全国高中数学联赛预赛试题及答案.docx
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全国高中数学联赛预赛试题及答案
全国高中数学联赛湖南赛区初赛试题
一、选择题(本大题共10个小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个答案中,
只有一项是符合题目要求的.)
1.定义集合运算:
A
B
z|z
xy,x
A,y
B.设A
2,0,B
0,8
,则集合A
B的所
有元素之和为(
)
A.16
B.18
C.20
D.22
2.已知an
是等比数列,a2
2,a5
1
a2a3
anan
n
N
,则a1a2
1
的取值范围是(
)
4
A.12,16
B.
8,16
C.
8,32
D.
16,32
3
3
3
3.5名志愿者随进入
3个不同的奥运场馆参加接待工作,则每个场馆至少有一名志愿者的概率为
(
)
A.
3
1
5
D.
50
5
B.
C.
81
15
8
4.已知a、b为非零的不共线的向量,设条件
M:
ba
b;条件N:
对一切x
R,不等式
axb
ab恒成立.则M是N的(
)
A.必要而不充分条件
B.充分而不必要条件
C.充分而且必要条件
D.既不充分又不必要条件
5.设函数f(x)定义在R上,给出下述三个命题:
①满足条件f(x
2)f(2x)
4
的函数图象关于点
2,2
对称;②满足条件
f(x2)
f(2
x)的函数图象关于直线
x
2对称;③函数
f(x
2)与f(
x2)
在同一坐标系
中,其图象关于直线
x
2对称.其中,真命题的个数是
(
)
A.0
B.1
C.2
D.3
6.连结球面上两点的线段称为球的弦
.半径为4的球的两条弦
AB、CD的长度分别等于
27和4
3,
M、N分别为AB、CD的中点,每两条弦的两端都在球面上运动,有下面四个命题:
①弦AB、CD可能相交于点
③MN的最大值为5
其中真命题为()
A.①③④B.①②③
M
②弦AB、CD可能相交于点
④MN的最小值为1
C.①②④D.②③④
N
7.设
a
sin(sin20080)
,b
sin(cos20080)
,c
cos(sin20080),
d
cos(cos20080)
则
a,b,c,d
的大小关系是(
)
A.
C.
a
c
b
d
cd
ba
B.b
D.d
ad
ca
c
b
8.设函数
f(x)
x3
3x2
6x14,且
f(a)
1,
f(b)
19,则
a
b
(
)
A.2
B.1
C.0
D.2
二、填空题(本大题共
6个小题,每小题
8分,共
48分.
请将正确的答案填在横线上
.)
9.在平面直角坐标系中,定义点
Px1,y1
、Qx2
y2
之间的“直角距离”为
d(P,Q)
x1
x2
y1
y2.若Cx,y
到点A1,3、
B6,9
的“直角距离”相等,其中实
数x、
y满足
0
x10、0
y10,则所有满足条件的点
C的轨迹的长度之和为
.
10.已知集合
x,y|x2
y2
2008
,若点
P(x,y)、点
P(x,y)
满足
x
x
且
yy
,则称点
P优于
P
.
如果集合
中的点
Q满足:
不存在
中的其它点优于
Q,则
所有这样的点
Q构成的集合为
.
11.多项式
1
x
x2
x100
3
的展开式在合并同类项后,
x150的系数为
.
(用数字作
答)
12.一个六棱柱的底面是正六边形,其侧棱垂直于底面.已知该六棱柱的顶点都在同一球面上,且该六
棱柱的体积为
9,底面周长为
3,则这个球的体积为
.
8
13.将一个4
4棋盘中的8
个小方格染成黑色,使得每行、每列都恰有两个黑色方格,则有
不同的染法.(用数字作答)
14.某学校数学课外活动小组,在坐标纸上某沙漠设计植树方案如下:
第
k棵树种植在点Pkxk,yk
处,其中x1
1,y1
1,当k
2时,
xkxk
1
k
1
5
k
2
1
5
5
5
;
yk
yk
1
k
1
k
2
.
5
5
其中,a表示实数a的整数部分,例如
2.6
2
,0.6
0.
按此方案,第2008棵树种植点的坐
标为
.
三、解答题(本大题共4
小题,共62分.要求有必要的解答过程.)
15.(本小题满分14分)设实数a,b
b
a
,求证:
b
a
其中等号当且仅当a
b
或a
b
成立,
为正实数.
16(.本小题满分14分)甲、乙两人进行乒乓球单打比赛,采用五局三胜制(即先胜三局者获冠军).对
于每局比赛,甲获胜的概率为2,乙获胜的概率为1.如果将“乙获得冠军”的事件称为“爆出冷
33
门”.试求此项赛事爆出冷门的概率.
17.(本小题满分
16分)已知函数
f(x)
ln1xx在区间0,nn
N上的最小值为bn,令
anln1nbn,pk
a1a3
a2k1kN
,
a2a4
a2k
求证:
p1
p2
pn
2an
11.
18.(本小题满分18分)过直线l:
5x7y
700
x2
y
2
上的点P作椭圆
1的切线PM、PN,
25
9
切点分别为M、N,联结MN.
(1)当点P在直线l上运动时,证明:
直线
MN恒过定点Q;
(2)当MN∥l时,定点Q平分线段MN.
参考答案及评分标准
说明:
1.评阅试卷时,请依据本评分标准.选择题和填空题严格按标准给分,不设中间档次分.
2.如果考生的解答方法和本解答不同,只要思路合理,步骤正确,在评卷时参照本评分
标准适当档次给分.
一、选择题(本大题共10个小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个答案中,
只有一项是符合题目要求的.)
1.解:
集合A
B的元素:
z120
0,z2
28
16,z3
000,z4080,故
集合A
B的所有元素之和为
16.
选A.
a5
1
1
1
2.
解:
设an
的公比为q,则q
3
4
a2
2
,进而q.
8
2
所以,数列
anan
1是以a1a2
8为首项,以q2
1
为公比的等比数列.
4
81
1
4n
32
a1a2
a2a3
anan1
14
n
.
1
3
1
4
显然,8
a1a2
a1a2
a2a3
anan1
32
选C.
3
.
3.
解:
5名志愿者随进入
3个不同的奥运场馆的方法数为
35
243种.每个场馆至少有一名志愿者
的情形可分两类考虑:
第
1类,一个场馆去
3人,剩下两场馆各去
1
人,此类的方法数为
C31
C53A22
60种;第2类,一场馆去
1人,剩下两场馆各
2人,此类的方法数为C31C51C42
90
种.
故每个场馆至少有一名志愿者的概率为
P
60
90
50
243
.选D.
81
4.解:
设OA
a,OB
b,则xb表示与OB共线的任一向量,
a
xb表示点A到直线OB上
任一点C的距离
AC,而a
b表示点A到B的距离.
当b
a
b时,AB
OB.由点与直线之
间垂直距离最短知,ACAB,即对一切xR,不等式axbab恒成立.反之,如果
ACAB恒成立,则ACminAB,故AB必为点A到OB的垂直距离,OBAC,即bab.
选C.
5.解:
用x2代替f(x2)f(2x)4中的x,得f(x)f(4x)4.如果点x,y在
yf(x)的图象上,则4yf(4x),即点x,y关于点2,2的对称点4x,4y也在
yf(x)的图象上.反之亦然,故①是真命题.用x2代替f(x2)f(2x)中的x,得
f(x)f(4x).如果点x,y在yf(x)的图象上,则yf(4x),即点x,y关于点x2的
对称点4x,y也在yf(x)的图象上,故②是真命题.由②是真命题,不难推知③也是真命题.故
三个命题都是真命题
6.解:
假设AB、的弦CD的中点N
.选D.
CD相交于点N,则AB、CD共面,所以A、B、C、D四点共圆,而过圆
的弦AB的长度显然有ABCD,所以②是错的.容易证明,当以AB为直径
的圆面与以CD为直径的圆面平行且在球心两侧时,
MN最大为5,故③对.当以
AB为直径的圆
面与以CD为直径的圆面平行且在球心同侧时,
MN最小为1,故④对.显然是对的.①显然是对的.
故选A.
7.解:
因为20080
5
3600
1800
280,所以,
a
sin(
sin280)
sin(sin280)
0;b
sin(
cos280)
sin(cos280)0;
c
cos(
sin280)
cos(sin280)
0;d
cos(
cos280)
cos(cos280)
0.
又sin280
cos280,故b
a
d
c.故选B.
8.解:
由f(x)
x3
3x2
6x
14
x
3
3x
1
10,令g(y)
y3
3y,则g(y)为奇
1
函数且单调递增.
而f(a)
a
13
3
a
1
10
1
f(b)
b
13
3b
1
10
19,
所以g(a
1)
9
g(b
1)
9
g(
b
1)
9,从而g(a
1)
g(
b
1),
即a1
b1,故ab
2.选D.
二、填空题(本大题共6个小题,每小题8分,共48分.
请将正确的答案填在横线上.)
9.解:
由条件得
x
1
y
3
x
6
y
9
①
当y
9时,①化为
x
1
6
x
6
,无解;
当y
3时,①化为
x
1
6
x6
,无解;
当3
y
9时,①化为
2y12
x
6
x
1
②
若x1,则y8.5,线段长度为1;若1x6,则xy9.5,线段长度为52;若x6,
则y3.5,线段长度为4.综上可知,点C的轨迹的构成的线段长度之和为
1524521.填521.
10.解:
P优于
P
,即
P位于
P
的左上方,“不存在
中的其它点优于
Q”,即“点
Q的左上方不
存在
中的点”
.故满足条件的点的集合为
x,y|x2
y2
2008,x
0且y
0
.填
x,y
|x2
y2
2008,x
0且y
0.
11.解:
由多项式乘法法则可知,可将问题转化为求方程
st
r150
①
的不超过去
100的自然数解的组数.显然,方程①的自然数解的组数为
C1522.
下面求方程①的超过
100自然数解的组数.因其和为
150,故只能有一个数超过
100,不妨设
s100.将方程①化为
(s
101)
tr
49
记s
s101,则方程s
t
r49的自然数解的组数为
C512.
因此,x150的系数为C1522
C31C512
7651.填7651.
12.解:
因为底面周长为3,所以底面边长为
1,底面面积为
S
33
.
2
8
又因为体积为9,所以高为
3
.该球的直径为
12
3
2
4R3
4
.
2,球的体积V
8
3
3
填4
.
3
13.解:
第一行染2个黑格有C42种染法.第一行染好后,有如下三种情况:
(1)第二行染的黑格均与第一行的黑格同列,这时其余行都只有一种染法;
(2)第二行染的黑格与第一行的黑格均不同列,
这时第三行有
C42种染法,第四行的染法随之
确定;
(3)第二行染的黑格恰有一个与第一行的黑格同列,这样的染法有
4种,而在第一、第二这
两行染好后,第三行染的黑格必然有
1个与上面的黑格均不同列,这时第三行的染法有
2种,第四
行的染法随之确定.
因此,共有染法为
6
16
42
90种.填90.
14.解:
令f(k)
k
1
k
2
5
5
,则
f(k5)
k51
k52
1
k1
1k2
k1
k2
f(k)
5
5
5
5
5
5
故f(k)是周期为5
的函数.
计算可知:
f
(2)
0;f(3)
0;f(4)
0;f(5)
0;f(6)1.
所以,
x2008
x2007
1
5f(2008);x2007
x2006
15f(2007);⋯;x2
x115f
(2).
以上各式叠加,得
x2008
x1
2007
5
f
(2)
f(3)
f(2008)
x1
2007
5401f
(2)
f(3)
f(6)
f
(2)
f(3)
x1
2007
5
401
3
;
同理可得y2008402.
所以,第2008棵树的种植点为3,402.填3,402.
三、解答题(本大题共
4小题,共62分.要求有必要的解答过程.)
15.证明:
由对称性,不妨设
a
t,则因
ab
,可得
ab,令
b
t
a
.⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯(3分)
b
设f(t)
1
t
,则对t求导,得f(t)
1
.⋯⋯⋯⋯(6分)
t
1
2
t
t
易知,当t
1
时,f(t)0,f(t)单调递减;当t
1,
时,f
(t)0,f(t)单调
递增.⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯(
9分)
故f(t)在t
或t
处有最大值且
f
及f
两者相等.
故f(t)的最大值为
,即f(t)
1
.⋯⋯⋯⋯⋯⋯(12
分)
t
t
由a
t,得b
a
,其中等号仅当a
b
或a
b
成立.
b
a
b
⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯(
14分)
16.解:
如果某方以3:
1或3:
0获胜,则将未比的一局
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