解得x≥21,即21≤x<1. ②当1≤x≤2时,不等式为(x-1)-(x-2)≤2,即1≤x≤2. 55 3当x>2时,不等式为(x-1)+(x-2)≤2,解得x≤2,即2 规律方法1.求含绝对值的函数最值时,常用的方法有三种: (1)利用绝对值的几何意义; (2)利用绝对值三角不等式,即|a|+|b|≥|a±b|≥|a|-|b|;(3)利用零点分区间法. 2.含绝对值不等式的证明中,要注意绝对值三角不等式的灵活应用. 【变式练习2】对于任意实数a,b,已知|a-b|≤1,|2a-1|≤1,且恒有|4a-3b+2|≤m,求实数m的取值范围. 解因为|a-b|≤1,|2a-1|≤1, 11 所以|3a-3b|≤3,a-2≤12, 所以|4a-3b+2|=|(3a-3b)+a-2+2| 1515 ≤|3a-3b|+|a-2|+2≤3+2+2=6, 则|4a-3b+2|的最大值为6, 所以m≥|4a-3b+2|max=6,m的取值范围是[6,+∞).考点三绝对值不等式的综合应用 【例3】已知函数f(x)=|x+1|-|x-2|. (1)求不等式f(x)≥1的解集; (2)若不等式f(x)≥x2-x+m的解集非空,求m的取值范围. -3,x≤-1, 解 (1)f(x)=|x+1|-|x-2|=2x-1,-1 3,x≥2. ①当x≤-1时,f(x)=-3≥1无解; ②当-1 解得x≥1,则1≤x<2; ③当x≥2时,f(x)=3≥1恒成立,∴x≥2. 综上知f(x)≥1的解集为{x|x≥1}. (2)不等式f(x)≥x2-x+m等价于f(x)-x2+x≥m, 得m≤|x+1|-|x-2|-x2+x有解,又|x+1|-|x-2|-x2+x≤|x|+1+|x|-2-x2+|x| 35当且仅当x=2时,|x+1|-|x-2|-x2+x=4.故实数m的取值范围是-∞,45. 规律方法1.例3第 (1)问分段讨论,求得符合题意的x取值范围,最后取并集2. (1)不等式恒成立问题,解集非空(不能成立)问题,转化为最值问题解决. (2)本题分离参数m,利用绝对值不等式的性质求解,避免分类讨论,优化了解题过程. 【变式练习3】已知函数f(x)=|2x-a|+a. (1)当a=2时,求不等式f(x)≤6的解集; (2)设函数g(x)=|2x-1|.当x∈R时,f(x)+g(x)≥3,求实数a的取值范围. 解 (1)当a=2时,f(x)=|2x-2|+2. 解不等式|2x-2|+2≤6得-1≤x≤3. 因此f(x)≤6的解集为{x|-1≤x≤3}. (2)当x∈R时, 1f(x)+g(x)=|2x-a|+a+|1-2x|≥|2x-a+1-2x|+a=|1-a|+a,当x=2时等号成立, 所以当x∈R时,f(x)+g(x)≥3等价于|1-a|+a≥3.① 当a≤1时,①等价于1-a+a≥3,无解. 当a>1时,①等价于a-1+a≥3,解得a≥2. 所以a的取值范围是[2,+∞). 错误! 课后练习 A组(时间: 50分钟) 1. (1)求不等式|x-1|+|x+2|≥5的解集; (2)若关于x的不等式|ax-2|<3的解集为x|-35 解 (1)当x<-2时,不等式等价于-(x-1)-(x+2)≥5,解得x≤-3;当-2≤x<1时,不等式等价于-(x-1)+(x+2)≥5,即3≥5,无解;当x≥1时,不等式等价于x-1+x+2≥5,解得x≥2. 综上,不等式的解集为{x|x≤-3或x≥2}. (2)∵|ax-2|<3,∴-1 151551当a>0时,-1a 515511 当a<0时,a5 aaa3a3 2.已知函数f(x)=|ax-2|. (1)当a=2时,解不等式f(x)>x+1; 1 (2)若关于x的不等式f(x)+f(-x) 解 (1)当a=2时,不等式为|2x-2|>x+1,当x≥1时,不等式化为2x-2>x+1,解得x>3. 1当x<1时,不等式化为2-2x>x+1,解得x<3.综上所述,不等式的解集为x|x>3或x<13. (2)因为f(x)+f(-x)=|ax-2|+|-ax-2|≥|ax-2-ax-2|=4,所以f(x)+f(-x)的11 最小值为4,又f(x)+f(-x) 则m的取值范围为0,14. 3.已知函数f(x)=|x+1|-2|x-a|,a>0. (1)当a=1时,求不等式f(x)>1的解集; (2)若f(x)的图象与x轴围成的三角形面积大于6,求a的取值范围.解 (1)当a=1时,f(x)>1化为|x+1|-2|x-1|-1>0. 当x≤-1时,不等式化为x-4>0,无解; 2当-1 x-1-2a,x<-1, (2)由题设可得,f(x)=3x+1-2a,-1≤x≤a, -x+1+2a,x>a. 2a-1所以函数f(x)的图象与x轴围成的三角形的三个顶点分别为A2a3-1,0,B(2a+1,0),C(a,a+1), △ABC的面积S=21|AB|(·a+1)=23(a+1)2.由题设得32(a+1)2>6,故a>2. 所以a的取值范围为(2,+∞). 4.在平面直角坐标系中,定义点P(x1,y1),Q(x2,y2)之间的“直角距离”为L(P,Q)=|x1-x2|+|y1-y2|,已知A(x,1),B(1,2),C(5,2)三点. (1)若L(A,B)>L(A,C),求x的取值范围; (2)当x∈R时,不等式L(A,B)≤t+L(A,C)恒成立,求t的最小值.解 (1)由定义得|x-1|+1>|x-5|+1,则|x-1|>|x-5|,两边平方得8x>24,解得x>3. 故x的取值范围为(3,+∞). (2)当x∈R时,不等式|x-1|≤|x-5|+t恒成立,也就是t≥|x-1|-|x-5|恒成立,因为|x-1|-|x-5|≤|(x-1)-(x-5)|=4, 所以t≥4,tmin=4.故t的最小值为4. 1 5.设函数f(x)=2x+1+|x|(x∈R)的最小值为a. (1)求a; 2211 (2)已知两个正数m,n满足m2+n2=a,求m+n的最小值. 3-2x-1,x<-2, 1解 (1)f(x)=-2x+1,-2≤x≤0, 32x+1,x>0. 当x∈(-∞,0)时,f(x)单调递减; 当x∈[0,+∞)时,f(x)单调递增;∴当x=0时,f(x)的最小值a=1. 22221 (2)由 (1)知m2+n2=1,则m2+n2≥2mn,得mn≥2,由于m>0,n>0,则1+1≥21≥22,当且仅当m=n=2时取等号. mnmn2 ∴m1+1n的最小值为22. B组(时间: 30分钟) 6.已知函数f(x)=|2x-a|+|2x+3|,g(x)=|x-1|+2. (1)解不等式: |g(x)|<5; (2)若对任意的x1∈R,都有x2∈R,使得f(x1)=g(x2)成立,求实数a的取值范围. 解 (1)由||x-1|+2|<5,得-5<|x-1|+2<5, 所以-7<|x-1|<3,解不等式得-2 (2)因为对任意的x1∈R,都有x2∈R,使得f(x1)=g(x2)成立,所以{y|y=f(x)}? {y|y=g(x)},又f(x)=|2x-a|+|2x+3|≥|2x-a-(2x+3)|=|a+3|,g(x)=|x-1|+2≥2,所以|a+3|≥2,解得a≥-1或a≤-5,所以实数a的取值范围是{a|a≥-1或a≤-5}. 7.已知函数f(x)=|x-2|,g(x)=|x+1|-x. (1)解不等式f(x)>g(x); (2)若存在实数x,使不等式m-g(x)≥f(x)+x(m∈R)成立,求实数m的最小值.解 (1)原不等式f(x)>g(x)化为|x-2|+x>|x+1|,当x<-1时,-(x-2)+x>-(x+1),解得x>-3,即-3 当-1≤x≤2时,-(x-2)+x>x+1, 解得x<1,即-1≤x<1. 当x>2时,x-2+x>x+1,解得x>3,即x>3.综上所述,不等式f(x)>g(x)的解集为{x|-3 (2)由m-g(x)≥f(x)+x(m∈R)可得m≥|x-2|+|x+1|,由题意知m≥(|x-2|+|x+1|)min,∵|x-2|+|x+1|≥|x-2-(x+1)|=3,∴m≥3,故实数m的最小值是3. 8.已知不等式|x-m|<|x|的解集为(1,+∞). (1)求实数m的值; a-51ma+2 (2)若不等式x<1+1x-1-mx 范围. 解 (1)由|x-m|<|x|,得|x-m|2<|x|2,即2mx>m2, 又不等式|x-m|<|x|的解集为(1,+∞), 则1是方程2mx=m2的解,解得m=2(m=0舍去). a-51ma+2 (2)∵m=2,∴不等式a-x5<1+x1-1-mx 等式a-5<|x+1|-|x-2| 2x-1,0 设f(x)=|x+1|-|x-2|=3,x≥2, 当0 当x≥2时,f(x)=3. 因此函数f(x)的值域为(-1,3]. 从而原不等式等价于a-5≤-1,解得13, 所以实数a的取值范围是(1,4].
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