高中数学人教版第二章 一元二次函数方程和不等式 综合测试八.docx
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高中数学人教版第二章一元二次函数方程和不等式综合测试八
第二章一元二次函数、方程和不等式综合测试(八)
一、选择题
1、设集合
,
,则
()
A.
B.
C.
D.
2、已知正实数x,y满足
.则
的最小值为()
A.4B.
C.
D.
3、一元二次不等式
的解集是
,则
的值是()
A.10B.-10C.14D.-14
4、若实数a,b满足
,则
的最小值为()
A.2B.3C.4D.5
5、若对任意的
,不等式
恒成立,则实数
的取值范围为()
A.
B.
C.
D.
或
6、小茗同学的妈妈是吉林省援鄂医疗队的队员,为了迎接凯旋归来的英雄母亲,小茗准备为妈妈献上一束鲜花.据市场调查,已知6枝玫瑰花与3枝康乃馨的价格之和大于24元,而4枝玫瑰花与5枝康乃馨的价格之和小于22元,则2枝玫瑰花的价格和3枝康乃馨的价格比较结果是()
A.3枝康乃馨价格高B.2枝玫瑰花价格高C.价格相同D.不确定
7、如图在北京召开的第24届国际数学家大会的会标,会标是根据中国古代数学家赵爽的弦图设计的,颜色的明暗使它看上去像一个风车,代表中国人民热情好客.我们教材中利用该图作为一个说法的一个几何解释,这个说法正确的是()
A.如果
,那么
B.如果
,那么
C.对任意正实数
和
,有
,当且仅当
时等号成立
D.对任意正实数
和
,有
,当且仅当
时等号成立
8、对于实数
,下列说法错误的是()
A.若
,则
B.若
,则
C.若
,则
D.若
,则
二、填空题
9、设
,
,若
,则
的最小值为______.
10、不等式
的解集为______.
11、下列命题中:
①若
,则
的最大值为
;
②当
时,
;
③
的最小值为
;④当且仅当
均为正数时,
恒成立.
其中是真命题的是______.(填上所有真命题的序号)
三、解答题
12、解下列不等式
(1)
;
(2)
.
13、已知
,求
的最大值,以及y取得最大值时x的值.
14、已知关于
的不等式
.
(1)当
时,解上述不等式.
(2)当
时,解上述关于
的不等式.
15、某自来水厂拟建一座平面图为矩形且面积为200m2的二级净水处理池(如图).池的深度一定,池的外围周壁建造单价为400元/m,中间的一条隔壁建造单价为100元/m,池底建造单价为60元/m2,池壁厚度忽略不计.问净水池的长为多少时,可使总造价最低?
16、已知
,
.
(1)求证:
;
(2)若
,求ab的最小值.
17、已知关于x的不等式
.
(1)若不等式的解集是
,求
的值;
(2)若
,
,求此不等式的解集.
参考答案
1、【答案】D
【分析】本题考查了集合的交集和一元二次不等式的解法.
【解答】由题得
,所以
.故答案为D
2、【答案】D
【分析】本题考查了基本不等式.
【解答】解:
由
,得
,
因为x,y为正实数,
所以
,
当且仅当
,即
时取等号,
所以
的最小值为
,选:
D
3、【答案】D
【分析】本题考查了一元二次方程的根与系数的关系和一元二次方程与一元二次不等式的关系.
【解答】解:
根据题意,一元二次不等式
的解集是
,
则方程
的两根为
和
,
则有
,
解可得
,
,
则
,选:
.
4、【答案】B
【分析】本题考查了基本不等式.
【解答】解:
因为
,则
,
当且仅当
且
时取等号,即
时取等号,
此时取得最小值3.
5、【答案】A
【分析】本题考查了一元二次不等式的恒成立问题和基本不等式.
【解答】解:
因为
时,
恒成立,所以
在
恒成立,
因为
,当且仅当
,即
或
(舍)等号成立,
所以
,选:
A
6、【答案】B
【分析】本题考查了不等式的性质和不等式比较大小.
【解答】设1枝玫瑰和1枝康乃馨的价格分别
元,由题意可得:
,
令
,
则
,解得:
,
因此
.
所以2枝玫瑰的价格高.
7、【答案】C
【分析】本题考查了基本不等式.
【解答】通过观察,可以发现这个图中的四个直角三角形是全等的,设直角三角形的长直角边为
,短直角边为
,如图,整个大正方形的面积大于等于4个小三角形的面积和,即
,即
.当
时,中间空白的正方形消失,即整个大正形与4个小三角形重合.其他选项通过该图无法证明,选:
C.
8、【答案】D
【分析】本题考查了不等式的性质.
【解答】A.在
三边同时除以
得
,故A正确;
B.由
及
得
,故B正确;
C.由
知
且
,则
,故C正确;
D.若
,则
,
,
,故D错误.
9、【答案】16
【分析】本题考查了基本不等式.
【解答】解:
,
且
且
∴
当且仅当
取等号,
又
,即
,
时取等号,故所求最小值为16.
10、【答案】
【分析】本题考查了一元二次不等式的解法.
【解答】由
得
,
所以不等式
的解集为
.
11、【答案】①②
【分析】本题考查了基本不等式.
【解答】①若
,则
的最大值为
,正确
②当
时,
,
时等号成立,正确
③
的最小值为
,
取
错误
④当且仅当
均为正数时,
恒成立
均为负数时也成立.
12、【答案】
(1)
(2)
【分析】本题考查了一元二次不等式的解法.
【解答】
(1)原不等式可化为
,
由于
,方程
无实数解,
∴不等式
的解集为
.
(2)原不等式可化为
,
由于
,方程
的两根为
,
,
∴不等式
的解集为
.
13、【答案】当
时,y取得最大值
.
【分析】本题考查了基本不等式.
【解答】∵
,∴
,∴
.
当且仅当
,即
时,取等号.即当
时,y取得最大值
.
14、【答案】
(1)
,
(2)当
时,不等式解集为
,当
时,不等式解集为
,当
时,不等式解集为
或
.
【分析】本题考查了一元二次不等式的解法.
【解答】
(1)当
时,代入可得
,
解不等式可得
.
(2)关于
的不等式
.
若
,
当
时,代入不等式可得
,解得
;
当
时,化简不等式可得
,由
解不等式可得
,
当
时,化简不等式可得
,解不等式可得
或
,
综上可知,当
时,不等式解集为
,当
时,不等式解集为
,当
时,不等式解集为
或
.
15、【答案】15m
【分析】本题考查了基本不等式的应用.
【解答】设水池的长为x米,则宽为
米.
总造价:
y=400(2x+
)+100
+200×60
=800(x+
)+12000≥800
+12000=36000,
当且仅当x=
,即x=15时,取得最小值36000.
所以当净水池的长为15m时,可使总造价最低.
16、【答案】
(1)过程见解答
(2)1
【分析】本题考查了基本不等式.
【解答】证明:
(1)∵
,
∴
.
(2)∵
,
,
∴
,即
,
∴
,∴
.
当且仅当
时取等号,此时ab取最小值1.
17、【答案】
(1)
.
(2)当
时,原不等式解集为
,
当
时,原不等式解集为
.
当
时,原不等式解集为
.
【分析】本题考查了一元二次不等式的解法.
【解答】
(1)由题意知
,且1和5是方程
的两根,
∴
,且
,
解得
,
,∴
.
(2)若
,
,原不等式为
,
∴
,∴
.
∴
时,
,原不等式解集为
,
时,
,原不等式解集为
,
时,
,原不等式解集为
,
综上所述:
当
时,原不等式解集为
,
当
时,原不等式解集为
.
当
时,原不等式解集为
.
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