高中文科数学立体几何知识点总结.docx
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高中文科数学立体几何知识点总结
l
l//m
立体几何知识点整理(文科)
ml//m
一.直线和平面的三种位置关系:
α
l
1.线面平行
方法二:
用面面平行实现。
l
//
l//α
l符号表示:
2.线面相交
l
β
l
α
A
α
方法三:
用平面法向量实现。
符号表示:
3.线在面内n
l
若n为平面的一个法向量,
nl且l,则l//。
l
α
α
符号表示:
二.平行关系:
1.线线平行:
l
方法一:
用线面平行实现。
l//
ll//m
m
3.面面平行:
方法一:
用线线平行实现。
l//l'
α
l
βm
l'
m'
m
m//
l,m
m'
且相交
//
方法二:
用面面平行实现。
l',m'
且相交
l//
β
ll//mγ
mm
α
方法二:
用线面平行实现。
方法三:
用线面垂直实现。
l//
若l,m,则l//m。
m////
方法四:
用向量方法:
l,m
且相交
β
l
m
若向量l和向量m共线且l、m不重合,则l//m。
α
2.线面平行:
方法一:
用线线平行实现。
1/11
l
A
α
C
B
方法三:
用向量方法:
若向量l和向量m的数量积为0,则lm。
三.垂直关系:
三.夹角问题。
4.线面垂直:
(一)异面直线所成的角:
方法一:
用线线垂直实现。
(1)范围:
(0,90]
lAC
l
AB
AB
AB
AC
AC,
A
l
(2)求法:
方法一:
定义法。
步骤1:
平移,使它们相交,找到夹角。
P
n
AθO
α
方法二:
用面面垂直实现。
步骤2:
解三角形求出角。
(常用到余弦定理)
余弦定理:
β
l
ml
a
c
m
lm,l
cos
2
a
2
b
2ab
c
2
θ
b
α
(计算结果可能是其补角)
5.面面垂直:
方法二:
向量法。
转化为向量
方法一:
用线面垂直实现。
C
的夹角
βl
l
θ
()计算结果可能是其补角:
l
A
B
α
ABAC
ABAC
cos
方法二:
计算所成二面角为直角。
(二)线面角
6.线线垂直:
(1)定义:
直线l上任取一点P(交点除外),作
方法一:
用线面垂直实现。
m
l
l
m
lm
PO于O,连结AO,则AO为斜线PA在面内
的射影,PAO(图中)为直线l与面所成的角。
α
P
方法二:
三垂线定理及其逆定理。
PO
P
θ
AO
α
AO
l
α
lOAlPA
l
(2)范围:
[0,90]
2/11
0ll//
当时,或
当90时,l
n1
n2
θ
(3)求法:
方法一:
定义法。
步骤1:
作出线面角,并证明。
步骤2:
解三角形,求出线面角。
步骤一:
计算
cos
nn
12
nn
12
nn
12
(三)二面角及其平面角
步骤二:
判断与
nn的关系,可能相等或
12
(1)定义:
在棱l上取一点P,两个半平面内分别作
者互补。
l的垂线(射线)m、n,则射线m和n的夹角为
四.距离问题。
二面角—l—的平面角。
1.点面距。
方法一:
几何法。
m
P
lP
n
AO
(2)范围:
[0,180]
步骤1:
过点P作PO于O,线段PO即为所求。
步骤2:
计算线段PO的长度。
(直接解三角形;等
(3)求法:
体积法和等面积法;换点法)
方法一:
定义法。
2.线面距、面面距均可转化为点面距。
步骤1:
作出二面角的平面角(三垂线定理),并证明。
3.异面直线之间的距离
步骤2:
解三角形,求出二面角的平面角。
方法一:
转化为线面距离。
方法二:
截面法。
m
步骤1:
如图,若平面POA同时垂直于平面和,
n
则交线(射线)AP和AO的夹角就是二面角。
如图,m和n为两条异面直线,n且
步骤2:
解三角形,求出二面角。
m//,则异面直线m和n之间的距离可转化为直
βP
线m与平面之间的距离。
θ
A
方法二:
直接计算公垂线段的长度。
O
α
方法三:
公式法。
方法三:
坐标法(计算结果可能与二面角互补)。
3/11
如图,AD是异面直线m和n的公垂线段,BaAm
d
n
m//m',则异面直线m和n之间的距离为:
c
C
m'
D
b
dc
2abab
22
2
cos
五.空间向量
(一)空间向量基本定理
A
A
1
C
D
C
1
若向量a,b,c为空间中不共面的三个向量,则对空间中任意一个向量p,都存在唯一的有序实数对
B
B
1
x、y、z,使得pxaybzc。
(二)三点共线,四点共面问题
7.A,B,C三点共线
OAxOByOC,且xy1
当
1
xy时,A是线段BC的
2
A,B,C三点共线ABAC
8.A,B,C,D四点共面
OAxOByOCzOD,且xyz1
当
1
xyz时,A是△BCD的
3
A,B,C,D四点共面ABxACyAD
(三)空间向量的坐标运算
2.已知空间中A、B两点的坐标分别为:
A(x,y,z),B(x2,y2,z2)则:
111
AB;dA,BAB
3.若空间中的向量a(x1,y1,z1),(2,y,z)
bx
22
则abab
4/11
abcosab
六.常见几何体的特征及运算
(一)长方体
9.长方体的对角线相等且互相平分。
10.若长方体的一条对角线与相邻的三条棱所成的角分别为、、,则
222
cos+cos+cos
α
β
γ
α
β
γ
若长方体的一条对角线与相邻的三个面所成的角分别为、、,则
222
cos+cos+cos
11.若长方体的长宽高分别为a、b、c,则体对角线长为,表面积为,体积为。
(二)正棱锥:
底面是正多边形且顶点在底面的射影在底面中心。
(三)正棱柱:
底面是正多边形的直棱柱。
(四)正多面体:
每个面有相同边数的正多边形,且每个顶点为端点有相同棱数的凸多面体。
(只有五种正多面体)
(五)棱锥的性质:
平行于底面的的截面与底面相似,且面积比等于顶点到截面的距离与棱锥的高的平方比。
正棱锥的性质:
各侧棱相等,各侧面都是全等的等腰三角形。
(六)体积:
V棱柱
V
棱锥
(七)球
4.定义:
到定点的距离等于定长的点的集合叫球面。
5.设球半径为R,小圆的半径为r,小圆圆心为O1,球心O到小圆的距离为d,则它们三者之间的数量关
系是。
6.球面距离:
经过球面上两点的大圆在这两点间的一段劣弧的长度。
7.球的表面积公式:
体积公式:
高考题典例
考点1点到平面的距离
5/11
例1如图,正三棱柱
ABCABC的所有棱长都为2,D为
111
CC中点.
1
(Ⅰ)求证:
AB⊥平面
1
ABD;(Ⅱ)求二面角
1
AADB的大小;
1
(Ⅲ)求点C到平面
ABD的距离.
1
解答过程(Ⅰ)取BC中点O,连结AO.
△ABC为正三角形,AO⊥BC.
正三棱柱ABCA1B1C1中,平面ABC⊥平面
BCCB,
11
A
A
1
AO⊥平面
BCCB.连结
11
BO,在正方形
1
BBCC中,O,D分别为
11
F
BC,CC
1
的中点,
BO⊥BD,
1
AB⊥BD.
1
O
C
D
C
1
在正方形
ABBA中,
11
AB⊥AB,
11
AB⊥平面
1
ABD.
1
B
B
1
(Ⅱ)设
AB与
1
AB交于点G,在平面
1
ABD中,作
1
GF⊥AD于F,连结
1
AF,由(Ⅰ)得
AB⊥平面
1
ABD.
1
AF⊥AD,∠AFG为二面角
1
AADB的平面角.
1
在
△中,由等面积法可求得45
AAD
AF,
1
5
又
1
AGAB,sin210
2
AG
∠
AFG
1
2
AF454
5
.
所以二面角
AADB的大小为arcsin10
1
4
.
(Ⅲ)
△中,
ABD
1
,,,△1.
BDA1D5A1B22SABD6S
△
BCD
1
在正三棱柱中,
A到平面
1
BCCB的距离为3.
11
设点C到平面
ABD的距离为d.
1
由
VV,得
ABCDCABD
11
11
S3Sd
△△
BCDABD
33
1
,
d
3S2
△
BCD
S
△
ABD
1
2
.
点C到平面
ABD的距离为2
1
2
.
考点2异面直线的距离
例2已知三棱锥SABC,底面是边长为42的正三角形,棱
SC的长为2,且垂直于底面.E、D分别为BC、AB的中点,求
6/11
CD与SE间的距离.
解答过程:
如图所示,取BD的中点F,连结EF,SF,CF,
EF为BCD的中位线,EF∥CD,CD∥面SEF,CD到平面SEF的距离即为两异面直线间的
距离.又线面之间的距离可转化为线CD上一点C到平面SEF
的距离,设其为h,由题意知,BC42,D、E、F分别是AB、BC、BD的中点,
CD
1
26,EFCD6,DF2,SC
2
2
VSCEF
1
3
1
2
EF
DF
SC
1
3
1
2
6
2
2
23
3
2CE2
在RtSCE中,SESC23
2CF2
在RtSCF中,SFSC424230
1
又EF6,S3由于VCSEFVSCEFSSEFh
SEF
3
,即
1
3
3
23
h,解得
3
h
23
3
23
故CD与SE间的距离为.
3
考点3直线到平面的距离
例3.如图,在棱长为2的正方体
AC中,G是
1
AA的中点,求BD到平面
1
GB1D的距离.
1
思路启迪:
把线面距离转化为点面距离,再用点到平面距离的方法求解.
解答过程:
解析一BD∥平面
GB1D,
1
A
1
D
1
O
1
B
1
C
1
BD上任意一点到平面GB1D1的距离皆为所求,以下求
H
点O平面GB1D1的距离,
G
D
C
B1DAC,B1D1A1A,B1D1平面A1ACC1,
111
O
AB
又B1D1平面GB1D1平面A1ACC1GB1D1,两个平面的交线是O1G,
作OHO1G于H,则有OH平面GB1D1,即OH是O点到平面GB1D1的距离.
11
在O1OG中,S1OOAO222
O.
OG1
22
7/11
又
1126
SO1OGOHOGOHOH.
32,
1
223
即BD到平面GB1D1的距离等于
26
3
.
解析二BD∥平面
GB1D,
1
BD上任意一点到平面GB1D1的距离皆为所求,以下求点B平面GB1D1的距离.
设点B到平面
GB1D的距离为h,将它视为三棱锥
1
BGB的高,则
1D
1
1
VBV,由于S2236
,
GB
1DDGBBGBD
11111
2
114
V222,
D1GBB
1
323
h
4
6
26
3
即BD到平面
GB1D的距离等于
1
26
3
.
小结:
当直线与平面平行时,直线上的每一点到平面的距离都相等,都是线面距离.所以求线面距离关键是
选准恰当的点,转化为点面距离.本例解析一是根据选出的点直接作出距离;解析二是等体积法求出点面距
离.
考点4异面直线所成的角
例4如图,在Rt△AOB中,OABπ,斜边AB4.Rt△AOC可以通过Rt△AOB以直线AO为轴旋转
6
A得到,且二面角BAOC的直二面角.D是AB的中点.
(I)求证:
平面COD平面AOB;
D
(II)求异面直线AO与CD所成角的大小.
解答过程:
(I)由题意,COAO,BOAO,
z
A
E
BO
BOC是二面角BAOC是直二面角,
C
COBO,又AOBOO,CO平面AOB,
D
又CO平面COD.平面COD平面AOB.
(II)作DEOB,垂足为E,连结CE(如图),则DE∥AO,
CDE是异面直线AO与CD所成的角.
在Rt△COE中,COBO2,11
OEBO,
2
225
CECOOE.
x
C
O
B
y
8/11
又DE1AO3.在Rt△CDE中,tan515
CE
CDE
2
DE33
.
异面直线AO与CD所成角的大小为arctan15
3
.
小结:
求异面直线所成的角常常先作出所成角的平面图形,作法有:
①平移法:
在异面直线中的一条直
线上选择“特殊点”,作另一条直线的平行线,如解析一,或利用中位线,如解析二;②补形法:
把空间
图形补成熟悉的几何体,其目的在于容易发现两条异面直线间的关系,如解析三.一般来说,平移法是最常
用的,应作为求异面直线所成的角的首选方法.同时要特别注意异面直线所成的角的范围:
0.
2
考点5直线和平面所成的角
例5.四棱锥SABCD中,底面ABCD为平行四边形,侧面SBC底面ABCD.已知∠ABC45,AB2,
BC22,SASB3.
S
(Ⅰ)证明SABC;(Ⅱ)求直线SD与平面SAB所成角的大小.
C
B
解答过程:
(Ⅰ)作SO⊥BC,垂足为O,连结AO,由侧面SBC⊥底面
D
A
AB,得SO⊥底面ABCD.
S因为SASB,所以AOBO,
又∠ABC45,故△AOB为等腰直角三角形,
OAO⊥BO,由三垂线定理,得SA⊥BC.
C
B
(Ⅱ)由(Ⅰ)知SA⊥BC,依题设AD∥BC,
D
A
故SA⊥AD,由ADBC22,SA3,AO2,
得SO1,SD11.△SAB的面积
2
11
2
SABSAAB.
2
1
22
连结DB,得△DAB的面积
1
SABAD
2
2
sin1352
设D到平面SAB的距离为h,由于
VV,得
DSABSABD
11
hSSOS,解得h2.
12
33
设SD与平面SAB所成角为,则sinh222
SD1111
.
所以,直线SD与平面SBC所成的我为arcsin22
11
.
小结:
求直线与平面所成的角时,应注意的问题是
(1)先判断直线和平面的位置关系;
(2)当直线和平
面斜交时,常用以下步骤:
①构造——作出斜线与射影所成的角,②证明——论证作出的角为所求的角,
9/11
③计算——常用解三角形的方法求角,④结论——点明直线和平面所成的角的值.
考点6二面角
例6.如图,已知直二面角PQ,APQ,B,C,CACB,
C
BAP,直线CA和平面所成的角为30.(I)证明BC⊥PQ
45
P
A
Q(II)求二面角BACP的大小.
B
过程指引:
(I)在平面内过点C作CO⊥PQ于点O,连结OB.
因为⊥,PQ,所以CO⊥,
C
H
A
P
Q
又因为CACB,所以OAOB.
O
B
而BAO45,所以ABO45,AOB90,
从而BO⊥PQ,又CO⊥PQ,
所以PQ⊥平面OBC.因为BC平面OBC,故PQ⊥BC.
(II)由(I)知,BO⊥PQ,又⊥,PQ,
BO,所以BO⊥.过点O作OH⊥AC于点H,连结BH,由三垂线定理知,BH⊥AC.故
BHO是二面角BACP的平面角.
由(I)知,CO⊥,所以CAO是CA和平面所成的角,则CAO30,
不妨设AC2,则AO3,
3
OHAOsin30.
2
在Rt△OAB中,ABOBAO45,所以BOAO3,于是在Rt△
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