等比数列例题解析.docx

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等比数列例题解析

等比数列·例题解析

【例1】已知Sn是数列{an}的前n项和，Sn＝pn（p∈R，n∈N*），那么数列{an}．

[]

A．是等比数列

B．当p≠0时是等比数列

C．当p≠0，p≠1时是等比数列

D．不是等比数列

分析由Sn＝pn（n∈N*），有a1=S1＝p，并且当n≥2时，

an=Sn－Sn-1＝pn－pn-1＝（p－1）pn-1

但满足此条件的实数p是不存在的，故本题应选D．

说明数列{an}成等比数列的必要条件是an≠0（n∈N*），还要注

【例2】已知等比数列1，x1，x2，…，x2n，2，求x1·x2·x3·…·x2n．

解∵1，x1，x2，…，x2n，2成等比数列，公比q

∴2＝1·q2n+1

x1x2x3…x2n＝q·q2·q3…q2n=q1+2+3+…+2n

式；

（2）已知a3·a4·a5＝8，求a2a3a4a5a6的值．

∴a4＝2

【例4】已知a＞0，b＞0且a≠b，在a，b之间插入n个正数x1，x2，…，xn，使得a，x1，x2，…，xn，b成等比数列，求

证明设这n＋2个数所成数列的公比为q，则b=aqn+1

【例5】设a、b、c、d成等比数列，求证：

（b－c）2＋（c－a）2＋（d－b）2＝（a－d）2．

证法一∵a、b、c、d成等比数列

∴b2＝ac，c2＝bd，ad＝bc

∴左边=b2－2bc＋c2＋c2－2ac＋a2＋d2－2bd＋b2

=2（b2－ac）＋2（c2－bd）＋（a2－2bc＋d2）

＝a2－2ad＋d2

＝（a－d）2＝右边

证毕．

证法二∵a、b、c、d成等比数列，设其公比为q，则：

b＝aq，c＝aq2，d=aq3

∴左边＝（aq－aq2）2＋（aq2－a）2＋（aq3－aq）2

＝a2－2a2q3＋a2q6

=（a－aq3）2

＝（a－d）2=右边

证毕．

说明这是一个等比数列与代数式的恒等变形相综合的题目．证法一是抓住了求证式中右边没有b、c的特点，走的是利用等比的条件消去左边式中的b、c的路子．证法二则是把a、b、c、d统一化成等比数列的基本元素a、q去解决的．证法二稍微麻烦些，但它所用的统一成基本元素的方法，却较证法一的方法具有普遍性．