学年人教版必修2 第五章 第4节 圆周运动 学案.docx
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学年人教版必修2第五章第4节圆周运动学案
一、线速度┄┄┄┄┄┄┄┄①
1.圆周运动:
物体沿着圆周的运动,即物体运动的轨迹是圆。
2.线速度
(1)定义:
物体做圆周运动通过的弧长Δs与通过这段弧长所用时间Δt的比值。
(2)定义式:
v=
。
(3)单位:
m/s。
(4)矢标性:
线速度是矢量,其方向和半径垂直,和圆弧相切。
(5)物理意义:
描述圆周运动的物体通过弧长快慢的物理量。
3.匀速圆周运动
(1)定义:
沿着圆周运动,并且线速度的大小处处相等的运动。
(2)性质:
线速度的方向是时刻变化的,所以是一种变速运动。
[说明]
匀速圆周运动是最简单的圆周运动形式,是一种重要的曲线运动模型。
匀速圆周运动是一种理想化的运动形式,许多物体的运动接近于这种运动(如钟表),具有一定的实际意义。
一般的圆周运动,也可以取一段较短的时间(或弧长)进行研究,则此时可将其看成匀速圆周运动。
①[判一判]
1.匀速圆周运动是一种匀速运动,这里的“匀速”是指线速度不变(×)
2.做匀速圆周运动的物体,其所受合力一定不为零(√)
3.做匀速圆周运动的物体,绕圆周运动一周,平均速度为零,线速度也为零(×)
4.做匀速圆周运动的物体相等时间内通过的位移相同(×)
二、角速度┄┄┄┄┄┄┄┄②
1.定义:
连接运动物体和圆心的半径转过的角度Δθ跟所用时间Δt的比值叫圆周运动的角速度,用符号ω来表示。
2.定义式:
ω=
。
3.国际单位:
弧度/秒,符号rad/s。
4.矢标性:
角速度是矢量。
匀速圆周运动的角速度大小和方向都不变,因此匀速圆周运动是角速度不变的运动。
5.物理意义:
用来描述物体沿圆心转动快慢的物理量。
②[判一判]
1.做匀速圆周运动的物体转过的角度越大,其角速度就越大(×)
2.当半径一定时,线速度与角速度成正比(√)
3.在描述圆周运动快慢的物理量中,线速度是矢量,周期、频率、转速是标量(√)
三、转速与周期┄┄┄┄┄┄┄┄③
1.转速:
转速是指物体单位时间所转过的圈数。
常用符号n表示,单位是转每秒(r/s),或转每分(r/min)。
2.周期:
做匀速圆周运动的物体,转过一周所用的时间叫做周期。
用T表示,单位是秒(s)。
③[填一填]
若钟表的指针都做匀速圆周运动,秒针的周期是________,分针的周期是________,秒针和分针的角速度之比是________。
解析:
秒针的周期T秒=1min=60s,分针的周期T分=1h=3600s。
由ω=
得
=
。
答案:
60s 3600s 60∶1
四、线速度与角速度的关系┄┄┄┄┄┄┄┄④
在圆周运动中,v=ωr,即线速度的大小等于角速度大小与半径的乘积。
[注意]
(1)线速度和角速度都是描述物体做匀速圆周运动快慢的物理量,线速度侧重于描述物体通过弧长快慢的程度,而角速度侧重于描述物体转过圆心角的快慢程度。
它们都有一定的局限性,其中任何一个物理量(v或ω)都无法全面准确地反映做匀速圆周运动的物体的运动状态。
(2)角速度是矢量,其方向在中学阶段不做讨论。
(3)注意区别角速度的单位rad/s和转速的单位r/s,分别表示每秒转过的角度和圈数。
④[选一选]
关于做匀速圆周运动的物体的线速度、角速度、周期的关系,下面说法中正确的是( )
A.线速度大的角速度一定大
B.线速度大的周期一定小
C.角速度大的半径一定小
D.角速度大的周期一定小
解析:
选D 由v=ωr知,ω=
,角速度与线速度、半径两个因素有关,线速度大的角速度不一定大,A错误;同样,r=
,半径与线速度、角速度两个因素有关,角速度大的半径不一定小,C错误;由T=
知,周期与半径、线速度两个因素有关,线速度大的周期不一定小,B错误;而由T=
可知,ω越大,T越小,D正确。
1.线速度v与角速度ω的关系
(1)关系式:
v=ωr。
(2)理解:
①当半径一定时,线速度的大小与角速度成正比,如图甲所示;
②当角速度一定时,线速度的大小与半径成正比,如图乙所示;
③当线速度一定时,半径与角速度成反比,如图丙、丁所示。
2.线速度v与周期T的关系
因为做匀速圆周运动的物体,在一个周期内通过的弧长为2πr,所以有v=
。
这表明,当半径相同时,周期小的线速度大;当半径不同时,周期小的线速度不一定大,所以周期与线速度描述的快慢是不一样的。
3.角速度ω与周期T的关系
因为做匀速圆周运动的物体,在一个周期内沿半径转过的角度为2π,所以有ω=
。
这表明,角速度与周期一定成反比,周期大的角速度一定小。
4.频率f与角速度ω、线速度v的关系
ω=2πf,v=2πfr。
5.频率f与转速n的关系
f=n(n的单位必须用r/s或r/min)。
6.角速度ω与转速n的关系
做圆周运动的物体每转过一圈转过的角度为2π,所以ω=2πn(n的单位r/s)。
综上所述,圆周运动物理量之间关系描述如图
7.特别提醒
(1)角速度ω、线速度v、半径r之间的关系是瞬时对应关系。
(2)公式v=ωr适用于所有的圆周运动;关系式T∝
适用于具有周期性运动的情况。
[典型例题]
例1.做匀速圆周运动的物体,在10s内沿半径为20m的圆周运动了100m,试求该物体做匀速圆周运动时:
(1)线速度的大小;
(2)角速度的大小;
(3)周期的大小。
[解析]
(1)由线速度的定义式得
v=
=
m/s=10m/s
(2)由v=ωr得
ω=
=
rad/s=0.5rad/s
(3)由ω=
得T=
=
s=4πs
[答案]
(1)10m/s
(2)0.5rad/s
(3)4πs
[点评]
(1)线速度与角速度关系的理解:
由v=ωr知,r一定时,v∝ω;v一定时,ω∝
;ω一定时,v∝r。
(2)角速度、周期、转速之间关系的理解:
物体做匀速圆周运动时,由ω=
=2πn知,角速度、周期、转速三个物理量,只要其中一个物理量确定了,其余两个物理量也唯一确定了。
[即时巩固]
1.[多选](2016·宜兴月考)质点做匀速圆周运动时,下列说法中正确的是( )
A.因为v=ωR,所以线速度v与轨道半径R成正比
B.因为ω=
,所以角速度ω与轨道半径R成反比
C.因为ω=2πn,所以角速度ω与转速n成正比
D.因为ω=
,所以角速度ω与周期T成反比
解析:
选CD ω一定时,线速度v与轨道半径R成正比,A错误;v一定时,角速度ω与轨道半径R成反比,B错误;在用转速或周期表示角速度时,角速度与转速成正比,与周期成反比,C、D正确。
1.同轴传动
(1)装置:
A、B两点在同轴的一个圆盘上。
(2)特点:
角速度、周期相同。
(3)A、B两点转动方向:
相同。
(4)规律:
线速度与半径成正比,即
=
。
2.皮带传动
(1)装置:
两个轮子用皮带连接,A、B两点分别是两个轮子边缘的点。
(2)特点:
线速度相同。
(3)A、B两点转动方向:
相同(若皮带铰接,两个轮子的转动方向也可以相反)。
(4)规律:
角速度与半径成反比,即
=
;周期与半径成正比,即
=
。
3.齿轮传动
(1)装置:
两个齿轮轮齿咬合,A、B两点分别是两个齿轮边缘上的点。
(2)特点:
线速度相同。
(3)A、B两点转动方向:
相反。
(4)规律:
角速度与半径成反比,即
=
;周期与半径成正比,即
=
。
[典型例题]
例2.(2016·衡阳高一检测)如图所示的传动装置中,B、C两轮固定在一起同轴转动,A、B两轮用皮带传动,三个轮的半径关系是rA=rC=2rB。
若皮带不打滑,求A、B、C三轮边缘上a、b、c三点的角速度之比和线速度之比。
[解析] A、B两轮通过皮带传动,皮带不打滑,则A、B两轮边缘的线速度大小相等
即va=vb或va∶vb=1∶1①
由v=ωr得ωa∶ωb=rB∶rA=1∶2②
B、C两轮固定在一起同轴转动,则B、C两轮的角速度相等,
即ωb=ωc或ωb∶ωc=1∶1③
由v=ωr得vb∶vc=rB∶rC=1∶2④
由②③得ωa∶ωb∶ωc=1∶2∶2
由①④得va∶vb∶vc=1∶1∶2
[答案] 1∶2∶2 1∶1∶2
[点评] 传动装置的特点
在处理传动装置中各物理量间的关系时,关键是确定其相同的量。
(1)同轴传动的物体上各点的角速度、转速和周期相等,但在同一轮上半径不同的各点线速度不同。
(2)皮带传动(皮带不打滑)中与皮带接触的两轮边缘上各点(或咬合的齿轮边缘的各点)的线速度大小相同,角速度与半径有关。
[即时巩固]
2.某变速箱中有甲、乙、丙三个齿轮(轮齿未画出),如图所示,三个轮子依靠摩擦传动,相互之间不打滑,其半径分别为r1、r2、r3。
若甲轮的角速度为ω1,则丙轮的角速度为( )
A.
B.
C.
D.
解析:
选A 本题中的三个轮组成的是齿轮传动模型,则三个轮边缘的线速度相等,由线速度、角速度关系v=ωr得ω=
,那么丙轮的角速度ω3=
=
=
。
1.题型特点
匀速圆周运动的多解问题常涉及两个物体的两种不同运动,其中一个物体为匀速圆周运动,另一个为其他运动形式。
2.一个桥梁
由于两个运动同时进行,依据两物体运动的等时性建立两物体的关系,是解答本类题的基本思路。
[典型例题]
例3.(2016·长治高一检测)如图所示,半径为R的圆盘绕垂直于盘面的中心轴匀速转动,在其正上方h处沿半径OB方向水平抛出一小球与圆盘只碰一次,且落点恰好为圆盘边缘上的B点,求小球的初速度v的大小及圆盘转动的角速度ω的大小(重力加速度为g)。
[解析] 小球做平抛运动,竖直方向有h=
gt2,则运动时间t=
又因为其水平方向的位移为R,所以小球的初速度
v=
=R
设在时间t内,圆盘转过了n周,则转过的角度θ=n·2π(n=1,2,3,……)
又因为θ=ωt
故圆盘转动的角速度ω=
=2nπ
(n=1,2,3,……)
[答案] R
2nπ
(n=1,2,3,……)
[点评]
本题要注意两物体运动的等时性和圆周运动的周期性,解题中对n的表述可写成(n=1,2,3,……)。
[即时巩固]
3.(2016·揭阳高一检测)如图所示,直径为d的纸制圆筒以角速度ω绕垂直于纸面的轴O匀速转动。
从枪口发射的子弹沿直径穿过圆筒,在圆周上留下a、b两个弹孔,已知aO与bO夹角为φ,求子弹的速度。
解析:
设子弹速度为v,子弹通过的位移为d,所以子弹穿过圆筒的时间为t=
此时间内圆筒转过的角度
Δφ=2nπ+(π-φ)=(2n+1)π-φ(n=0,1,2,……)
又因为ω=
所以子弹的速度v=
(n=0,1,2,……)
答案:
(n=0,1,2,……)
1.[多选]做匀速圆周运动的物体,下列物理量中不变的是( )
A.速度B.速率
C.角速度D.转速
解析:
选BCD 速度是矢量,匀速圆周运动的速度方向不断改变;速率、转速都是标量,匀速圆周运动的速率、转速不变;角速度也是矢量,但匀速圆周运动的角速度方向不变,B、C、D正确。
2.甲、乙两物体分别做匀速圆周运动,如果它们转动的半径之比为1∶5,线速度之比为3∶2,则下列说法正确的是( )
A.甲、乙两物体的角速度之比是2∶15
B.甲、乙两物体的角速度之比是10∶3
C.甲、乙两物体的周期之比是2∶15
D.甲、乙两物体的周期之比是10∶3
解析:
选C 由v=ωr得
=
∶
=
·
=
×
=
,A、B错误;由ω=
得
=
=
,C正确,D错误。
3.甲沿着半径为R的圆周跑道匀速跑步,乙沿着半径为2R的圆周跑道匀速跑步,在相同的时间内,
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