考点01集合与常用逻辑用语 届高三《新题速递数学理》刊适用于高考复习解析版.docx
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考点01集合与常用逻辑用语 届高三《新题速递数学理》刊适用于高考复习解析版.docx
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考点01集合与常用逻辑用语届高三《新题速递数学理》刊适用于高考复习解析版
考点01集合与常用逻辑用语
1.(2020·浙江椒江台州一中高三期中)设a、b∈R,命题p:
a>b,命题q:
aa>bb,则p是q的()
A.充分不必要条件B.必要不充分条件
C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件
【答案】C
【解析】构造函数f(x)=xx,该函数的定义域为R,且f(-x)=-x-x=-xx=-f(x),所以,函数f(x)=xx为奇函数,
当x≥0时,f(x)=x2,则函数y=f(x)在区间[0,+∞)上为增函数,
由于该函数为奇函数,则该函数在区间(-∞,0]上也为增函数,
又函数f(x)=xx在R上连续,所以,该函数在R上为增函数.
则a>b⇔
f(a)>f(b),即a>b⇔aa>bb.
因此,p是q的充分必要条件.故选:
C.
2.(2020·广东肇庆高三三模(理))如图,正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1,P为AA1的中点,M在侧面AA1B1B上,有下列四个命题:
①若D1M⊥CP,则∆BCM面积的最小值为5;
10
②平面A1BD内存在与D1C1平行的直线;
③过A作平面α,使得棱AD,AA1,D1C1在平面α的正投影的长度相等,则这样的平面α有4个;
④过A作面β与面A1BD平行,则正方体ABCD-A1B1C1D1在面β的正投影面积为.
则上述四个命题中,真命题的个数为()
设M(1,a,b),则DM=(1,a,b-1),CP=(1,-1,1),
12
∵D1M⊥CP,
∴DM⋅CP=1-a+1b-1=0,解得2a-b=1,
122
∴CH=1-a,MG=b=2a-1,
MH==
=,
∴S∆BCM
=1⨯BC⨯MH=1⋅1⋅
22
=1⋅
2
≥1⋅=
2
5,
10
当a=3时,(S
5
∆BCM
)min
=5,①正确;
10
对于D1C1//DC,DC平面A1BD=D,所以D1C1也与平面A1BD相交.故②错;
③过A作平面α,使得棱AD,AA1,D1C1在平面α的正投影的长度相等,因为D1C1//AB,且D1C1=AB,
故D1C1在平面α的正投影的长度等于AB在平面α的正投影的长度,使得棱AD,AA1,D1C1在平面α的正投影的长度相等,即使得使得棱AD,AA1,AB面α的正投影的长度相等,若棱AD,AA1,AB面α的同侧,则α为过A且与平面A1BD平行的平面,若棱AD,AA1,AB中有一条棱和另外两条棱分别在
平面α的异侧,则这样的平面α有3个,故满足使得棱AD,AA1,D1C1在平面α的正投影的长度相等的平面α有4个;③正确.
④过A作面β与面A1BD平行,则正方体ABCD-A1B1C1D1在面β的正投影为一个正六边形,其中AC1⊥平面β,而AC1分别垂直于正三角形A1BD和CB1D1,所以根据对称性,正方体的8个顶点中,AC1在平面β内的投影点重合与正六边形的中心,其它六个顶点投影恰是正六边形的六个顶点,且正六边形的边长等于正三角形A1BD的外接圆半径(投影线与正三角形A1BD、CB1D1垂直),所以正六边形的边长为
2633
⎛6⎫2
a=÷sin60︒=,所以投影的面积为6⨯⨯a2=6⨯⨯ç⎪=
3.④对.
2344
⎝3⎭
故选C.
3.(2020·河北辛集中学高三月考(理))已知命题p:
方程x2+ax-1=0有两个实数根;命题q:
函数
f(x)=sinx+
4
sinx
,x∈(0,π)的最小值为4.给出下列命题:
①p∧q;②p∨q;③p∧⌝q;④
⌝p∨⌝q.则其中真命题的个数为()
A.1B.2C.3D.4
【答案】C
【解析】对于命题p,∆=a2+4>0,则方程x2+ax-1=0有两个实数根,命题p为真命题;
对于命题q,当0 t y=1+4=5,所以,函数f(x)=sinx+4在x∈(0,π)上的最小值为5,命题q为假命题,因此, min1 sinx p∨q、p∧⌝q、⌝p∨⌝q为真命题,p∧q为假命题,则真命题的个数为3,故选C. ⎪⎧⎛1⎫x1⎫⎪ 4.(2020·辽宁高三三模(理))设全集U=R,集合A={x|(x-1)(x-3)≥0},B=⎨x|ç2⎪>4⎬.则 集合(ðUA) B等于() ⎩⎪⎝⎭⎪⎭ A.(1,2)B.(2,3]C.(1,3)D.(2,3) 【答案】A 【解析】因为A={x|x≥3或x≤1}.所以ðA={x|1 所以(ðUA)⋂B={x|1 故选: A. 5.(2020·湖南高三其他(理))已知集合A={xx2-5x<-4},集合B={xx≤0},则A (ðRB)=() A.(-1,0) B.(-1,4) C.(1,4) D.(0,4) 【答案】C 【解析】A={x|x2-5x+4<0}={x|1 B={x|≤0},ðRB={x|x>0}, A(ðRB)={x|1 故选: C 6.(2020·安徽高三其他(理))设集合U={0,1,2,3,4},A={0,1,2,3},B={1,2,4},则A⋂(ðUB)=() A.{0,3}B.{1,3}C.{1}D.{0} 【答案】A 【解析】因为集合U={0,1,2,3,4},A={0,1,2,3},B={1,2,4},所以ðUB={0,3}, 故A⋂(ðUB)={0,3},故选: A. 7.(2020·浙江吴兴湖州中学高三其他)若a,b>0,则“a>b”是“a3+b3>a2b+ab2”的() A.充分非必要条件B.必要非充分条件 C.充分且必要条件D.既非充分也非必要条件 【答案】A 【解析】 试题分析: a3+b3>a2b+ab2=a3+b3-a2b-ab2=a2(a-b)+b2(b-a)=(a-b)2(a+b),显然由“a>b”可以得出“a3+b3>a2b+ab2”,反之由“a3+b3>a2b+ab2”,不一定有“a>b”,所以“a>b”是“a3+b3>a2b+ab2”的充分非必要条件. 8.(2020·福建高三其他(理))已知集合A={xy=lg(x2+4x-12},B={x|-3 () A.(-3,-2) B.(-3,2) C.(2,4)D.(-2,4) 【答案】C 【解析】由x2+4x-12>0⇒(x+6)(x-2)>0,所以x<-6或x>2则集合A={xx<-6或x>2},又B={x|-3 所以A⋂B=(2,4)故选: C 9.(2020·浙江省兰溪市第三中学高三开学考试)设a>0,b>0,则“lg(ab)>0”是“lg(a+b)>0”的() A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】因为lg(ab)>0,所以ab>1,a>0,b>0,显然a,b中至少有一个大于1,如果都小于等于1,根据不等式的性质可知: 乘积也小于等于1,与乘积大于1不符. 由lg(a+b)>0,可得a+b>1,a,b与1的关系不确定,显然由“lg(ab)>0”可以推出lg(a+b)>0, 但是由lg(a+b)>0推不出lg(ab)>0,当然可以举特例: 如a=b=2,符合a+b>1,但是不符合ab>1, 3 因此“lg(ab)>0”是“lg(a+b)>0”的充分不必要条件,故本题选A. 10.(2020·河南高三其他(理))若集合M={x|x2-11x+24<0},N=⎧x|x-1≤0⎫,则MN=() ⎨x-7⎬ ⎩⎭ A.(1,8)B.[1,8)C.(3,7]D.(3,7) 【答案】D 【解析】因为M={xx2-11x+24<0}={x|3 ⎨x-7⎬ ⎩⎭ M⋂N={x|3 故选: D. 11.(2020·黑龙江香坊�哈尔滨市第六中学校高三三模(理))设集合A={x|y=x2-3x≤0}, B={x|y=3x>1},则AB=() A.(0,3]B.[0,+∞) C.{x0 D.(0,+∞) 【答案】B 【解析】因为A={x|y=x2-3x≤0}={x|0≤x≤3},B={x|y=3x>1}={x|x>0},所以 A⋃B={x|x≥0}. 故选: B. 12.(2020·北京西城北师大二附中高三期中)已知全集U=𝑅,集合𝐴={0,1,2,3,4,5},𝐵={𝑥∈𝑅|𝑥≥3},则𝐴∩𝐶𝐵=() U A.{4,5}B.{3,4,5}C.{0,1,2}D.{0,1,2,3} 【答案】C 【解析】根据题意得𝐶𝑈𝐵={𝑥|𝑥<3},故𝐴∩𝐶𝑈𝐵={0,1,2},答案选C. 13.(2020·四川省绵阳南山中学高三月考(文))设命题p: 2x<2,命题q: x2<1,则p是q成立的() A.充分不必要条件B.必要不充分条件 C.充要条件D.既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】 解不等式2x<2,得x<1,解不等式x2<1,得-1 x<1,q: -1 故选: B. 14.(2020·内蒙古青山北重三中高三其他(理))若集合𝐴={𝑥∈𝑁||𝑥−1|≤1},𝐵={𝑥|𝑦=√1−𝑥2},则𝐴∩𝐵的真子集的个数为() A.3B.4C.7D.8 【答案】A 【解析】𝐴={𝑥∈𝑁||𝑥−1|≤1}={0,1,2},𝐵={𝑥|𝑦=√1−𝑥2}=[−1,1], 𝐴∩𝐵={0,1},所以𝐴∩𝐵的真子集的个数为22−1=3,故选A。 15.(2020·浙江高三其他)已知全集U={-1,0,1,2,3,4},集合A={x∈N|x2-4x+3≤0},集合 B={x∈N+|y=-x2+x+2},则CU(AB)=() A.{-1,0,1,2,3}B.{-1,0,4}C.{4}D.{-1,0,3,4} 【答案】B 【解析】x2-4x+3≤0⇒(x-1)(x-3)≤0⇒1≤x≤3 所以A={x∈N|x2-4x+3≤0}={1,2,3} -x2+x+2≥0⇒x2-x-2≤0⇒(x-2)(x+1)≤0⇒-1≤x≤2 所以B={x∈N+|y=-x2+x+2}={1,2}所以AB={1,2,3} 所以CU(AB)={-1,0,4}故选: B 16.(浙江高考真题(文))设四边形 的两条对角线为 、 ,则“四边形 为菱形”是 “ ”的() A.充分不必要条件B.必要不成分条件 C.充要条件D.既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 试题分析: 若四边形为菱形,则对角线;反之若,则四边形为正方形或菱形或等腰梯形,故“四边形为菱形”是“”的充分不必要条件,选A. 17.(2020·衡水中学高三其他(理))已知集合A={xx≤1},B=⎧⎪xy= 1⎫⎪ ,则AB=() A.(-2,1] B.[-2,1] C.(-∞,-2) ⎪⎨4-x2⎬⎪ D.(-∞,-2] 【答案】A 【解析】由题意知B={x-2 18.(2020·哈尔滨市第一中学校高三一模(理))已知命题p: 棱锥的侧棱长与底面多边形的边长相等,则此棱锥可能是六棱锥;命题q: 棱柱的所有的侧面都是长方形或正方形,下列命题为真命题的是() A.p∧q B. ⌝p∧q C. p∧⌝q D. ⌝p∧⌝q 【答案】D 【解析】对于命题p,因为棱锥的侧棱长与底面多边形的边长相等,故棱锥的侧面为等边三角形,如果该棱锥是六棱锥,则六个侧面顶角的和为360︒,但六棱锥的侧面的顶角和小于360︒, 矛盾,故p为假命题. 对于命题q,斜棱柱有侧面不是长方形,故命题q为假命题.故⌝p∧⌝q为真命题. 故选: D. 19.(2020·浙江海曙效实中学高三其他)下列说法正确的是() x2y2 2⎛0,1⎫ A.椭圆+ 48 =1的长轴长是4B.抛物线y=2x 的焦坐标是ç2⎪ ⎝⎭ C.“若x+y>0,则x>0且y>0”的否命题是真命题D.已知x∈R,y∈R,则“x<2且y<2” 是“x+y+x-y<4”的必要不充分条件 【答案】C x2 【解析】对于选项A,根据椭圆的性质,可知 4 + y2 8 =1的长轴长是42,故选项A错误; 对于选项B,抛物线y=2x2的焦坐标是⎛0,1⎫,故选项B错误; ç8⎪ ⎝⎭ 对于选项C,“若x+y>0,则x>0且y>0”的否命题是“若x+y≤0,则x≤0或y≤0”真命题正确,故选项C正确; 对于选项D,若 x<2且y<2,当(x+y)(x-y)≥0时,x+y+x-y =(x+y)+(x-y)=2x<4; 当(x+y)(x-y)<0时,x+y+x-y=(x+y)-(x-y)=2y<4. 若x+y+x-y<4,则 2x=(x+y)+(x-y)= x+y+x-y<4,则x<2; 2y=(x+y)-(x-y)= x+y+x-y<4,则y<2;故“x<2且y<2”是“x+y+x-y<4”的 充要条件,故选项D错误;故选: C. 20.(2020·河南高三其他(理))下列命题为真命题的个数是() ①∀x∈{xx是无理数},x2是无理数; ②若a⋅b=0,则a=0或b=0; ③命题“若x2+y2=0,x∈R,y∈R,则x=y=0”的逆否命题为真命题; ex-e-x ④函数fx=是偶函数. x A.1B.2C.3D.4 【答案】B 【解析】对于①中,当x= 2时,x2=2为有理数,故①错误; 对于②中,若a⋅b=0,可以有a⊥b,不一定要a=0或b=0,故②错误;对于③中,命题“若x2+y2=0,x∈R,y∈R,则x=y=0”为真命题,其逆否命题为真命题,故③正确; 对于④中,f(-x)= e-x-ex -x =ex-e-x x =f(x), 且函数的定义域是(-∞,0)(0,+∞),定义域关于原点对称, ex-e-x 所以函数fx=是偶函数,故④正确. x 综上,真命题的个数是2. 故选: B. 二、填空题 21.(2020·上海市建平中学高三三模)已知集合A={x|log2 . 【答案】(0,1) x<1},B={x|x-1<0},则A x+2 因为log2x<1,所以0 又因为x-1<0,所以(x-1)(x+2)<0,所以B=(-2,1), x+2 则AB=(0,1). 故答案为(0,1). 22.(2020·宝山上海交大附中高三月考)设全集U={1,3,5,7},集合M={1,a-5},M⊆U,ðUM={5,7},则实数a的值是. 【答案】8或2 【解析】 因为U={1,3,5,7},M⊆U,ðUM={5,7},所以M={1,3},又M={1,a-5},所以a-5=3,所以a=8或2. 故答案为: 8或2. 23.(2020·江苏省如皋中学高三月考)命题: “∀x∈(0,+∞),x2+x+1>0”的否定是. 【答案】∃x∈(0,+∞),x2+x+1≤0 【解析】 因为全称命题的否定是特称命题,所以,命题“∀x∈(0,+∞),x2+x+1>0”的否定是“∃x∈(0,+∞), x2+x+1≤0”. 故答案为: ∃x∈(0,+∞),x2+x+1≤0. 24.(2020·江苏泰兴高三期中(理))命题P: “若ac=b,则a、b、c成等比数列”,则命题P的否命题是(填“真”或“假”之一)命题. 【答案】假 【解析】 试题分析: 命题P的否命题是“若ac≠b,则a、b、c不成等比数列”,是假命题,如a=c=1,b=-1满 足≠b,但a、b、c成等比数列 25.(2020·江苏扬州高三三模)已知曲线C: f(x)=x3-x,直线l: y=ax-a,则“a=-1”是“直线l 4 与曲线C相切”的条件(选填“充分不必要”、“必要不充分”、“充分必要”、“既不充分又不必要”之一). 【答案】充分不必要 【解析】f'(x)=3x2-1,直线l: y=ax-a过点(1,0),曲线C也过点(1,0),若直线l与曲线C相切,设切点的横坐标为x0, 则切线为y=(3x2-1)x-2x3, ⎧x=-1 ⎧3x2-1=a ⎧x=1⎪02 则⎨0 ,解得⎨0或⎨, ⎩2x3=a ⎩a=2 ⎪a=-1 ⎩⎪4 所以“a=-1”是“直线l与曲线C相切”的充分不必要条件, 4 故答案为: 充分不必要 26.(2020·安徽蚌埠高三三模(理))已知命题p: ∃x∈R,使得cos2x+sinx+1>m,若命题p是假命题,则实数m的取值范围是. 【答案】⎡9,+∞⎫ ⎢⎣4⎪ 【解析】因为命题p是假命题,所以非p: 对∀x∈R,m≥cos2x+sinx+1恒成立为真命题,设y=cos2x+sinx+1,则m≥ymax, 因为y=-sin2x+sinx+2=-(sinx-1)2+9,且-1≤sinx≤1, 24 所以当sinx=1时,y取得最大值9, 24 所以m≥9. 4 故答案为: ⎡9,+∞⎫ ⎢⎣4⎪ 27.(2020·无锡市第一中学高三月考)已知命题“∃x∈R,x2-ax+1<0”为假命题,则实数a的取值范围是 【答案】[-2,2] 【解析】 命题“∃x∈R,x2-ax+1<0”为假命题,则“∀x∈R,x2-
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