集合人教A版高中数学必修1课时训练含答案.docx
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集合人教A版高中数学必修1课时训练含答案
1.1.1.1集合的含义
1.下列几组对象可以构成集合的是( ).
A.充分接近π的实数的全体
B.善良的人
C.某校高一所有聪明的同学
D.某单位所有身高在1.7m以上的人
解析 A、B、C中标准皆不明确,故选D.
答案 D
2.下面有四个语句:
①集合N*中最小的数是0;②-a∉N,则a∈N;③a∈N,b∈N,则a+b的最小值是2;④x2+1=2x的解集中含有2个元素.
其中正确语句的个数是( ).
A.0B.1C.2D.3
解析 N*是不含0的自然数,所以①错;取a=
,则-
∉N,
∉N,所以②错;对于③,当a=b=0时,a+b取得最小值是0,而不是2,所以③错;对于④,解集中只含有元素1,故④错.
答案 A
3.下列所给关系正确的个数是( ).
①π∈R; ②
∉Q; ③0∈N*; ④|-4|∉N*.
A.1B.2C.3D.4
解析 ∵π是实数,
是无理数,∴①②正确,又∵N*表示正整数集,而0不是正整数,故③不正确;又|-4|是正整数,故④不正确,∴正确的共有2个.
答案 B
4.设集合M中的元素为平行四边形,p表示某个矩形,q表示某个梯形,则p________M,q________M.
解析 矩形是平行四边形,梯形不是平行四边形,故p∈M,q∉M.
答案 ∈ ∉
5.以方程x2-5x+6=0和方程x2-x-2=0的解为元素的集合中共有________个元素.
解析 方程x2-5x+6=0的解是2,3,方程x2-x-2=0的解为-1,2,故以两方程的解为元素的集合中共有3个元素.
答案 3
6.设1,0,x三个元素构成集合A,若x2∈A,求实数x的值.
解 ①若x2=0,则x=0,此时A中只有两个元素1,0,这与已知集合A中含有三个元素矛盾,故舍去.
②若x2=1,则x=±1.
当x=1时,
集合A中的元素有重复,舍去;
当x=-1时,
集合A中的元素为1,0,-1,符合题意.
③若x2=x,则x=0或x=1,
不符合集合中元素的互异性,都舍去.
综上可知:
x=-1.
7.已知x、y、z为非零实数,代数式
+
+
+
的值所组成的集合是M,则下列判断正确的是( ).
A.0∉MB.2∈MC.-4∉MD.4∈M
解析 分类讨论:
x、y、z中三个为正,两个为正,一个为正,全为负,此时代数式的值分别为4,0,-4,∴4∈M.
答案 D
8.满足“a∈A且4-a∈A”,a∈N且4-a∈N的有且只有2个元素的集合A的个数是( ).
A.0B.1C.2D.3
解析 ∵a∈N,a∈A且4-a∈A,且A中只含2个元素,
∴集合A中元素可能为0,4或1,3,共2个.
答案 C
9.已知集合A中只含有1,a2两个元素,则实数a不能取的值为________.
解析 由a2≠1,得a≠±1.
答案 ±1
10.集合A中的元素y满足y∈N且y=-x2+1,若t∈A,则t的值为________.
解析 ∵y=-x2+1≤1,且y∈N,∴y的值为0,1.
答案 0或1
11.已知集合M中含有三个元素2,a,b,集合N中含有三个元素2a,2,b2,且M=N,求a,b的值.
解 由题意得
或
解得
或
或
或
由集合元素的互异性,知
或
12.(创新拓展)设P、Q为两个非空实数集合,P中含有0,2,5三个元素,Q中含有1,2,6三个元素,定义集合P+Q中的元素是a+b,其中a∈P,b∈Q,则P+Q中元素的个数是多少?
解 ∵当a=0时,b依次取1,2,6,得a+b的值分别为1,2,6;
当a=2时,b依次取1,2,6,得a+b的值分别为3,4,8;
当a=5时,b依次取1,2,6,得a+b的值分别为6,7,11.
由集合元素的互异性,知P+Q中元素为1,2,3,4,6,7,8,11共8个.
1.1.1.2集合的表示
1.下列集合表示法正确的是( ).
A.{1,2,2}B.{全体实数}C.{有理数}D.{祖国的大河}
解析 选项A不符合集合中元素的互异性;选项B中“{ }”的意义就是全体的意思,两者重复;选项D不具备确定性,不能用集合的表示.
答案 C
2.集合M={(x,y)|xy>0,x∈R,y∈R}是指( ).
A.第一象限内的点集B.第三象限内的点集
C.第一、三象限内的点集D.第二、四象限内的点集
解析 因为xy>0,所以x与y同号.
答案 C
3.下列语句:
①0与{0}表示同一个集合;
②由1,2,3组成的集合可表示为{1,2,3}或{3,2,1};
③方程(x-1)2(x-2)2=0的所有解的集合可表示为{1,1,2};
④集合{x|4 正确的是( ). A.只有①和④B.只有②和③ C.只有②D.以上语句都不对 答案 C 4.集合A={a,b,(a,b)}含有________个元素. 解析 集合A中含有3个元素,分别是a,b,(a,b). 答案 3 5.用列举法表示集合A= =________. 解析 ∵x∈Z, ∈N,∴6-x=1,2,4,8.此时x=5,4,2,-2,即A={5,4,2,-2}. 答案 {5,4,2,-2} 6.用另一种方法表示下列集合. (1){绝对值不大于2的整数}; (2){能被3整除,且小于10的正数}; (3){x|x=|x|,x<5且x∈Z}; (4){(x,y)|x+y=6,x∈N*,y∈N*}; (5){-3,-1,1,3,5}. 解 (1){-2,-1,0,1,2}. (2){3,6,9}. (3)∵x=|x|,∴x≥0,又∵x∈Z且x<5, ∴x=0或1或2或3或4. ∴集合可以表示为{0,1,2,3,4}. (4){(1,5),(2,4),(3,3),(4,2),(5,1)}. (5){x|x=2k-1,-1≤k≤3,k∈Z}. 7.直线y=2x+1与y轴的交点所组成的集合为( ). A.{0,1}B.{(0,1)} C. D. 解析 把x=0代入y=2x+1,得y=1,∴交点为(0,1),选B. 答案 B 8.集合A={y|y=x2+1},集合B={(x,y)|y=x2+1}(A、B中x∈R,y∈R).选项中元素与集合的关系都正确的是( ). A.2∈A,且2∈B B.(1,2)∈A,且(1,2)∈B C.2∈A,且(3,10)∈B D.(3,10)∈A,且2∈B 解析 集合A中元素y是实数,不是点,故选B、D不对,集合B的元素(x,y)是点而不是实数,2∈B不正确,所以选项A错. 答案 C 9.已知集合{-1,0,1}与集合{0,a,b}相等,则a2010+b2011的值等于________. 解析 由题意,得a=-1,b=1或a=1,b=-1,即a2010+b2011=0或2. 答案 0或2 10.设-5∈{x|x2-ax-5=0},则集合{x|x2+ax+3=0}中所有元素之和为________. 解析 由题意知,-5是方程x2-ax-5=0的一个根, ∴(-5)2+5a-5=0, 解得a=-4. 则方程x2+ax+3=0即为x2-4x+3=0, 解得x=1或x=3. ∴{x|x2-4x+3=0}={1,3}, 所以元素之和为1+3=4. 答案 4 11.用适当的方法表示下列对象构成的集合. (1)绝对值不大于3的整数; (2)平面直角坐标系中不在第一、三象限内的点; (3)方程 +|y-2|=0的解. 解 (1)用列举法: {-3,-2,-1,0,1,2,3}; 或用描述法: {绝对值不大于3的整数},或写成{x||x|≤3,x∈Z}. (2)因为在第一、三象限内的点(x,y)的横坐标x、纵坐标y同正(第一象限)或同负(第三象限),即xy>0, 所以不在第一、三象限内的点(x,y)满足xy≤0, 因此该集合可用描述法表示为{(x,y)|xy≤0,x,y∈R}. (3)由算术平方根及绝对值的意义,若干个非负数的和为零,则这几个非负数均为零,则必有 即 因此该方程的解的集合为 12.(创新拓展)已知集合M={0,2,4},定义集合P={x|x=ab,a∈M,b∈M},求集合P. 解 ∵a∈M,b∈M,∴a=0,2,4,b=0,2,4. 当a,b至少有一个为0时,x=ab=0; 当a=2且b=2时,x=ab=4; 当a=2且b=4时,x=ab=8; 当a=4且b=2时,x=ab=8; 当a=4且b=4时,x=ab=16. 根据集合中元素的互异性,知P={0,4,8,16}. 1.1.2集合间的基本关系 1.下列说法: ①空集没有子集;②任何集合至少有两个子集;③空集是任何集合的真子集;④若∅A,则A≠∅. 其中正确的有( ). A.0个B.1个C.2个D.3个 解析 ①空集是其自身的子集;②当集合为空集时说法错误;③空集不是空集的真子集;④空集是任何非空集合的真子集.因此,①②③错,④正确. 答案 B 2.如果A={x|x>-1},那么正确的结论是( ). A.0⊆AB.{0}A C.{0}∈AD.∅∈A 解析 由于0>-1,所以{0}A. 答案 B 3.集合A={x|0≤x<3且x∈Z}的真子集的个数是( ). A.5B.6C.7D.8 解析 ∵A={x|0≤x<3且x∈Z}={0,1,2}, ∴集合A有3个元素,故集合A有23-1=7(个)真子集. 答案 C 4.下列关系中正确的是________. ①∅∈{0};②∅{0};③{0,1}⊆{(0,1)};④{(a,b)}={(b,a)}. 解析 ∵∅{0},∴①错误;空集是任何非空集合的真子集,②正确;{(0,1)}是含有一个元素的点集,③错误;{(a,b)}与{(b,a)}是两个不相等的点集,④错误.故正确的是②. 答案 ② 5.集合U、S、T、F的关系如图所示,下列关系错误的有________. ①SU;②FT;③ST;④SF;⑤SF;⑥FU. 解析 根据子集、真子集的Venn图,可知SU,ST,FU正确,其余错误. 答案 ②④⑤ 6.已知集合A={(x,y)|x+y=2,x,y∈N},试写出A的所有子集. 解 ∵A={(x,y)|x+y=2,x,y∈N}, ∴A={(0,2),(1,1),(2,0)}. ∴A的子集有: ∅,{(0,2)},{(1,1)},{(2,0)},{(0,2),(1,1)},{(0,2),(2,0)},{(1,1),(2,0)},{(0,2),(1,1),(2,0)}. 7.已知集合A= ,B= ,则( ). A.ABB.BA C.A=BD.A与B关系不确定 解析 对B集合中,x= ,k∈Z,当k=2m时,x= ,m∈Z;当k=2m-1时,x= - ,m∈Z,故按子集的定义,必有AB. 答案 A 8.满足{a}⊆M{a,b,c,d}的集合M共有( ). A.6个B.7个C.8个D.15个 解析 集合M必含元素a,且为{a,b,c,d}的真子集,可按元素个数分类依次写出集合M: {a},{a,b},{a,c},{a,d},{a,b,c},{a,b,d},{a,c,d}. 答案 B 9.设A={1,3,a},B={1,a2-a+1},若BA,则a的值为________. 解析 ∵BA,∴a2-a+1=3或a2-a+1=a. 若a2-a+1=3,则a2-a-2=0, 解得a=2或a=-1,符合题意; 若a2-a+1=a,则a=1. 此时A={1,3,1},不符合题意,舍去. 综上可知a的值为2或-1. 答案 2或-1 10.已知集合P={x|x2=1},集合Q={x|ax=1},若Q⊆P,那么a的取值是________. 解析 P={-1,1},∵Q⊆P 若Q=∅,则a=0,此时满足Q⊆P, 若Q≠∅,则Q= ,由题意知, =1或 =-1,解得a=±1.综上可知,a的取值是0,±1. 答案 0,±1 11.已知M={a-3,2a-1,a2+1},N={-2,4a-3,3a-1},若M=N,求实数a的值. 解 因为M=N,所以(a-3)+(2a-1)+(a2+1)=-2+(4a-3)+(3a-1),即a2-4a+3=0. 解得a=1或a=3. 当a=1时,M={-2,1,2},N={-2,1,2},满足M=N; 当a=3时,M={0,5,10},N={-2,9,8},不满足M=N,舍去. 故所求实数a的值为1. 12.(创新拓展)已知集合A={x|-2≤x≤5},B={x|m+1≤x≤2m-1}. (1)若B⊆A,求实数m的取值范围; (2)若x∈Z,求A的非空真子集的个数; (3)当x∈R时,若没有元素使x∈A与x∈B同时成立,求实数m的取值范围. 解 (1)当m+1>2m-1,即m<2时,B=∅,满足B⊆A; 当m+1≤2m-1,即m≥2时,要使B⊆A成立, 则 解得-3≤m≤3,则2≤m≤3. 综上可得m≤3时,有B⊆A. (2)当x∈Z时,A={-2,-1,0,1,2,3,4,5}, 所以A的非空真子集的个数为28-2=254. (3)由于x∈R,且A={x|-2≤x≤5},B={x|m+1≤x≤2m-1},且没有元素使x∈A与x∈B同时成立, ①若B=∅,则由m+1>2m-1,得m<2,满足条件; ②若B≠∅,则要满足条件 或 解得m>4. 综上,m<2或m>4. 1.1.3集合的基本运算(并集、交集) 1.已知集合M={x|-3 A.{x|x<-5或x>-3} B.{x|-5 C.{x|-3 D.{x|x<-3或x>5} 解析 结合数轴得: M∪N={x|x<-5或x>-3}. 答案 A 2.满足条件M∪{1}={1,2,3}的集合M的个数是( ). A.1B.2C.3D.4 解析 由已知得M={2,3}或{1,2,3},共2个. 答案 B 3.设集合M={m∈Z|-3 A.{0,1}B.{-1,0,1} C.{0,1,2}D.{-1,0,1,2} 解析 M={-2,-1,0,1},N={-1,0,1,2,3},∴M∩N={-1,0,1}. 答案 B 4.若集合P={x|x2=1},集合M={x|x2-2x-3=0},则P∩M=________. 解析 P={x|x2=1}={-1,1},M={x|x2-2x-3=0}={-1,3},所以P∩M={-1}. 答案 {-1} 5.设集合A={x|x>-1},B={x|-2 解析 结合数轴得: A∪B={x|x>-2}. 答案 {x|x>-2} 6.已知集合A={1,3,5},B={1,2,x2-1},若A∪B={1,2,3,5},求x及A∩B. 解 ∵B⊆(A∪B),∴x2-1∈(A∪B). ∴x2-1=3或x2-1=5. 解得x=±2或x=± . 若x2-1=3,则A∩B={1,3}. 若x2-1=5,则A∩B={1,5}. 7.满足{1,3}∪A={1,3,5}的所有集合A的个数是( ). A.1B.2C.3D.4 解析 由于{1,3}∪A={1,3,5},所以A⊆{1,3,5},且A中至少有一个元素为5,从而A中其余的元素可以是集合{1,3}的子集的元素,而{1,3}有4个子集,因此满足条件的A的个数是4,它们分别是{5},{1,5},{3,5},{1,3,5}. 答案 D 8.已知集合A={(x,y)|y=2x+1},B={x|y=x-1},则A∩B=( ). A.{-2}B.{(-2,-3)} C.∅D.{-3} 解析 由于A是点集,B是数集,∵A∩B=∅. 答案 C 9.满足{0,1}∪A={0,1,2}的所有集合A是________. 解析 ∵{0,1}∪A={0,1,2},∴2∈A. ∴A={2}或{0,2}或{1,2}或{0,1,2}. 答案 {2}或{0,2}或{1,2}或{0,1,2} 10.集合A={0,2,a2},B={1,a},若A∩B={1},则a=________. 解析 ∵A∩B={1},∴1∈A, ∴a2=1,a=±1. 又a≠1,∴a=-1. 答案 -1 11.若A∩B=A,A∪C=C,B={0,1,2},C={0,2,4},写出满足上述条件的所有集合A. 解 ∵A∩B=A,A∪C=C,∴A⊆B,A⊆C. 又B={0,1,2},C={0,2,4}, 故A⊆(B∩C)={0,2}, 所以满足条件的集合A有∅,{0},{2},{0,2}. 12.(创新拓展)设U={1,2,3},M,N是U的子集,若M∩N={1,3},则称(M,N)为一个“理想配集”,求符合此条件的“理想配集”的个数(规定(M,N)与(N,M)不同). 解 符合条件的理想配集有 ①M={1,3},N={1,3}. ②M={1,3},N={1,2,3}. ③M={1,2,3},N={1,3}.共3个. 1.1.3集合的基本运算(补集及其综合应用) 1.设全集U=R,A={x|0≤x≤6},则∁RA=( ). A.{0,1,2,3,4,5,6}B.{x|x<0或x>6} C.{x|0 解析 ∁RA={x|x<0或x>6}. 答案 B 2.已知全集U={2,5,8},且∁UA={2},则集合A的真子集个数为( ). A.3B.4C.5D.6 解析 由∁UA={2},则A={5,8} ∴集合A的真子集为∅,{5},{8},共3个. 答案 A 3.若A为全体正实数的集合,B={-2,-1,1,2},则下列结论中正确的是( ). A.A∩B={-2,-1}B.(∁RA)∪B={-2,-1,1} C.A∪B={1,2}D.(∁RA)∩B={-2,-1} 解析 ∵∁RA={x|x≤0},∴(∁RA)∩B={-2,-1}. 答案 D 4.已知集合A={3,4,m},集合B={3,4},若∁AB={5},则实数m=________. 解析 ∵∁AB={5}, ∴A=B∪∁AB={3,4,5}. ∴m=5. 答案 5 5.设全集U=A∪B={x∈N*|0 解析 由题意,得U=A∪B={1,2,3,4,5,6,7,8,9}, A∩(∁UB)={1,3,5,7,9},∴B={2,4,6,8}. 答案 {2,4,6,8} 6.在如图中,用阴影表示出集合(∁UA)∩(∁UB). 解 ∵(∁UA)∩(∁UB)=∁U(A∪B), ∴如图所示为所求. 7.已知U为全集,集合M、N是U的子集,若M∩N=N,则( ). A.(∁UM)⊇(∁UN)B.M⊆(∁UN) C.(∁UM)⊆(∁UN)D.M⊇(∁UN) 解析 利用韦恩图,如图所示: 可知(∁UM)⊆(∁UN). 答案 C
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