北师大版九年级上册数学教案第3套.docx
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北师大版九年级上册数学教案第3套
2010年秋季九年级上册数学教案
刘玉燕
§1.1、你能证明它们吗
(一)
一、教学目标:
1、了解作为证明基础的几条公理的内容,掌握证明的基本步骤和书写格式。
2、经历“探索-发现-猜想-证明”的过程。
能够用综合法证明等腰三角形的关性质定理和判定定理。
3、结合实例体会反证法的含义。
二、教学重点:
了解作为证明基础的几条公理的内容,通过等腰三角形性质证明,掌握证明的基本步骤和书写格式。
教学难点:
能够用综合法证明等腰三角形的关性质定理和判定定理(特别是证明等腰三角形性质时辅助线做法)。
三、教学方法:
观察法。
四、教学过程:
复习:
1、什么是等腰三角形?
2、你会画一个等腰三角形吗?
并把你画的等腰三角形栽剪下来。
3、试用折纸的办法回忆等腰三角形有哪些性质?
新课讲解:
在《证明
(一)》一章中,我们已经证明了有关平行线的一些结论,运用下面的公理和已经证明的定理,我们还可以证明有关三角形的一些结论。
同学们和我一起来回忆上学期学过的公理
♦本套教材选用如下命题作为公理:
♦1.两直线被第三条直线所截,如果同位角相等,那么这两条直线平行;
♦2.两条平行线被第三条直线所截,同位角相等;
♦3.两边夹角对应相等的两个三角形全等;(SAS)
♦4.两角及其夹边对应相等的两个三角形全等;(ASA)
♦5.三边对应相等的两个三角形全等;(SSS)
♦6.全等三角形的对应边相等,对应角相等.
由公理5、3、4、6可容易证明下面的推论:
推论 两角及其中一角的对边对应相等的两个三角形全等。
(AAS)
证明过程:
已知:
∠A=∠D,∠B=∠E,BC=EF
求证:
△ABC≌△DEF
证明:
∵∠A+∠B+∠C=180°,
∠D+∠E+∠F=180°
(三角形内角和等于180°)
∴∠C=180°-(∠A+∠B)
∠F=180°-(∠D+∠E)
又∵∠A=∠D,∠B=∠E(已知)
∴∠C=∠F
又∵BC=EF(已知)
∴△ABC≌△DEF(ASA)
定理:
等腰三角形的两个底角相等。
这一定理可以简单叙述为:
等边对等角。
已知:
如图,在ABC中,AB=AC。
求证:
∠B=∠C
随堂练习:
做教科书第4页第1,2题。
(引导学生分析证明方法,学生动手证明,写出证明过程。
)
课堂小结:
通过这节课的学习你学到了什么知识?
五、作业:
1、基础作业:
P5页习题1.11、2。
2、拓展作业:
《目标检测》3、预习作业:
P5-6页议一议
六、板书设计:
七、课后记:
§1.1、你能证明它们吗
(二)
一、教学目标:
1、进一步了解作为证明基础的几条公理的内容,掌握证明的基本步骤和书写格式。
2、经历“探索-发现-猜想-证明”的过程。
能够用综合法证明等腰三角形的两条腰上的中线(高)、两底角的平分线相等,并由特殊结论归纳出一般结论。
3、能够用综合法证明等腰三角形的判定定理。
4、了解反证法的推理方法。
5、会运用“等角对等边”解决实际应用问题及相关证明问题。
二、教学重点:
正确叙述结论及正确写出证明过程。
熟悉作为证明基础的几条公理的内容,通过学习,掌握证明的基本步骤和书写格式。
教学难点:
等腰三角形的定理应用及由特殊结论归纳出一般结论。
三、教学方法:
探究式教学法自主探究与合作探究
四、教学过程:
复习回顾:
你知道等腰三角形具有怎样的性质吗?
、
探索——发现——猜想——证明
1、引导探索:
等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线和高线具有上述的性质,那么,两底角的平分线、两腰上的中线和高线又具有怎样的性质呢?
2、
探究中发现:
在等腰三角形中做出两底角的平分线,你会发现图中有那些相等的线段?
你能用文字叙述你的结论吗?
3、证明:
(1)例1证明:
等腰三角形两底角的平分线相等。
已知:
如图,在△ABC中,AB=AC,BD,CE是
△ABC的角平分线。
求证:
BD=CE(一生口述证明过程,然后写出证明过程。
)
证明:
(略)
此题还有其它的证法吗?
(2)你能证明等腰三角形两条腰上的中线相等吗?
高呢?
定理证明
已知:
在ΔABC中∠B=∠C
求证:
AB=AC(引导学生证明定理)
方法如下:
(课堂小结1:
(1)归纳判定等腰三角形判定有几种方法,
(2)证明两条线段相等的方法有哪几种。
(讨论、交流)
随堂练习:
已知:
在ΔABC中,AB=AC,D在AB上,DE∥AC
求证:
DB=DE
反证法的概念P8
课堂小结2:
通过这节课的学习你学到了什么知识?
了解了什么证明方法?
五、作业:
1、基础作业:
P9页习题1.21、2、3。
2、拓展作业:
《目标检测》
3、预习作业:
P10-12页做一做
六、板书设计:
七、课后记:
§1.1你能证明他们吗?
(三)
一、教学目标:
1、进一步学习证明的基本步骤和书写格式。
2、掌握证明与等边三角形、直角三角形有关的性质定理和判定定理。
二、教学重点、难点:
关于综合法在证明过程中的应用。
三、教学过程:
温故知新
1、已知:
∠ABC,∠ACB的平分线相交于F,过F作DE∥BC,交AB于D,
交AC于E
2、找出图中的等腰三角形
(1)BD,CE,DE之间存在着怎样的关系?
(2)证明以上的结论。
练习:
证明:
在一个三角形中,至少有一个内角小于或等于60°。
1、探索问题:
①一个等腰三角形满足什么条件时便成为等边三角形?
②你认为有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形吗?
你能证明你的思路吗?
定理:
有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形。
在直角三角形中,如果一个锐角等于30°,那么它所对的直角边等于斜边的一半。
3、例题学习
等腰三角形的底角为15°,腰长为2a,求腰上的高。
已知:
在△ABC中,AB=AC=2a,∠ABC=∠ACB=15°
求:
CD的长
解:
∵∠ABC=∠ACB=15°
∴∠DAC=∠ABC+∠ACB=15°+15°=30°
∴CD=
AC=
×2a=a(在直角三角形中,如果一个锐角等于30°,那么它所对的直角边等于斜边的一半)
4、练习:
课本12页随堂练习1
四、课堂小结:
通过这节课的学习你学到了什么知识?
了解了什么证明方法?
五、作业:
1、基础作业:
P13页习题1.31、2、3题
2、拓展作业:
《目标检测》
3、预习作业:
P15-17页读一读“勾股定理的证明”
§1.2直角三角形
教学目标:
1、了解勾股定理及其逆定理的证明方法
2、结合具体例子了解逆命题的概念,会识别两个互逆命题、知道原命题成立其逆命题不一定成立。
教学重点、难点:
进一步掌握演绎推理的方法。
教学过程:
一、温故知新
1、你记得勾股定理的内容吗?
你曾经用什么方法得到了勾股定理?
定理:
直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方。
二、学一学
1、问题情境:
在一个三角形中,当两边的平方和等于第三边的平方时,我们曾用度量的方法得出“这个三角形是直角三角形”的结论,你能证明这个结论吗?
已知:
在ΔABC中,AB2+AC2=BC2
求证:
ΔABC是直角三角形
a)(!
)
(2)
结论:
如果三角形两边的平方和等于第三边的平方,那么这个三角形是直角三角形。
2、议一议:
观察下列三组命题,它们的条件和结论之间有怎样的关系?
如果两个角是对顶角,那么它们相等。
如果两个角相等,那么它们是对顶角。
3、关于互逆命题和互逆定理。
(1)在两个命题中,如果一个命题的条件和结论分别是另一个命题的结论和条件,那么这两个命题称为互逆命题,其中一个命题称为另一个命题的逆命题。
(2)一个命题是真命题,它的逆命题却不一定是真命题。
如果一个定理的逆命题经过证明是真命题,那么它也是一个定理,这两个定理称为互逆定理,其中一个定理称为另一个定理的逆定理。
4、练习:
(1)写出命题“如果有两个有理数相等,那么它们的平方相等”的逆命题,并判断是否是真命题。
(2)试着举出一些其它的例子。
(3)随堂练习1
5、读一读“勾股定理的证明”的阅读材料。
6、课堂小结:
本节课你都掌握了哪些内容?
三、作业
1、基础作业:
P20页习题1.41、2、3。
2、拓展作业:
《目标检测》
3、预习作业:
P21-22页做一做
§1、2直角三角形
(2)
教学目标:
1、进一步掌握推理证明的方法,发展演绎推理能力。
2、能够证明直角三角形全等的“HL”判定定理既解决实际问题。
重点:
能够证明直角三角形全等的“HL”判定定理。
并且用纸解决问题。
难点:
证明“HL”定理的思路的探究和分析。
-
教学过程:
一、复习提问
1、判断两个三角形全等的方法有哪几种?
2、有两边及其中一边的对角对应相等的两个三角形全等吗?
如果其中一个角是直角呢?
请证明你的结论。
二、探究
两边及其一个角对应相等的两个三角形全等吗?
如果相等说明理由。
如果不相等,应如何改变条件?
用自己的语言清楚地说明,并写出证明过程。
问题1,此定理适用于什么样的三角形?
(适用于直角三角形)
2、判定直角三角形的方法有哪些,分别说出?
(HL,SAS,ASA,AAS,SSS.先
考虑HL,在考虑另外四种方法。
)
三、练习随堂练习P23--1
判断命题的真假,并说明理由
1、锐角对应相等的两个直角三角形全等。
2、斜边及一锐角对应相等的两个直角三角形全等。
3、两条直角边对应相等的两个直角三角形全等。
4、一条直角边和另一条直角边上的中线队以相等的两个直角三角形全等。
四、议一议
如图:
已知∠ACB=∠BDA=90。
要使⊿ACB≌⊿BDA,还需要什么条件?
把他们写出来,并说明理由。
五、小结:
1、本节课学习了哪些知识?
2、还有那一些方面的收获?
六、作业:
1、基础作业:
P23页习题1.51、2。
2、拓展作业:
《目标检测》
3、预习作业:
预习:
线段的垂直平分线。
直角三角形(第二课时)
教学目标:
1、进一步掌握推理证明的方法,发展演绎推理能力。
2、了解勾股定理及其逆定理的证明方未能,能够证明直角三角形全等的“HL”判定定理。
3、结合具体例子了解逆命题的概念,会识别两个互逆命题,知道原命题成立其逆命题不一定成立。
教学过程:
复习:
1、勾股定理即其逆定理。
2、全等三角形的证明。
新授:
引入:
两边及其中一边的对角对应相等的两个三角形全等吗?
如果其中一边所对的角是直角呢?
定理:
斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等。
这一定理可以简单地用“斜边、直角边”或“HL”表示。
已知:
如图,△ABC和△A’B’C’中∠C=∠C’=90°,且AB=A’B’,BC=B’C’,
求证:
△ABC≌△A’B’C’
证明:
Rt△ABC和Rt△A’B’C’中,
∵AB=A’B’,BC=B’C’,AC2=BC2-AB2,A’C’2=B’C’2-A’B’2
∵AC2=A’C’2∴AC=A’C’
∴△ABC≌A’B’C’(SSS)
做一做:
用三角尺可以作角平线,如图,在已知∠AOB的两边上分别取点M、N,使OM=ON,再过点M作OA的垂线,过点N作OB的垂线,两垂线交于点P,那么射线OP就是∠AOB的平分线
请证明:
证明:
∵MC=NCPC=PC
∴Rt△MCP≌Rt△NCP(HL)
∴∠MCP=∠NCP(全等三角形对应角相等)
议一议:
如图,已知∠ACB=BDA=90°,要使△ACB≌△BDA,还需要什么条件?
把它们分别写出来。
线段的垂直平分线(第一课时)
教学目标:
1、经历探索、猜测、证明的过程,进一步发展学生的推理证明意识和能力。
2、能够证明线段垂直平分线的性质定理、判定定理及其相关结论。
3、能够利用尺规作已知线段的垂直平分线;已知底边及底边上的高,能利用尺规作出等腰三角形。
教学过程:
我们曾利用折纸的办法得到:
线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离睛等,你能证明这一结论吗?
定理:
线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等。
已知:
如图,直线MN⊥AB,垂足是C,且AC=BC,P是MN上的任意一点。
求证:
PA=PB。
证明:
∵MN⊥AB,
∴∠PCA=∠PCB=90°
∵AC=BC,PC=PC
∴△PCA≌△PCB(SAS)
∴PA=PB(全等三角形的对应边相等)
想一想,你能写出上面这个定理的逆合题吗?
它是真命题吗?
如果是请证明:
定理到一条线段两个端点距离相等的点,
在这条线段的垂直平分线上。
(利用等腰三角形三线合一)
线段的垂直平分线(第二课时)
教学目标:
1、经历探索、猜测、证明的过程,进一步发展学生的推理证明意识和能力。
2、能够证明线段垂直平分线的性质定理、判定定理及其相关结论。
3、能够利用尺规作已知线段的垂直平分线;已知底边及底边上的高,能利用尺规作出等腰三角形。
教学过程:
引入:
剪一个三角形纸片,通过折叠找出每条边的垂直平分线,观察这三条垂直平分线,你发现了什么?
当利用尺规作出三角形三条边的垂直平分线时,你是否也发现了同样的结论?
定理:
三角形三边的垂直平分线相交于一点,并且这一点到三个顶点的距离相等。
证明:
在△ABC中,设AB、BC的垂直平分线相交于点P,连接AP、BP、CP,
∵点P在线段AB的垂直平分线上
∴PA=PB(线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点距离相等)
同理:
PB=PC
∴PA=PC
∴点P在AC的垂直平分线上
(到一条线段两个端点距离相等的点,在这条线段的垂直平分线上)。
∴AB,BC,AC的垂直平分线相交于点P。
议一议:
1、已知三角形的一条边及这条边上的高,你能作出三角形吗?
如果能,能作几个?
所作的三角形都全等吗?
(这样的三角形能作出无数多个,它们不都全等)
2、已知等腰三角形底边及底边上的高,你能用尺规作出等腰三角形吗?
能作几个?
(满足条件的等腰三角形可和出两个,分加位于已知边的两侧,它们全等)。
角平分线
教学目标:
1、进一步发展学生的推理证明意识和能力;
2、能够证明角平分线的性质定理、判定定理及相关结论
3、能够利用尺规作已知角的平分线。
教学过程:
定理:
角平分线上的点到这个角两边的距离相等。
其逆命题也是真命题。
引导学生自己证明。
定理:
在一个角的内部,且到角的两边距离相等的点,在这个角的平分线上。
课堂练习:
P32,1、2题
作业:
P34,1、2、3题。
花边有多宽
教学目标:
1、经历方程解的探索过程,增进对方程解的认识,发展估算意识和能力。
2、渗透“夹逼”思想
教学重点难点:
用“夹逼”方法估算方程的解;求一元二次方程的近似解。
教学方法:
讲授法
教学用具:
幻灯机
教学程序:
一、复习:
1、什么叫一元二次方程?
它的一般形式是什么?
一般形式:
ax2+bx+c-0(a≠0)
2、指出下列方程的二次项系数,一次项系数及常数项。
(1)2x2―x+1=0
(2)―x2+1=0(3)x2―x=0(4)―
x2=0
二、新授:
1、估算地毯花边的宽。
地毯花边的宽x(m),满足方程(8―2x)(5―2x)=18
也就是:
2x2―13x+11=0
你能求出x吗?
(1)x可能小于0吗?
说说你的理由;x不可能小于0,因为x表示地毯的宽度。
(2)x可能大于4吗?
可能大于2.5吗?
为什么?
x不可能大于4,也不可能大于2.5,x>4时,5―2x<0,x>2.5时,5―2x<0.
(3)完成下表
从左至右分别11,4.75,0,―4,―7,―9
(4)你知道地毯花边的宽x(m)是多少吗?
还有其他求解方法吗?
与同伴交流。
地毯花边1米,另,因8―2x比5―2x多3,将18分解为6×3,8―2x=6,x=1
2、例题讲析:
例:
梯子底端滑动的距离x(m)满足(x+6)2+72=102
也就是x2+12x―15=0
(1)你能猜出滑动距离x(m)的大致范围吗?
(2)x的整数部分是几?
十分位是几?
所以1 进一步计算 所以1.1 因此x的整数部分是1,十分位是1 注意: (1)估算的精度不适过高。 (2)计算时提倡使用计算器。 三、巩固练习: P47,随堂练习1 四、小结: 估计方程的近似解可用列表法求,估算的精度不要求很高。 五、作业: P47,习题2.2: 1、2 配方法(第一课时) 教学目标: 1、会用开平方法解形如(x+m)2=n(n≥0)的方程; 2、理解配方法,会用配方法解简单的数字系数的一元二次方程; 3、体会转化的数学思想,用配方法解一元二次方程的过程。 教学程序: 一、复习: 1、解下列方程: (1)x2=9 (2)(x+2)2=16 2、什么是完全平方式? 利用公式计算: (1)(x+6)2 (2)(x- )2 注意: 它们的常数项等于一次项系数一半的平方。 3、解方程: (梯子滑动问题) x2+12x-15=0 二、新授: 1、引入: 像上面第3题,我们解方程会有困难,是否将方程转化为第1题的方程的形式呢? 2、解方程的基本思路(配方法) 如: x2+12x-15=0转化为 (x+6)2=51 两边开平方,得 x+6=± ∴x1= ―6x2=― ―6(不合实际) 因此,解一元二次方程的基本思路是将方程转化为(x+m)2=n的形式,它的一边是一个完全平方式,另一边是一个常数,当n≥0时,两边开平方便可求出它的根。 3、配方: 填上适当的数,使下列等式成立: (1)x2+12x+=(x+6)2 (2)x2―12x+=(x―)2 (3)x2+8x+=(x+)2 从上可知: 常数项配上一次项系数的一半的平方。 4、讲解例题: 例1: 解方程: x2+8x―9=0 分析: 先把它变成(x+m)2=n(n≥0)的形式再用直接开平方法求解。 解: 移项,得: x2+8x=9 配方,得: x2+8x+42=9+42(两边同时加上一次项系数一半的平方) 即: (x+4)2=25 开平方,得: x+4=±5 即: x+4=5,或x+4=―5 所以: x1=1,x2=―9 5、配方法: 通过配成完全平方式的方法得到了一元二次方程的根,这种解一元二闪方程的方法称为配方法。 三、巩固练习: P50,随堂练习: 1 四、小结: (1)什么叫配方法? (2)配方法的基本思路是什么? (3)怎样配方? 五、作业: P50习题2.31、2 六、教学后记 配方法 (二) 教学目标: 1、利用配方法解数字系数的一般一元二次方程。 2、进一步理解配方法的解题思路。 教学重点、难点: 用配方法解一元二次方程的思路;给方程配方。 教学程序: 一、复习: 1、什么叫配方法? 2、怎样配方? 方程两边同加上一次项系数一半的平方。 3、解方程: (1)x2+4x+3=0 (2)x2―4x+2=0 二、新授: 1、例题讲析: 例3: 2、用配方法解一元二次方程的步骤: (1)把二次项系数化为1; (2)移项,方程的一边为二次项和一次项,另一边为常数项。 (3)方程两边同时加上一次项系数一半的平方。 (4)用直接开平方法求出方程的根。 三、巩固: 练习: P51,随堂练习: 1 四、小结: 1、用配方法解一元二次方程的步骤。 (1)化二次项系数为1; (2)移项; (3)配方: (4)求根。 五、作业: P33,习题2.41、2 六、教学后记 配方法(三) 教学目标: 1、经历到方程解决实际,问题的过程,体会一元二次方程是刻画现实世界中数量关系的一个有效数学模型,培养学生数学应用的意识和能力; 2、进一步掌握用配方法解题的技能 教学重点、难点: 列一元二次方程解方程。 教学程序: 一、复习: 1、配方: (1)x2―3x+=(x―)2 (2)x2―5x+=(x―)2 2、用配方法解一元二次方程的步骤是什么? 3、用配方法解下列一元二次方程? (1)3x2―1=2x (2)x2―5x+4=0 二、引入课题: 我们已经学习了用配方法解一元二次方程,在生产生活中常遇到一些问题,需要用一元二次方程来解答,请同学们将课本翻到54页,阅读课本,并思考: (1)设花园四周小路的宽度均为xm,可列怎样的一元二次方程? (16-2x)(12-2x)= ×16×12 (2)一元二次方程的解是什么? x1=2x2=12 (3)这两个解都合要求吗? 为什么? x1=2合要求,x2=12不合要求,因荒地的宽为12m,小路的宽不可能为12m,它必须小于荒地宽的一半。 2、设花园四角的扇形半径均为xm,可列怎样的一元二次方程? x2π= ×12×16 (2)一元二次方程的解是什么? X1= ≈5.5 X2≈-5.5 (3)合符条件的解是多少? X1=5.5 四、练习: P56随堂练习 五、小结: 1、本节内容的设计方案不只一种,只要合符条件即可。 2、设计方案时,关键是列一元二次方程。 3、一元二次方程的解一般有两个,要根据实际情况舍去不合题意的解。 六、作业: P56,习题2.5,1、2 七、教学后记: 为什么是0.618(第一课时) 知识目标: 1、掌握黄金分割中黄金比的来历; 2、经历分析具体问题中的数量关系,建立方程模型并解决问题的过程,认识方程模型的重要性。 教学重点难点: 列一元一次方程解应用题,依题意列一元二次方程 教学程序: 一、复习 1、解方程: (1)x2+2x+1=0 (2)x2+x-1=0 2、什么叫黄金分割? 黄金比是多少? (0.618) 3、哪些一元二次方程可用分解因式法来求解? (方程一边为零,另一边可分解为两个一次因式) 二、新授 1、黄金比的来历 如图,如果 = ,那么点C叫做线段AB的黄金分割点。 由 = ,得AC2=AB·CB 设AB=1,AC=x,则CB=1-x ∴x2=1×(1-x)即: x2+x-1=0 解这个方程,得 x1= x2= (不合题意,舍去) 所以: 黄金比 = ≈0.618 注意: 黄金比的准确数为 ,近似数为0.618. 上面我们应用一元二次方程解决了求黄金比的问题,其实,很多实际问题都可以应用一元二次方程来解决。 2、例题讲析: (1)小岛D和小岛F相距多少海里? (2)已知军舰的速度是补给船的2倍,军舰在由B到C的途中与补给船相遇于E处,那么相遇时补给船航行了多少海里? (结果精确到0.1海里) 解: (1)连接DF,则DF⊥BC, ∵AB⊥BC,AB=BC=200海里 ∴AC= AB=200 海里,∠C=45° ∴CD= AC=100 海里DF=CF, DF=CD ∴DF=CF= CD= ×100 =100海里 所以,小岛D和小岛F相距100海里。 (2)设相遇时补给船航行了x海里,那么DE=x海里,AB+BE=2x海里 EF=AB+BC―(AB+BE)―CF=(300―2x)海里 在Rt△DEF中,根据勾股定理可得方程: x2=1002+(300-2x)2 整理得,3x2-1200x+100000=0 解这个方程,得: x1=200- ≈118.4 x2=
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- 北师大 九年级 上册 数学教案