第一章 第二讲112集合间的关系.docx
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第一章第二讲112集合间的关系
1.1.2 集合间的基本关系
温故知新
1.用适当的符号(∈,∉)填空:
(1)1{x|x2-3x+2=0};
(2)0N;
(3)a{a,b,c,d};
(4)2{x|x2-2=0};
(5)
{x|x≤
};
(6){1}{{1},2,3}.
2.若a-1∈N,但a-1∉N*,则a=.
3.由大于2小于7的自然数用列举法可以表示为
用描述法可以表示为.
自主预习
1.子集:
观察下面几组集合,集合A与集合B具有什么关系?
(1)A={1,2,3},B={1,2,3,4,5}.
(2)A={x|x>3},B={x|3x-6>0}.
(3)A={正方形},B={四边形}.
2.理解子集概念注意以下几点:
(1)不含任何元素的集合称作空集.规定:
是任何集合的子集.空集用表示.
(2)任何一个集合是它本身的子集.
(3)对于集合A、B、C,如果A⊆B,B⊆C,那么AC;
(4)集合A不包含于集合B(AB)包括如下图所示几种情况:
通过以上所学,完成下面练习.
下列各组集合中,集合A是集合B的子集的有( )
①A={1,3,5},B={1,2,3,4,5,6};
②A={1,3,5},B={1,3,6,9};
③A={0},B={x∈R|x2+1=0};
④A={a,b,c,d},B={d,b,c,a}.
A.①② B.②③
C.③④D.①④
3.集合相等与真子集
如果集合A的所有元素都是集合B的元素,同时集合B的所有元素都是集合A的元素,那么就称集合A等于集合B.(即:
若A⊆B,且B⊆A,则A=B)
如果集合A是集合B的子集,并且存在x∈B,且,则称A是B的真子集.用AB或BA表示.
[解析] 容易看出,①④中集合A的元素都是集合B的元素,因此A为B的子集;②中集合A的元素5不是B的元素,③中B的空集.
值得说明的是:
(1)集合A是集合B的真子集,即A是B的子集,并且B中至少存在一个元素A的元素;
(2)子集包括真子集和相等两种情况;
(3)空集∅是任何非空集合的真子集;
(4)对于集合A、B、C,如果AB,BC,那么AC;如果AB,B⊆C,那么AC;如果A⊆B,BC,那么AC.
通过以上所学,完成下面练习.
(1)写出N,Z,Q,R之间的包含关系,并用Venn图表示.
[解析] NZQR,用Venn图表示如图所示.
(2)判断下列两个集合之间的关系:
A={x|x是4与10的公倍数,x∈N*},
B={x|x=20m,m∈N*}.
4.正确区别各种符号的含义.
(1)∈与⊆的区别
∈表示元素与集合之间的关系,因此有1∈N,-1∉N等;⊆和表示集合与集合之间的关系,因此有N⊆R,∅R等,要正确区分属于和包含关系.
(2)a与{a}的区别
(2)一般地,a表示一个元素,而{a}表示只有一个元素a的集合,因此有1∈{1,2,3},0∈{0},{1}{1,2,3},a∈{a,b,c},{a}{a,b,c}.
(3)空集是集合中的特殊现象,A⊆B包括A=∅的情形容易漏掉,解题时要特别留意.
(4){0}与∅的区别
{0}是含有一个元素0的集合,∅是不含任何元素的集合,因此有∅{0},∅={0}与∅∈{0}都是错误的.要正确地判断元素与集合,集合与集合之间的关系.
通过以上所学,完成下面练习.
用适当的符号(∈,∉,,,=,≠)填空:
(1)a________{a};{a}________{a,b}.
(2)0________∅;∅________{0}.
(3){0,1}________{1,0};{0,1}________{(0,1)}.
(4){a,b}________{b,a};{(a,b)}________{(b,a)}.
(5){1,3}________{x|x2-4x+3=0}.
(6){x|3x-5>0}________{x|x>
}.
(7){x∈Z|-1 [答案] (1)∈ (2)∉ (3)= ≠ (4)= ≠ (5)= (6)= (7)∅,{0},{1},{2},{0,1},{0,2},{1,2},{0,1,2} 一、元素与集合、集合与集合之间关系的考查 1.对子集、真子集有关概念的理解. (1)集合A中的任学法指导: 何一个元素都是集合B中的元素,即由x∈A,能推出x∈B,这是判断A⊆B的常用方法. (2)不能简单地把“A⊆B”理解成“A是B中部分元素组成的集合”,因为若A=∅时,则A中不含任何元素;若A=B,则A中含有B中的所有元素. (3)在真子集的定义中,AB首先要满足A⊆B,其次至少有一个x∈B,但x∉A. [例1] 设a= + ,M={x|x≤ },给出下列关系: ①a⊆M; ②M⊇{a}; ③{a}∈M;④{∅}∈{a}; ⑤2a∉M; 其中正确的关系式共有( ) A.2个B.3个C.4个D.5个 [分析] 解题的关键是确定出a与 的大小,正确使用“属于”、“包含”等符号. [解析] a2=5+2 =5+ <5+5=( )2,∴a= + < ,∴a是集合M中的一个元素,又2a> ,∴2a不是集合M中的元素,而元素与集合之间的关系应由“属于或不属于”来描述,∴①是错误的,⑤是正确的;再由{a}是以a为元素的集合,{∅}表示的是以∅为元素的集合,且集合与集合之间的关系由“包含或不包含”来描述,从而可以判定③、④错误,②正确. 规律总结: 当给定的问题涉及元素与集合、集合与集合的关系时,要抓住基本概念去解题.此时要注意辨明集合中元素的特征,对“包含”与“包含于”、“真包含”与“真包含于”、“属于”与“不属于”等符号要进行仔细辨认,以避免因疏忽而出错. 练习1.下列各式中,正确的个数是( ) (1){0}∈{0,1,2}; (2){0,1,2}⊆{2,1,0};(3)∅⊆{0,1,2};(4)∅={0};(5){0,1}={(0,1)};(6)0={0}. A.1 B.2 C.3 D.4 [解题提示] 首先要分清是元素与集合间的关系,还是集合与集合间的关系.如果是集合与集合,还要分清是什么关系. [解析] 对于 (1),是集合与集合的关系,应为{0}{0,1,2};对于 (2),实际为同一集合,任何一个集合是它本身的子集;对于(3),空集是任何集合的子集,对于(4),{0}是含有单元素0的集合,空集不含任何元素,并且空集是任何非空集合的真子集,所以∅{0};对于(5),{0,1}是含有两个元素0与1的集合,而{(0,1)}是以有序数对(0,1)为元素的单元素集合,所以{0,1}与{(0,1)}不相等;对于(6),{0}是含有单元素0的集合,0与{0}是“属于与否”的关系,所以0∈{0}.故 (2)(3)是正确的,应选B. 二、集合包含关系的考查 学法指导: 判断集合关系的方法有三种: (1)一一列举观察. (2)集合元素特征法: 首先确定集合的元素是什么,弄清集合元素的特征,再利用集合元素的特征判断关系. 一般地,设A={x|p(x)},B={x|q(x)},①若p(x)推出q(x),则A⊆B;②若q(x)推出p(x),则B⊆A;③若p(x),q(x)互相推出,则A=B;④若p(x)推不出q(x),q(x)也推不出p(x),则集合A,B无包含关系. (3)数形结合法: 利用数轴或Venn图. 若A⊆B和AB同时成立,则AB能准确表达集合A,B之间的关系. [例2] 指出下列各对集合之间的关系: (1)A={-1,1},B={x|x2=1}; (2)A={1,2},B={(1,2)}; (3)A={x|x是等边三角形},B={x|x是等腰三角形}; (4)A={x|-1 (5)M={x|x=2n-1,n∈N*},N={x|x=2n+1,n∈N*}. [分析] 先找到集合中元素的特征,再由特征判断集合之间的关系. [解析] (1)用列举法表示集合B={-1,1}数A=B, (2)集合A的代表元素是数,集合B的代表元素是有序实数对,故A与B之间无包含关系. (3)等边三角形是三边相等的三角形,等腰三角形是两边相等的三角形,故AB (4)集合B={x|x<5},用数轴表示集合A,B,如下图所示,由图可知AB. (5)方法一: 两个集合都表示正奇数组成的集合,但由于n∈N*,因此集合M含有元素“1”,而集合N不含元素“1”,故NM. 方法二: 由列举法知M={1,3,5,7,…},N={3,5,7,9,…},所以NM. 规律总结: 对于连续实数组成的集合,通常用数轴来表示,这也属于集合表示的图示法.注意在数轴上,若端点值是集合的元素,则用实心点表示;若端点值不是集合的元素,则用空心点表示. 练习2.判断下列各组中集合之间的关系: (1)A={x|x是12的约数},B={x|x是36的约数}; (2)A={x|x2-x=0},B={x∈R|x2+1=0}; (3)A={x|x是平行四边形},B={x|x是菱形},C={x|x是四边形},D={x|x是正方形}; (4)M={x|x= ,n∈Z},N={x|x= +n,n∈Z}. [解析] (1)因为若x是12的约数,则必定是36的约数,反之不成立,所以AB. (2)因为A={x|x2-x=0}={0,1},B={x∈R|x2+1=0}=∅,所以BA. (3)由图形的特点可画出Venn图如下图所示,从而CABD. (4)方法一: 对于集合M,其组成元素是 ,分子部分表示所有的整数; 对于集合N,其组成元素是 +n= ,分子部分表示所有的奇数. 由真子集的概念知,NM. 方法二: 用列举法表示集合如下: M={…,- ,-1,- ,0, ,1, ,2, ,…},N={…,- ,- , , , ,…},所以NM. 三、数轴在表示集合之间的关系中应用的考查 [例3] 已知M={x|x>1},N={x|x>a},且MN,则( ) A.a≤1B.a<1 C.a≥1D.a>1 [分析] 为了形象直观地表示集合的关系.可借助数轴,让a在x轴上运动,通过观察归纳M与N的关系,进而得出1与a的关系. [解析] 随着a在x轴上运动,集合N也在变化,满足MN的情况如图,显然可得a<1,故选B. 规律总结: 要特别注意a能否取到1,若把其他条件不变,分别只改以下条件时,结论如何: 1M={x|x≥1};②N={x|x≥a};③M⊆N;④M⊇N;⑤MN. 已知A={x|x<3},B={x|x<a}. (1)若B⊆A,则a的取值范围是________; (2)若A⊆B,则a的取值范围是________; (3)若AB,则a的取值范围是________; (4)若A=B,则a的值是________. [解析] (1)若B⊆A应满足a≤3; (2)若A⊆B应满足a≥3; (3)AB应满足a>3; (4)若A=B则a=3. 学法指导: 由集合间的关系求参数的取值或范围 有时在集合的表示中含有字母参数,让我们通过集合的关系来求参数的范围,这里面要注意两个问题: (1)有关参数的题目要注意分类讨论: 一般来说要明确含有参数的题目需要分类,如y=ax2+bx+c中的a是否为0,ax>b中的a也需要讨论,由上面几个例子,参数在取不同的值时,导致问题有不同的形式,因此有关参数的题目,要注意分类的应用,根据分类的原因明确分类的标准,由标准找出分类的对象,还要注意分类时不重不漏的原则. (2)当B是A的子集即B⊆A或真子集BA时,要特别注意B=∅的情况,不要遗漏,否则会丢解. [例4] 设集合A={x|x2+4x=0,x∈R},B={x|x2+2(a+1)x+a2-1=0,x∈R},若B⊆A,求实数a的值. [分析] 解决此题,应明确B⊆A的具体含义,B⊆A有两种情况,一是B=A,而另一种是BA,而BA时还要考虑B能否是∅的情况,因此解题过程中必须分类讨论,另外还要熟练掌握一元二次方程根的讨论问题. [解析] A={x|x2+4x=0,x∈R}={-4,0}. ∵B⊆A,∴B=A或BA. (1)当A=B时,即B={-4,0},则-4,0就是方程x2+2(a+1)x+a2-1=0的根,代入得a=1. (2)当BA时, ①若B=∅,则Δ=4(a+1)2-4(a2-1)<0,解得a<-1. ②若B≠∅,则B={-4}或B={0},此时方程x2+2(a+1)x+a2-1=0有两个相等的实数根. ∴Δ=4(a+1)2-4(a2-1)=0,解得a=-1.经验证知B={0}满足条件. 综上可知所求实数a的值为a=1或a≤-1. 规律总结: 本题重在考查集合的子集,真子集的概念及它们的关系,解题时要求深刻理解A⊆B的概念,合理分析、理解A⊆B的意义,并适时、准确地转化为方程问题或不等式问题,在具体求解过程中有时借助数轴或函数图象来形象解题. 练习4.已知集合A={-2},B={x|ax+1=0,a∈R},B⊆A,求a的值. [分析] 本题关键从条件B⊆A入手,可先讨论集合B是否为空集,即化简集合B,再由B⊆A求a的值. [解析] ∵B⊆A,A≠∅, ∴B=∅或B≠∅. 当B=∅时,方程ax+1=0无解,此时a=0. 当B≠∅时,此时a≠0,B={- }, ∴- ∈A,即有- =-2,得a= . 综上所述,a=0或a= . 五、集合的子集个数问题的考查 [例5] (1)A={a,b,c},求集合A子集的个数. (2)若集合A含有的元素分别为1个、2个、4个、5个,则集合A的子集的个数分别是多少? *(3)根据上面结果猜测集合A含有n个元素时,集合A子集的个数. (4)若A含有n个元素,猜测集合A真子集的个数. [解析] (1)确定集合A各种情形子集的个数: 含有一个元素时子集为{a},{b},{c}共3个,含有两个元素时子集为{a,b},{a,c},{b,c}共3个,含有3个元素时子集为{a,b,c}共1个,另外还有空集∅,因此集合A共有8个子集. (2)按上述方法,当集合A含有1个元素时子集个数为2,含有两个元素时子集个数为4,含有4个元素时子集个数为16,含有5个元素时子集个数为32. (3)将上述子集个数整理为21,22,23,24,25,猜测当集合A含有n个元素时子集个数为2n. (4)去掉它本身,应有2n-1个. 规律总结: 牢记下述四个结论,解题时可依据这四个结论检验解答正确与否. (1)含n个元素的集合有2n个子集; (2)含n个元素的集合有(2n-1)个真子集; (3)含n个元素的集合有(2n-1)个非空子集; (4)含n个元素的集合有(2n-2)个非空真子集. 若有兴趣做如下探究,你会收获更大. 练习5. (1)若∅⊆A⊆{1,2}则集合A的个数为________. (2)若{1}⊆A⊆{1,2}则集合A的个数为________. (3)若{a1,a2}⊆A⊆{a1,a2,a3,a4,a5},求满足上述条件的集合A的个数.(4)若{a1,a2,…,am}⊆A⊆{a1,a2,…,am,b1,b2,…,bn}则集合A的个数为________. (5)若{a1,a2,…,am}A{a1,a2,…,am,b1,b2,…,bn}则集合A的个数为________. [解析] (3)集合A首先含有元素a1,a2,然后再从剩下的3个元素中选取,即{a3,a4,a5}的子集总数为23=8个,∴这样的集合A共有8个. 易错点总结 1.混淆符号“⊆”与“∈” [例6] 下列各式中,正确的是( ) A.2 ⊆{x|x<4}B.2 ∈{x|x<4} C.{2 }∈{x|x<4}D.{2 }⊆{x|x<3} [错解] A或C [错因分析] 混淆了子集符号“⊆”和元素与集合之间的联结符号“∈”. [思路分析] “⊆”表示两集合之间的关系,“∈”是表示元素与集合之间的关系. 2.判断集合间的关系时,没有考虑到变量的范围所产生的影响 [例7] 集合M={x|x=1+a2,a∈N*},P={x|x=a2-4a+5,a∈N*},下列关系中,正确的是( ) A.MPB.PM C.M=PD.MP且PM [错解] C 由于a2-4a+5=(a-2)2+1,a∈N*,∴(a-2)2∈N*,∴M=P. [错因分析] 该解法中的a∈N*,得到(a-2)2∈N*产生错误,事实上,a=2时,(a-2)2=0∉N*. [思路分析] 要解决集合间关系的判断问题,首先是化简两集合的元素表达式,但要注意变量范围所产生的影响. [正解] A 由a2-4a+5=(a-2)2+1,且a∈N*,∴(a-2)2∈N,∴M是P的真子集. 3.由子集关系求集合中参数范围时,忽视空集导致漏集 [例8] 若A={x|-3≤x≤4},B={x|2m-1≤x≤m+1},当B⊆A时,求实数m的取值范围. [错解] 由于B⊆A,∴ 解得-1≤m≤3 [错因分析] B⊆A,而B中含有字母,因此,集合B可能为空集. [思路分析] ∅是任何集合的子集,这一点一定不要忘记 练习: 1.下列四个命题: ①空集没有子集;②空集是任何集合的真子集;③空集中的元素个数为零;④任意一个集合必有两个或两个以上的子集.其中正确的有( ) A.0个B.1个 C.2个D.3个 [解析] 提示: ①错,∅是任何集合的子集;②错,空集是任何非空集合的真子集;③对;④错,∅只有一个子集,即∅本身. 2.(2012-2013学年度邢台一中高一月考试题)如果A={x|x>-1},那么正确的结论是( ) A.0⊆AB.{0}A C.{0}∈AD.∅∈A [解析] A错,因为0与A是元素与集合的关系,C、D错,因为{0}与A,∅与A是集合与集合的关系.故选B. 3.(2012·高考文科数学大纲版)已知集合A={x|x是平行四边形},B={x|x是矩形},C={x|x是正方形},D={x|x是菱形},则( ) A.A⊆BB.C⊆B C.D⊆CD.A⊆D [命题意图] 本试题主要考查了集合的概念,集合的包含关系的运用. [解析] 由正方形是特殊的菱形,矩形是特殊的平行四边形,正方形是特殊的矩形,可知D是最小的集合,A是最大的集合,依次是B,C集合,因此选C. 4.(2012-2013河北正定中学高一数学质量调研)设集合A={x|1 A.a<4B.a≤4 C.a>4D.a≥4 [解析] 在数轴上表示出两个集合(图略),因为AB,所以a≥4 5.集合A={x|0≤x<3,x∈Z},则实数A的真子集个数为( ) A.5B.6 C.7D.8 [解析] A={x|0≤x<3,x∈Z}={0,1,2}.因为含有n个元素的集合的所有真子集的个数为2n-1,所以A的真子集个数为23-1=7. 6.用适当的符号填空: (1){x|x是菱形}________{x|x是平行四边形}; {x|x是三角形}________{x|x是斜三角形}. (2)Z________{x∈R|x2+2=0}; 0________{0}; ∅________{0}; N________{0}. [解析] (1)判断两个集合之间的关系,可以根据子集的定义来加以判断,特别要注意判断出包含关系后,还要进一步判断是否具有真包含关系. (2)集合{x∈R|x2+2=0}中,由于实数范围内该方程无解,因此{x∈R|x2+2=0}=∅;0是集合{0}中的元素,它们之间是属于关系;{0}是含有一个元素0的集合;∅是不含任何元素的集合,故∅{0};自然数集N中含有元素0,但不止0这一个元素. 7.指出下列各对集合之间的关系: (1)A={x|x是四边形},B={x|x是梯形}; (2)A={x|x是等腰三角形},B={x|x是有一个角是45°的直角三角形}; (3)A={x|x>3},B={x|x≥5}; (4)A={x|1<x<3},B={x|2<x<4}. [解析] (1)∵梯形是四边形,∴BA; (2)∵B={x|x是有一个角是45°的直角三角形}={x|x是等腰直角三角形} ∴BA. (3)∵若x≥5,则一定有x>3,∴BA. (4)∵ ∈A,而 ∉B,又 ∉B, 而 ∉A,∴AB,且BA. 8.已知a,x∈R,集合A={2,4,x2-5x+9},B={3,x2+ax+a},C={x2+(a+1)x-3,1} (1)若A={2,3,4},求x的值; (2)若2∈B,BA,求a,x的值. (3)若B=C,求a,x值. [解析] (1)A={2,4,x2-5x+9}={2,3,4},∴x2-5x+9=3,解得x=2或x=3. (2)2∈B,BA, 解得x=2,a=- 或x=3,a=- . (3)由B=C得: ,由②-①得x-a=5代入①解得: 或
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