浙教版九年级下册数学期末高效复习 专题3 圆的基本性质解析版.docx
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浙教版九年级下册数学期末高效复习专题3圆的基本性质解析版
期末高效复习
专题3 圆的基本性质
题型一 点与圆的位置关系
例1 [2019·大冶校级月考]若⊙O的半径为5cm,平面上有一点A,OA=6cm,那么点A与⊙O的位置关系是( A )
A.点A在⊙O外B.点A在⊙O上
C.点A在⊙O内D.不能确定
【解析】∵⊙O的半径为5cm,OA=6cm,∴d>r,∴点A与⊙O的位置关系是点A在⊙O外.
变式跟进
1.[2019·宜昌]在公园的O处附近有E,F,G,H四棵树,位置如图1所示(图中小正方形的边长均相等).现计划修建一座以O为圆心,OA为半径的圆形水池,要求池中不留树木,则E,F,G,H四棵树中需要被移除的为( A )
图1
A.E,F,GB.F,G,H
C.G,H,ED.H,E,F
【解析】∵OA==,∴OE=2<OA,∴点E在⊙O内;OF=2<OA,∴点F在⊙O内;OG=1<OA,∴点G在⊙O内;OH==2>OA,∴点H在⊙O外.
题型二 垂径定理及其推论
例2 如图2,⊙O的直径CD=10,弦AB=8,AB⊥CD,垂足为M,则DM的长为( D )
A.5 B.6C.7D.8
图2 例2答图
【解析】连结OA,如答图所示.
∵⊙O的直径CD=10,∴OA=5,
∵弦AB=8,AB⊥CD,∴AM=AB=×8=4,
在Rt△AOM中,OM=
==3,
∴DM=OD+OM=5+3=8.
【点悟】 已知直径与弦垂直的问题中,常连半径构造直角三角形,其中斜边为圆的半径,两直角边是弦长的一半和圆心到弦的距离,从而运用勾股定理来计算.
变式跟进
2.如图3,AB为⊙O的直径,弦CD⊥AB于点E,若CD=8,且AE∶BE=1∶4,则AB的长度为( A )
A.10 B.5C.12D.
图3 第2题答图
【解析】如答图,连结OC,设AE=x,∵AE∶BE=1∶4,∴BE=4x,∴OC=2.5x,∴OE=1.5x,∵CD⊥AB,∴CE=DE=CD=4,Rt△OCE中,OE2+CE2=OC2,∴(1.5x)2+42=(2.5x)2,∴x=2,∴AB=10.
3.有一座弧形的拱桥如图4,桥下水面的宽度AB为7.2m,拱顶与水面的距离CD的长为2.4m,现有一艘宽3m,船舱顶部为长方形并且高出水面2m的货船要经过这里,此货船能顺利通过这座拱桥吗?
图4第3题答图
解:
如答图,连结ON,OB.
∵OC⊥AB,∴D为AB中点,
∵AB=7.2m,∴BD=AB=3.6m.
又∵CD=2.4m,
∴设OB=OC=ON=r,则OD=(r-2.4)m.
在Rt△BOD中,由勾股定理得r2=(r-2.4)2+3.62,解得r=3.9.
∵CD=2.4m,船舱顶部为长方形并高出水面2m,∴CE=2.4-2=0.4(m),
∴OE=r-CE=3.9-0.4=3.5(m),
在Rt△OEN中,EN2=ON2-OE2=3.92-3.52=2.96(m2),∴EN≈1.72(m).
∴MN=2EN=2×1.72=3.44m>3,
∴此货船能顺利通过这座弧形拱桥.
题型三 圆周角定理的综合
例3 [2019·市南区一模]如图5,在直径为AB的⊙O中,C,D是⊙O上的两点,∠AOD=58°,CD∥AB,则∠ABC的度数为__61°__.
图5
【解析】∵∠AOD=58°,∴∠ACD=∠AOD=29°,∵CD∥AB,∴∠CAB=∠ACD=29°,∵AB是直径,∴∠ACB=90°,∴∠ABC=90°-29°=61°.
【点悟】
(1)在同圆(或等圆)中,圆心角(或圆周角)、弧、弦中只要有一组量相等,则其他对应的各组量也分别相等,利用这个性质可以将问题互相转化,达到求解或证明的目的;
(2)注意圆中的隐含条件(半径相等)的应用;(3)圆周角定理及其推论,是进行圆内角度数转化与计算的主要依据,遇直径,要想到直径所对的圆周角是90°,从而获得到直角三角形;遇到弧所对的圆周角与圆心角,要想到同弧所对的圆心角等于圆周角的2倍以及同弧所对的圆周角相等.
变式跟进
4.如图6,⊙O是正方形ABCD的外接圆,点P在⊙O上,则∠APB=__45°__.
图6 第4题答图
【解析】如答图,连结OA,OB.根据正方形的性质,得∠AOB=90°.再根据圆周角定理,得∠APB=45°.
5.[2019·永嘉二模]如图7,已知AB是半圆O的直径,OC⊥AB交半圆于点C,D是射线OC上一点,连结AD交半圆O于点E,连结BE,CE.
(1)求证:
EC平分∠BED;
(2)当EB=ED时,求证:
AE=CE.
图7 第5题答图
证明:
(1)∵AB是半圆O的直径,∴∠AEB=90°,
∴∠DEB=90°.∵OC⊥AB,
∴∠AOC=∠BOC=90°,∴∠BEC=45°,
∴∠DEC=45°.∴∠BEC=∠DEC,
即EC平分∠BED;
(2)如答图,连结BC,OE,
在△BEC与△DEC中,
∴△BEC≌△DEC,∴∠CBE=∠CDE.
∵∠CDE=90°-∠A=∠ABE,∴∠ABE=∠CBE.
∴∠AOE=∠COE,∴AE=CE.
题型四 弧长的计算
例4 如图8,△ABC是正三角形,曲线CDEF叫做“正三角形的渐开线”,其中,,,,圆心依次按A,B,C…循环,它们依次相连结.若AB=1,则曲线CDEF的长是__4π__(结果保留π).
图8
【解析】的长是=,的长是=,的长是=2π,则曲线CDEF的长是π+π+2π=4π.
变式跟进
6.一个扇形的半径为8cm,弧长为πcm,则扇形的圆心角为__120°__.
【解析】设扇形的圆心角为n°,根据题意得π=,解得n=120,∴扇形的圆心角为120°.
题型五 扇形的面积计算
例5 [2019·河南]如图9,在扇形AOB中,∠AOB=90°,以点A为圆心,OA的长为半径作交于点C,若OA=2,则阴影部分的面积是-π.
图9 例5答图
【解析】如答图,连结OC,AC,△OAC是等边三角形,扇形OBC的圆心角是30°,阴影部分的面积等于扇形OBC的面积减去弓形OC的面积.S扇形OBC==π,S弓形OC=-×22=π-,S阴影=π-=-π.
【点悟】 求不规则图形的面积,常转化为易解决的基本图形,然后求出各图形的面积,通过面积的和差求出结果.
变式跟进
7.若扇形的半径为3cm,扇形的面积为2πcm2,则该扇形的圆心角为__80__°,弧长为__π__cm.
【解析】由=2π,解得n=80,由2π=l×3,解得l=π.
8.如图10,以AB为直径的⊙O经过AC的中点D,DE⊥BC于点E,若DE=1,∠C=30°,则图中阴影部分的面积是π-.
图10
【解析】∵∠C=30°,DE=1,∠DEC=90°,∴DC=2,∵OD∥BC,∴∠ODA=30°,∵OD=OA,∴∠OAD=
∠ODA=30°,∴∠AOD=120°,∴OA=,∴S阴影=-×2×=π-.
题型六 圆锥
例6 [2019·西湖区校级三模]一个圆锥的侧面展开图是圆心角为120°且半径为6的扇形,则这个圆锥的底面半径为( B )
A.2 B.2C.2.5D.3
【解析】设这个圆锥的底面半径为r,根据题意,得2π·r=,解得r=2.
【点悟】
(1)圆锥侧面展开图是一个扇形;
(2)圆锥的底面周长是其侧面展开图的弧长;(3)圆锥的母线就是其侧面展开扇形的半径.
变式跟进
9.一个圆锥的底面半径是5cm,其侧面展开图是圆心角为150°的扇形,则圆锥的母线长为( B )
A.9cm B.12cmC.15cmD.18cm
【解析】设圆锥的母线长为l,根据题意得2π×5=,解得l=12.即圆锥的母线长为12cm.
过关训练
1.一个圆锥形的圣诞帽底面半径为12cm,母线长为13cm,则圣诞帽的侧面积为( B )
A.312πcm2B.156πcm2
C.78πcm2D.60πcm2
【解析】圆锥的底面周长是12×2π=24π,则圆锥的侧面积是×24π×13=156π(cm2).
2.[2019·连云港三模]一个滑轮起重装置如图1所示,滑轮的半径是15cm,当重物上升15cm时,滑轮的一条半径OA绕轴心O按顺时针方向旋转的角度约为(π取3.14,结果精确到1°)( C )
图1
A.115°B.60°
C.57°D.29°
【解析】根据题意得15=,解得n=≈57°,∴OA绕轴心O按顺时针方向旋转的角度约为57°.
3.一个隧道的横截面如图2所示,它的形状是以点O为圆心,5为半径的圆的一部分,M是⊙O中弦CD的中点,EM经过圆心O交⊙O于点E.若CD=6,则隧道的高(ME的长)为( D )
图2
A.4B.6
C.8D.9
【解析】∵M是⊙O弦CD的中点,根据垂径定理:
EM⊥CD,又CD=6,则有CM=CD=3,设OM是x,在Rt△COM中,有OC2=CM2+OM2,即52=32+x2,解得x=4,∴EM=5+4=9.
4.[2019·大庆模拟]如图3是圆内接正方形ABCD,分别将,,,沿边长AB,BC,CD,DA向内翻折,已知BD=2,则阴影部分的面积为__4-π__.
图3
【解析】由圆内接正方形的性质知,正方形的边长等于半径的倍,∴阴影部分的面积=()2-[π-()2]=4-π.
5.[2019·贵港]如图4,在Rt△ABC中,∠C=90°,∠BAC=60°,将△ABC绕点A逆时针旋转60°后得到△ADE,若AC=1,则线段BC在上述旋转过程中扫过部分(阴影部分)的面积是____(结果保留π).
图4
【解析】∵∠C=90°,∠BAC=60°,AC=1,∴AB=2,S扇形BAD==,S扇形CAE==,则S阴影=S扇形DAB+S△ABC-S△ADE-S扇形ACE=π-=.
6.将一盛有不足半杯水的圆柱形玻璃水杯拧紧杯盖后放倒,水平放置在桌面上,水杯的底面如图5所示,已知水杯的半径是4cm,水面宽度AB是4cm.
(1)求水的最大深度(即CD)是多少?
(2)求杯底有水部分的面积(阴影部分).
图5
解:
(1)∵OD⊥AB,AB=4cm,
∴BC=AB=×4=2(cm),
在Rt△OBC中,∵OB=4cm,BC=2(cm),
∴OC===2(cm),
∴DC=OD-OC=4-2=2(cm).
∴水的最大深度(即CD)是2cm;
(2)∵OC=2,OB=4,∴OC=OB,
∴∠ABO=30°,∵OA=OB,
∴∠BAO=∠ABO=30°,∴∠AOB=120°,
∵S△AOB=AB·OC=×4×2=4,
S扇形OAB==π,
∴S阴影=S扇形-S△AOB=cm2.
7.[2019·苏州一模]如图6,已知Rt△ABD中,∠A=90°,将斜边BD绕点B顺时针方向旋转至BC,使BC∥AD,过点C作CE⊥BD于点E.
(1)求证:
△ABD≌△ECB;
(2)若∠ABD=30°,BE=3,求的长.
图6
解:
(1)证明:
∵∠A=90°,CE⊥BD,
∴∠A=∠BEC=90°.
∵BC∥AD,∴∠ADB=∠EBC.
∵将斜边BD绕点B顺时针方向旋转至BC,
∴BD=BC.在△ABD和△ECB中,
∴△ABD≌△ECB;
(2)∵△ABD≌△ECB,∴AD=BE=3.
∵∠A=90°,∠ABD=30°,∴BD=2AD=6,
∵BC∥AD,∴∠A+∠ABC=180°,
∴∠ABC=90°,∴∠DBC=60°,
∴的长为=2π.
8.[2019·高密模拟]如图7,AB为圆O的直径,CD⊥AB于点E,交圆O于点D,
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