算法论文分治法和分支限界.docx
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算法论文分治法和分支限界
成绩评定表
学生
xx
班级学号
xx
专业
信息与计算科学
课程设计题目
1.分治法解决最近距离问题2.分支限界解决旅行商售货员问题
评
语
组长签字:
成绩
日期
20年月日
课程设计任务书
学院
理学院
专业
信息与计算科学
学生
xx
班级学号
xx
课程设计题目
1.分治法解决最近距离问题2.分支限界解决旅行商售货员问题
实践教学要求与任务:
1、巩固和加深对计算机算法分析与设计基本知识的理解。
2、初步掌握简单软件的分析方法和设计方法。
3、了解与课程有关的工程技术规,能正确解释和分析设计结果。
4、具体任务
(1)分治法解决最近距离问题
(2)分支限界解决旅行商售货员问题
工作计划与进度安排:
第一天查阅资相关料;第二、三天程序设计;
第四天程序调试;第五天答辩
指导教师:
201年月日
专业负责人:
201年月日
学院教学副院长:
201年月日
摘要
计算效率是一个古老的研究课题。
科学技术的发展使得计算日趋复杂,计算量越来越大,许多理论上可计算的问题,常常由于其计算量巨大布变成了现实不可计算的问题,这就产生了理论可计算而现实不可计算的矛盾,而算法设计与分析的任务就是对各类具体的问题设计高质量的算法,以及研究设计算法的一般规律和方法。
常用的算法设计方法主要有分治法、动态规划、贪婪法和回溯法等。
问题一:
运用分治法对多点最近距离问题进行算法设计,把问题分解为不是相互独立的子问题,计算保存子问题的答案,从而再求重复子问题时可以直接找到答案。
通过反复应用分治手段,可以使子问题与原问题类型一致而其规模却不断缩小,最终使子问题缩小到很容易直接求出其解。
问题二:
运用分支限界对旅行商售货员问题进行算法设计,求解目标则是找出满足约束条件的一个解,或是在满足约束条件的解中找出在某种意义下的最优解。
)分支限界法首先确定一个合理的限界函数,并根据限界函数确定目标函数的界;然后按照广度优先策略遍历问题的解空间树,在某一分支上,依次搜索该结点的所有孩子结点,分别估算这些孩子结点的目标函数的可能取值(对最小化问题,估算结点的下界,对最大化问题,估算结点的上界)。
如果某孩子结点的目标函数值超出目标函数的界,则将其丢弃(从此结点生成的解不会比目前已得的更好),否则入待处理。
关键词:
算法设计与分析;分支限界法;分治法
1分治法解决最近距离问题
1.1问题描述
已知集合S中有n个点,分治法的思想就是将S进行拆分,分为2部分求最近点对。
算法每次选择一条垂线L,将S拆分左右两部分为SL和SR,L一般取点集S中所有点的中间点的x坐标来划分,这样可以保证SL和SR中的点数目各为n/2,(否则以其他方式划分S,有可能导致SL和SR中点数目一个为1,一个为n-1,不利于算法效率,要尽量保持树的平衡性)
依次找出这两部分中的最小点对距离:
δL和δR,记SL和SR中最小点对距离δ=min(δL,δR),如图1.1:
图1.1
以L为中心,δ为半径划分一个长带,最小点对还有可能存在于SL和SR的交界处,如图1.1中的虚线带,p点和q点分别位于SL和SR的虚线围,在这个围,p点和q点之间的距离才会小于δ,最小点对计算才有意义。
1.2算法设计
分治法的设计思想是,将一个难以直接解决的大问题,分割成一些规模较小的相同问题,以便各个击破,分而治之。
分治策略是:
对于一个规模为n的问题,若该问题可以容易地解决(比如说规模n较小)则直接解决,否则将其分解为k个规模较小的子问题,这些子问题互相独立且与原问题形式相同,递归地解这些子问题,然后将各子问题的解合并得到原问题的解。
这种算法设计策略叫做分治法。
如果原问题可分割成k个子问题,1 由分治法产生的子问题往往是原问题的较小模式,这就为使用递归技术提供了方便。 在这种情况下,反复应用分治手段,可以使子问题与原问题类型一致而其规模却不断缩小,最终使子问题缩小到很容易直接求出其解。 这自然导致递归过程的产生。 分治与递归像一对孪生兄弟,经常同时应用在算法设计之中,并由此产生许多高效算法。 分治法在每一层递归上都有三个步骤: 分解: 将原问题分解为若干个规模较小,相互独立,与原问题形式相同的子问题; 解决: 若子问题规模较小而容易被解决则直接解,否则递归地解各个子问题; 合并: 将各个子问题的解合并为原问题的解。 分治法所能解决的问题一般具有以下几个特征: 1)该问题的规模缩小到一定的程度就可以容易地解决 2)该问题可以分解为若干个规模较小的相同问题,即该问题具有最优子结构性质。 3)利用该问题分解出的子问题的解可以合并为该问题的解; 4)该问题所分解出的各个子问题是相互独立的,即子问题之间不包含公共的子子问题。 第一条特征是绝大多数问题都可以满足的,因为问题的计算复杂性一般是随着问题规模的增加而增加;第二条特征是应用分治法的前提它也是大多数问题可以满足的,此特征反映了递归思想的应用;第三条特征是关键,能否利用分治法完全取决于问题是否具有第三条特征,如果具备了第一条和第二条特征,而不具备第三条特征,则可以考虑用贪心法或动态规划法。 第四条特征涉及到分治法的效率,如果各子问题是不独立的则分治法要做许多不必要的工作,重复地解公共的子问题,此时虽然可用分治法,但一般用动态规划法较好。 算法的时间复杂度: 首先对点集S的点x坐标和y坐标进行升序排序,需要循环2nlogn次,复杂度为O(2nlogn) 接下来在分治过程中,对于每个S'yL中的点,都需要与S'yR中的6个点进行比较 O(n)=2O(n/2)+(n/2)*6(一个点集划分为左右两个点集,时间复杂度为左右两个点集加上中间区域运算之和)
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- 关 键 词:
- 算法 论文 分治 分支 限界