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GMAT数学知识点与技巧小结
数学知识与技巧
一、方程与方程组
1.一元二次方程
一般常用因式分解法:
2.二元一次方程组
消去其中一个元素即可
例1:
(1)
(2)
(1)—
(2),消去y,得x=1,y=2
注意:
并不是任何二元一次方程组都有唯一解。
例2:
(1)
(2)
上述方程有无穷多解。
例3:
(1)
(2)
无解。
3.二元二次方程组
一般只考如下形式:
(1)
(2)
即其中的一个方程为一次。
这种形式等价于一元二次方程,把
(1)代入
(2)即可。
4.不等式
如果不等式两边同时乘以或者除以一个负数,这时不等式的方向发生变化。
如果不等式两边同时乘以或者除以一个正数,这时不等式的方向不发生变化。
若ab>0,a>0,则b>0
若a>b,c>0,则ac>bc
若a>b,c<0,则ac 若|x—a| 若|x—a|>b,则x—a>b或x—a<—b 例: 若n=kp且p>0,k>p (1)n< (2)n> 二、数列与集合 1.等差数列 2.等比数列 当 时, 例: 3.集合 无重复元素的序列(或数列)就是集合。 I=A+B—A B+非A非B I=A+B+C—A B—B C—C A+A B C+非A+非B+非C 例: 小于100的自然数中有多少个即不被2整除又不被5整除? 三、排列组合与概率 1.排列与组合 从m个人中挑出n个人进行排列的可能数。 从m个人中挑出n个人进行组合的可能数。 (1)加法原理 某件事由两种方法来完成,第一种方法可由m种方法完成,第二种方法可由n中方 法完成,则这件事可由m+n种方法来完成。 例: 到美利坚去,既可以乘飞机,也可以坐轮船,其中飞机还有战斗机与民航,轮船有小鹰号和泰坦尼克号,问有多少种走法? (2)乘法原理 某件事由两个步骤来完成,第一个步骤可由m种方法完成,第二个步骤可由n中方 法完成,则这件事可由mxn种方法来完成。 例: 到美利坚去,先乘飞机,再坐轮船,其中飞机还有战斗机与民航,轮船有小鹰号和泰坦尼克号,问有多少种走法? 2.概率 第一步: 概率基本原理(古典定义) P(A)=A所包含的基本事件数/基本事件总数。 例1: 某班有男生30名,女生20名,问从中随机抽取一个学生,是男生的概率有多大》挑取两个全是男生的概率是多大呢? 例2: 硬币有正反两面,抛一次正面朝上的几率是多少? 连续抛两次,至少有一次正面朝上的几率是多少? 第二步: 使用加法或者乘法原则 第三步: 减法原则 例题: 袋中有a只白球,b只红球,一次将球一只只取出,不放回。 求第K次取出白球的概率。 ) 例题: 从5位男同学和4位女同学中选出4位参加一个座谈会,要求与会成员中既有男同学又有女同学,有几种不同的选法? 3.条件概率 例1: 一个班有100人,男生60人,女生40人,男女生当中都有黑头发与棕色头发的,其中有10个男生棕色头发,棕色头发一共有30个人,问在100个学生,随便抽取,抽到男生棕色头发的概率是多少? 古典概型: 乘法原则: 例题: 1.用0,2,4,6,9这五个数字可以组成数字不重复的五位偶数共有多少个? 2.6张同排连号的电影票,分给3名男生和3名女生,如欲男女想间而坐,则不同的分法数为多少? 3.甲乙丙丁戊五人并排站成一排,如果乙必须站在甲的右边(甲乙可以不相邻),那么不同的排法有多少种? 4.晚会上有5个不同的唱歌节目和3个不同的舞蹈节目,问: 分别按以下要求各可排出几种不同的节目单? 第一,3个舞蹈节目排在一起; 第二,3个舞蹈节目彼此分开; 第三,3个舞蹈节目先后顺序一定。 挡板模型: 01020304050 5.4本不同的书分给2人,每人2本,不同的分法共有多少种? 四、排列组合和概率习题讲解 排列组合题目的四个步骤: 1.古典概型 2.加法原则、乘法原则 3.减法原则、除法原则 4.条件概率 讲义白皮书第28页: 1.10个人中有6人是男性,问组成4人组,三男一女的组合数。 答案: 8.4幅大小不同的画,要求两幅最大的排在一起,问有多少种排法? 答案: 9.5辆车排成1排,1辆黄色,1辆蓝色,3辆红色,且3辆红车不可分辨,问有多少种排法? 答案: 或者 11.掷一枚均匀硬币2n次,求出现正面k次的概率。 12.有5个白色珠子和4个黑色珠子,从中任取3个,问其中至少有1个是黑色的概率? 答案: 18.从0到9这10个数中任取一个数并记下它的值,放回,再取一个数也记下它的值。 两个值的和为8时,出现5的概率是多少? 答案: 19.5双不同颜色的袜子,从中任取两只,是一对的概率是多少? 答案: 11.掷一枚均匀硬币2n次,求出现正面k次的概率。 答案: 26.有4组人,每组一男一女,从每组各取一人,问取出两男两女的概率? 答案: 27.一个人掷飞标,其击中靶心的概率为0.7,他连续掷4次飞标,有2次击中靶心的概率为多少? 答案: 28.某种硬币每抛一次正面朝上的几率为0.6,问连续抛5次,至少有4次正面朝上的概率。 答案: 29.A发生的概率是0.6,B发生的概率是0.5,问A,B都不发生的最大概率? 答案: 0.4 30.某种动物由出生而活到20岁得概率为0.7,活到25岁得概率为0.56,求现龄为20岁得这种动物活到25岁的概率。 答案: 五、数论(自然数的理论) 1.自然数: 正整数。 如1,2,3,4,5。 2.奇数: 不能被2整除的整数(可正可负),通式: 2n+1。 如-1,1。 3.偶数: 能被2整除的整数(可正可负),零是偶数。 通式: 2n。 如-4,-2,0,2,4。 4.质数: 除了1和它本身之外没有别的因子的自然数。 2是最小的质数,也是唯一的偶质数。 1不是质数。 如2,3,5,7,11,13。 5.合数: 除了1和它本身之外由别的因子的自然数。 4是最小的合数。 1不是合数。 如4,6,8,9。 6.奇偶性分析: 1)偶数=偶数+偶数或奇数+奇数,偶数=偶数×偶数或奇数×偶数 2)奇数=奇数+偶数 3)奇数个奇数相加减,结果为奇数 4)偶数个奇数相加减,结果为偶数 5)任意个偶数相加减,结果为偶数 6)若n个整数相乘结果为奇数,则这n个整数为奇数 7)若n个连续的整数相加等于零,则n为奇数。 如: (-2)+(-1)+0+1+2=0 8)若n个连续的奇数相加等于零,则n为偶数。 如: (-3)+(-1)+1+3=0 9)若n个连续的偶数相加等于零,则n为奇数。 如: (-4)+(-2)+0+2+4=0 10)两个质数之和为奇数,其中必有一个是2。 7.n个连续自然数的乘积一定能够被n! 整除。 如: 2×3×4,4×5×6×7 8.若n能被a整除,且能被b整除,那么n一定能够被[a,b]整除。 (其中[a,b]表示a和b的最小公倍数,另外{a,b}表示a和b的最大公约数) 特别地,当a,b互质(即无公因子),则n能被a×b整除。 (这里用到了公式[a,b]=a×b/{a,b}) 如n能被8和12整除,n也能被24整除; 如n能被8和11整除,n也能被88整除。 9.余数表示法。 如: 一个偶数被7除余3,问被14除余几? p=7n+3,由于p为偶数,3为奇数,所以7n为奇数,n可以表示为2q+1 于是p=7(2q+1)+3=14q+10很明显余数为10。 10.字母法(未知数法)。 如: 两个两位数各位与十位恰好颠倒,问下面哪个不能是两数之和? A.181B.121C.77D.132E.154 设两数分别为ab和ba,则(ab)+(ba)=(10a+b)+(10b+a)=11(a+b),即和必为11的倍数 显然答案为A。 11.代入法。 如: 余数表示法例中,既然问被14除余几,则必然结果唯一,任意代入一个数即可,比如 24,立刻得到答案10。 代入法是缺乏数论知识的广大学员做对大部分题的法宝。 12.一些整除性质。 1)已知C=A+B且A是m的倍数,则C是m的倍数与B是m的倍数互为充分必要条件 推论: 一个数是否能够被5整除,只要看它的最后一位。 一个数是否能够被4整除,只要看它的后两位。 一个数是否能够被8整除,只要看它的后三位。 一个数能否被3整除,取决于各位之和能否被3整除。 例题: 已知m=7n+8(n为整数),下面哪个不能是m的值? A.49B.43C.64D.78E.92 2)个位数为1的数任意次方个位数均为1。 3)个位数为5的数任意次方个位数均为5。 4)个位数为6的数任意次方个位数均为6。 练习: 求 的个位数是多少? 求 的个位数是多少? 六、单利和复利 1.单利通式: a1×(1+nx) 复利通式: a1× 2.综合例子: 年利率为12%,按每月的复利计算,两年后100元变成多少元? 100× 七、数据充分性 1.约定: A为 (1)充分, (2)不充分。 B为 (1)不充分, (2)充分。 C为 (1)和 (2)在一起充分,但分别不充分。 D为 (1)和 (2)自己分别充分。 E为 (1)和 (2)在一起也不充分。 做题阶段: 第一阶段: 先看条件 (1),只要 (1)充分,答案不是A就是D 再看条件 (2),只要 (2)充分,答案不是B就是D 如果 (1) (2)都充分,则答案一定是D 如果一个充分一个不充分,答案就是A或者B (只要 (1)不充分,答案肯定不是A或者D) 第二阶段: C是好的,E是坏的 2.做题步骤。 1)读题干,若是文字题,必须列出相应的式子。 2)先单独看 (1), (2)是否充分,若分别都充分,选D;若其中一个充分,则选A或B。 3)若都不充分,则看 (1)和 (2)加在一起是否充分,若充分,则C;否则选E。 3.特点。 1)不需要求出具体值,只需要知道求出即可。 例: 买一打(12个)罐装汤,问降低后的价格比起原价格便宜多少? (C) (1)原价一美元三个。 × (2)降低后的价格一美元三个。 × 2)字母不代表具体的值,应确定字母的值以后,才决定充分与否。 例: W-w>0(E) (1)W=a+b× (2)w=a-b× 3)选C时应该注意是否可选A或B。 例: (A) (1)|x|=2√ (2)x>0× 4)唯一性。 例: x=? (A) (1)x=2√ (2) × 练习: 蓝皮书234页114题 114.PamandEdareinalinetopurchasetickets.Howmanypeopleareinline(E) (1)Thereare20peoplebehindPamand20peopleinfrontofEd.× (2)Thereare5peoplebetweenPamandEd.× 5)不矛盾性。 例: 两辆火车相对行驶,同时开出,距离500英里,问多长时间后相遇? (C) (1)其中一辆速度为200英里每小时。 (2)其中一辆速度为300英里每小时。 6)否定性。 例: x>0? (B) (1) (2) 白皮书17页例题 例: 若n=kp且p>0,k>p(D) (1) (2) 7)关于方程组的解。 例1: (唯一根) (D) (1) (2)k=2 例2: (根不唯一,结果唯一) (D) (1) (2) 例3: (唯一根)已知 ,那么xy(x+y)=(A) (1)xy=6 (2)x-y=-5 例4: (根不唯一,结果唯一)已知 ,那么xy(x+y)=(D) (2) 注意: 如果一个数是一个完全平方数,那么它的因子的个数一定是奇数 问一个数有多少个因子,先把它进行质因子表达展开,然后乘以(指数+1)即可 假如一个数有奇数个因子,那么这个数一定是另一个数的平方 笔记: 两个相差为m的自然数,其公因子一定是m的约数。 推论: 两个相邻的自然数一定互质。 两个相邻的奇数一定互为质数。 两个相邻的偶数最大公约数一定是2。 第三章几何 3.1平面几何 1.直角三角形勾股定理。 a2+b2=c2 2.两直线平行,内错角相等,同位角相等。 3.圆心角是圆周角的两倍。 4.面积与周长。 1三角形(边长为a,b,c): 面积=1/2absinγ(γ是a,b两边之夹角) 对于直角三角形,γ=90°,S直角三角形= ab。 对于等边三角形,γ=60°,S等边三角形= 。 周长=a+b+c 2梯形(上底为a,下底为b,高为h) 面积=(a+b)×h/2 3平行四边形(边长为a,b,高为h) 面积=a×h 周长=2(a+b) 4矩形(边长为a,b) 面积=a×b 周长=2(a+b) 5正方形(边长为a) 面积=a2 周长=4a 6圆(半径为R) 面积=πR2 周长=2πR 5.多边形内角和: (n-2)180o 3.2立体几何 体积和表面积: 1.长方体(边长为a,b,c) 体积=a×b×c 表面积=2(a×b+b×c+c×a) 2.正方体(立方体)(边长为a) 体积=a3 表面积=6a2 3.圆柱(底面半径为R,高为h) 体积=πR2h 表面积=2πR2+2πR×h 3.3解析几何 1.关于对称。 1坐标(a,b)关于y=x的对称点为(b,a) 2坐标(a,b)关于y=-x的对称点为(-b,-a) 2.直线方程。 1y=kx+b(斜截式,k为斜率slope,b为截距intercept) 2x/a+y/b=1(截距式,a为x轴上截距,b为y轴上截距) 3(y-y2)/(x-x2)=(y1-y2)/(x1-x2)(两点式,已知(x1,y1),(x2,y2)) 4(y-y1)/(x-x1)=k(点斜式,已知(x1,y1),斜率k) 例: 请写出x轴与y轴上截距分别为20和30的直线方程在x,y≥0条件下的整数解。 第四章统计 1.算术平均数(arithmeticmean)。 E= 当a,b>0时,下式成立,当a=b时取等号。 调和平均, 几何平均, 算术平均, 加权平均或平方平均 2.期望(expectation) 在GMAT数学中,期望就是算术平均。 通常计算出来的算术平均都用E表示,这个E就是期 望英文的第一个字母大写。 3.偏差(deviation) 一个数列中ai项的偏差di=ai-E 4.方差(variance) D= 缺陷: 单位有平方 5.标准差(standarddeviation) σ= 6.中间数(median) 求法: 先排序,后取中。 比如说一个数列{1,2,4,5,3},求它的中间数时,应该先排序变成{1,2,3,4,5},然后取中为3。 如果数列含有偶数个数,取中间两个数,然后取这两个数的算术平均。 7.众数(mode) 定义: 数列中出现次数最多的数。 比如说一个数列{1,1,2,2,3},它的众数或者是1或者是2。 8.范围(range) 定义: 数列中最大数减去最小数所得的差。
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