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复杂应力状态强度问题
复杂应力状态强度问题
8-4试比较图示正方形棱柱体在下列两种情况下的相当应力⎛r3,弹性常数E和∝均为已知。
(a)棱柱体轴向受压;
(b)棱柱体在刚性方模中轴向受压。
题8-4图
(a)解:
对于棱柱体轴向受压的情况(见题图a),三个主应力依次为
σ1=σ2=0,σ3=−σ
由此可得第三强度理论的相当应力为
σr3=σ1−σ3=σ
(a)
(b)解:
对于棱柱体在刚性方模中轴向受压的情况(见题图b),可先取受力微体及坐标如
图8-4所示,然后计算其应力。
由图8-4可得
σy=−σ
根据刚性方模的约束条件,有
εx=
即
1[σ
Ex
−µ(σy
+σz
)]=0
σx=µ(σy+σz)
注意到
σz=σx
故有
σx=σz
=−µσ
1−µ
三个主应力依次为
σ1=σ2
=−µ
1−µ
σ,σ3
=−σ
由此可得其相当应力为
σr3
=σ1
−σ3
=1−2µσ
1−µ
(b)
比较:
按照第三强度理论,(a)、(b)两种情况相当应力的比值为
σ
r=r3(a)=
σr3(b)
1−µ
1−2µ
r>1,这表明加刚性方模后对棱柱体的强度有利。
8-5图示外伸梁,承受载荷F=130kN作用,许用应力[⎛]=170MPa。
试校核梁的强度。
如危险点处于复杂应力状态,采用第三强度理论校核强度。
解:
1.内力分析
题8-5图
3
由题图可知,B+截面为危险截面,剪力与弯矩均为最大,其值分别为
Fs=F=130kN,M
=Fl2
=130⋅103N⋅0.600m=7.80⋅104N⋅m
2.几何量计算
3
I=[0.122⋅0.280
z12
−5
−(0.122−0.0085)⋅(0.280−2⋅0.0137)
12
]m4=7.07⋅10−5m4
W=7.07⋅10
z0.140
m3=5.05⋅10−4m3
Sz(b)
=0.122⋅0.0137⋅(0.140−0.0137)m3=2.23⋅10−4m3=2S
2
z(a)
Sz,max
=[2.23⋅10−4+1⋅0.0085⋅(0.140−0.0137)2]m3=2.90⋅10−4m3
2
式中的足标b,系指翼缘与腹板的交界点,足标a系指上翼缘顶边中点。
三个可能的危险点
(a、b和c)示如图8-5。
3.应力计算及强度校核
点a的正应力和切应力分别为
M
σ==
7.80⋅104N
=1.545⋅108
Pa=154.5MPa
z
W5.05⋅10−4m2
3−4
FS
τ=sz(a)
=130⋅10
⋅1.115⋅10
N=1.496⋅107
Pa=14.96
MPa
Izt
7.07⋅10−5⋅0.0137m2
该点处于单向与纯剪切组合应力状态,根据第三强度理论,其相当应力为
⎛r3=
⎛2+4⎜2=
154.52+4⋅14.962MPa=157.4MPa<[⎛]
点b的正应力和切应力分别为
σ=Myb
4
3
=7.80⋅10
⋅(0.140−0.0137)N=1.393⋅108
Pa=139.3MPa
z
I7.07⋅10−5m2
FS
τ=sz(b)
=130⋅10
⋅2.23⋅10−4
N=4.82⋅107
Pa=48.2
MPa
Izδ
7.07⋅10−5⋅0.0085m2
该点也处于单向与纯剪切组合应力状态,其相当应力为
⎛r3=
139.32+4⋅48.22MPa=169.4MPa<[⎛]
点c处于纯剪切应力状态,其切应力为
FS
τ=sz,max
3
=130⋅10
⋅2.90⋅10−4
N=6.27⋅107
Pa=62.7
MPa
其相当应力为
Izδ
7.07⋅10−5⋅0.0085m2
⎛r3=2⎜
结论:
该梁满足强度要求。
=2⋅62.7MPa=125.4MPa
4.强度校核
依据第三强度理论,上述三点的相当应力依次为
σr3(a)=σ1−σ3=[155.9−(−1.44)]MPa=157.3MPa
σr3(b)=[154.4−(−15.05)]MPa=169.5MPa
σr3(c)=2τ=2⋅62.7
MPa=125.4
MPa
它们均小于许用应力,故知该梁满足强度要求。
8-8图示曲柄轴,承受载荷F=10kN作用。
试问当载荷方位角⎝为何值时,对截面
A-A的强度最为不利,并求相应的相当应力⎛r3。
解:
1.分析内力
题8-8图
由于A-A为圆形截面,其任一直径均为主形心轴,故载荷F无需分解,可直接用以分析内力。
根据平衡关系,截面A-A上的剪力、弯矩和扭矩值(绝对值)分别为
Fs=F=10
kN,M
=Fl=10⋅103⋅0.070
N⋅m=700
N⋅m
T=Facosθ
由此可见,F的方位角θ对剪力和弯矩值并无影响,它只改变扭矩的大小,当θ
取最大值,对截面A-A的强度最为不利,其值为
=0时扭矩
Tmax
2.计算相当应力
=Fa=10⋅103⋅0.240
N⋅m=2.40⋅103N⋅m
截面A-A上铅垂直径的上、下点为可能的危险点,按照第三强度理论,其相当应力为
σr3=
22
M+T
max
W
=32⋅
7002+(2.40⋅103)2N
π⋅0.0603m2
=1.179⋅108Pa=117.9MPa
(a)
由于是短粗轴,弯曲剪力产生的切应力应予考虑,这时截面A-A上水平直径的左端点,
为又一个可能的危险点,该点处的正应力为零,而切应力则为
τ=τ+τ
=16Tmax+4⋅4Fs
12πd3
3
3πd2
3
=(16⋅2.40⋅10
π⋅0.0603
其相当应力为
+16⋅10⋅10)N
3π⋅0.0602m2
=(56.6+4.72)⋅106Pa=61.3
MPa
σr3=2τ=2⋅61.3MPa=122.6
MPa
(b)
比较式(a)和(b)可知,该轴真正的危险点是截面A-A上水平直径的左端点,其相当应力
如式(b)所示。
顺便指出,本题计算相当应力的另一种方法是先求σ
(ϕ)、τ(ϕ),再求σr3(ϕ)。
这里的ϕ
从截面A-A上左边水平半径量起,以顺钟向为正。
将σr3(ϕ)对ϕ求导,寻找其极值位置,找
到的极值位置是ϕ=0,由此确定的危险点同上述真正的危险点,相当应力当然也同式(b)。
8-9图示某段杆的弯矩My与Mz图,它们均为直线,且其延长线分别与x轴相交于c
和d点。
试证明:
如果c,d点不重合,则该段杆的总弯矩M图必为凹曲线。
题8-9图
证明:
本题用几何法证明比较简便而直观。
证明要点如下:
1.将题设My图线和Mz图线画在图8-9(a)所示的三维坐标系中(图a中的直线e1f1和
e2f2)。
2.画总弯矩(合成弯矩)矢量M的矢端图e3f3(它为两个坐标平面的两个垂面e1e3f3f1
与e2e3f3f2的交线。
)
3.将矢端图e3f3向坐标平面MyOMz投影,得其投影图线ef。
ef直线上任一点与原点
O的连线,即代表某一截面总弯矩的大小(为清楚起见,参看图b)。
4.将M由大(Ma)到小(Mmin)、又由小到大(Mb)连续变化的函数关系画在平面坐标系xoM中,即成图(c)所示之凹曲线。
8-10图示齿轮传动轴,用钢制成。
在齿轮1上,作用有径向力Fy=3.64kN、切向力Fz=10kN;在齿轮2上,作用有切向力F'y=5kN、径向力F'z=1.82kN。
若许用应力
[⎛]=100MPa,试根据第四强度理论确定轴径。
题8-10图
解:
将各力向该轴轴线简化,得其受力图如图8-10(a)所示。
内力图(Mz、My和T)
分别示如图(b)、(c)和(d)。
由内力图和8-9题所证明的结论可知,截面B和C−都可能为危险面。
对于截面B,总弯矩为
MB=
10002+3642
N⋅m=1064
N⋅m
(a)
对于截面C−,总弯矩为
MC-=
2272+5682
N⋅m=612
N⋅m
(b)
比较式(a)和(b)可知,截面B最危险。
由第四强度理论的强度条件
得该轴的直径为
B
σr4=
M2+0.75T232
=
W
M2+0.75T2
πd3
≤[σ]
32
d≥3
M2+0.75T2
=332
10642
+0.75⋅10002
B
m
B
π[σ]
π⋅100⋅106
=5.19⋅10−2m=51.9mm
8-14图示圆截面钢轴,由电机带动。
在斜齿轮的齿面上,作用有切向力Ft=1.9kN、
径向力Fr=740N以及平行于轴线的外力F=660N。
若许用应力[⎛]=160MPa,试根据第四强
度理论校核轴的强度。
解:
1.外力分析
题8-14图
将力F、Fr、Ft向轴AD的轴线简化,得该轴的计算简图如图8-14(a)所示。
图中,
MzC
=FR=660⋅0.100N⋅m=66.0N⋅m
t
MA=MC
=FR=1.9⋅103⋅0.100
N⋅m=190.0N⋅m
2.内力分析
根据图(a),可画轴力、扭矩及弯矩图如图(b)、(c)、(d)和(e)所示。
由内力图可知,截面C−为危险截面,该截面上的轴力、扭矩及总弯矩值依次为
FN=F=660N(压),T
=190.0
N⋅m
M=M2+M2=
57.02+55.22
N⋅m=79.3
N⋅m
yz
3.强度校核
危险面上危险点处于单向与纯剪切组合应力状态,其正应力和切应力分别为
σ=M+FN
=(32⋅79.3+
4⋅660)N
WAπ⋅0.0253
π⋅0.0252m2
=5.30⋅107Pa=53.0
MPa(压)
T
τ==
Wp
16⋅190.0N
π⋅0.0253m2
=6.19⋅107Pa=61.9
MPa
将其代入第四强度理论的强度条件,有
σr4=
σ2+3τ2=
53.02+3⋅61.92MPa=119.6MPa<[σ]
可见,该轴满足强度要求。
8-16图示等截面刚架,承受载荷F与F'作用,且F'=2F。
试根据第三强度理论确定F的许用值[F]。
已知许用应力为[⎛],截面为正方形,边长为a,且a=l/10。
解:
1.寻找危险面
题8-16图
为了寻找危险面,首先需画出内力图。
在图8-16(a)所示坐标下,由F产生的内力示如图(b)和(c);由F′产生的内力示如图(d)、(e)和(f)。
从内力图上不难找到可能的危险面有两个:
截面A和截面C+。
2.确定F的许用值
截面A为弯、拉组合(危险点处于单向应力状态),由强度条件
σmax
得
=6⋅4Fl+F
a3a2
=241F≤[σ]
a2
2
F≤[σ]a
=4.15⋅10−3[σ]a2=4.15⋅10−5[σ]l2
241
(a)
截面C+为弯(有My、Mz)、拉、扭组合,可能的危险点为d和e(见图g),点f的
扭转切应力虽然与点d的一样大,但其弯曲正应力只是点d的一半,故可将它排除在外。
对于点d,正应力和切应力依次为
6⋅2FlFF
σd=a3
+=121
a2a2
τd=
T
αhb2
=2Fl
0.208a3
=96.2F
a2
由第三强度理论的强度条件
22F22F
σr3=
得
σd+4τd=a2
121
+4⋅96.2
=227≤[σ]
a2
F≤4.41⋅10−3[σ]a2=4.41⋅10−5[σ]l2
对于点e,切应力为零,由弯、拉组合(点e处于单向应力状态)的强度条件
(b)
σ=6⋅2Fl+6⋅Fl+F
=181F
≤[σ]
maxa3
得
a3a2a2
F≤5.52⋅10−3[σ]a2=5.52⋅10−5[σ]l2
比较式(a)、(b)和(c),最后确定F的许用值为
[F]=4.15⋅10−5[σ]l2
(c)
8-17图示圆截面圆环,缺口处承受一对相距极近的载荷F作用。
已知圆环轴线的半径为R,截面的直径为d,材料的许用应力为[⎛],试根据第三强度理论确定载荷F的许
用值。
解:
1.分析内力
题8-17图
本题为反对称问题,可取半个圆环来分析。
例如取右半圆环,示如图8-17。
由图可得
M(ϕ)=FRsinϕ,T(ϕ)=FR(1−cosϕ)
2.求相当应力
根据第三强度理论,截面ϕ危险点处的相当应力为
σr3=
M2(ϕ)+T2(ϕ)
W
=FR
sin2ϕ+(1-cosϕ)2
W
FR2−2cosϕ
=(a)
W
3.求σr3的最大值
由
dσr3=0
dϕ
得极值位置为
ϕ=180o
(b)
进一步分析可知,该极值位置使σr3取得极大值,即截面A为危险截面,其危险点的相当应力
为
σ=2FR=64FR
(c)
4.确定F的许用值将式(c)代入强度条件
r3,maxW
πd3
得载荷F的许用值为
σr3,max≤[σ]
3
3
[F]=πd
[σ]=d
[⎛]≈d
3[⎛]
64R
20.4R
20R
8-18图示结构,由轴AB与梁CD组成,并在截面D承受集中载荷F作用。
已知载荷F=1kN,弹性模量E=210GPa,切变模量G=0.4E。
试:
(1)根据第三强度理论计算轴内危险点处的相当应力;
(2)计算截面D的转角与挠度。
解:
(1)计算相当应力
题8-18图
此为六度静不定问题,但有对称性可以利用。
将载荷F向轴AB的轴线简化,得力F和矩为Me的力偶,示如图8-18(a)。
根据叠加原理,可将F和Me分开考虑。
仅考虑F时,利用对称性,可在截面C处解除
多余内约束,得相当系统如图(b)所示。
(图中只画了左边一半)。
由变形协调条件
(F)a2
θ=0,MCa−2=0
CEI
得
MC
2EI
=Fa
4
据此,并利用对称性,可画出M图(见图c)。
仅考虑Me时,由对称性可知,两端的支反力偶矩相等,并等于Me的一半,即
MAx=MBx=
1
Me=
2
1Fa
2
据此,并考虑到扭矩的符号规定,可画T图如图(d)所示。
由图(c)、(d)容易判断,B、A、C−和C+四个截面同等危险,它们的弯矩值和扭矩值(均指绝对值)分别相等。
按照第三强度理论,这些面上危险点处的相当应力为
M2+T2
32Fa
12+22
8⋅1⋅103⋅0.300⋅5N
σr3=W
==
4πd3
π⋅0.0403m2
=2.67⋅107
(2)计算转角和挠度
Pa=26.7
MPa
截面D的转角由轴AB的扭转变形和梁CD的弯曲变形两部分提供,由叠加法可得
θD=ϕC+θD(F)=
(1Fa)a
2
GIp
Fa2
+
2EI1
5Fa2
=
4EIp
Fa2
+
2EI1
3
=1⋅10
⋅0.3002
(
5⋅32+
12)
rad=2.73⋅10-3
rad
210⋅109
4⋅π⋅0.0404
2⋅0.020⋅0.0603
截面D的挠度由轴AB的弯曲变形、扭转变形和梁CD的弯曲变形三部分提供,由叠加法可得
wD=wC+ϕCa+wD(F)=
Fa3
24EI
5Fa3
+
4EIp
Fa3
+
3EI1
3
=1⋅10
⋅0.300364(
+5⋅32+
12)m
210⋅109
24⋅π⋅0.0404
4⋅π⋅0.0404
3⋅0.020⋅0.0603
=8.0⋅10−4m=0.80mm
8-19图示结构,由两根相同的圆截面杆及刚体A和B组成。
设在该刚体上作用一对方向相反、其矩均为M的力偶,试画杆的内力图,并根据第三强度理论建立杆的强度条件。
杆的长度l、直径d、材料的弹性模量E、切变模量G以及许用应力[⎛]均为已知,且l=20d,G
=0.4E。
解:
1.求内力
题8-19图
此为六度静不定问题。
利用反对称性,可取相当系统如图8-19(a)所示。
静力学方面(见图a)
∑Mx=0,2T+Fsz(
l)−M=0
5
(a)
几何方面(见图a和b)
由于刚体B只能绕结构水平中轴线相对于刚体A作刚性转动,故有变形协调条件
θy=0
(b)
物理方面
∆=ϕ(l)
z10
(c)
ϕ=Tl=
GIp
3
Tl
(0.4E)(2I)
2
=1.25Tl
EI
(d)
∆=Fszl
z3EI
Ml
θy
Ml
−y
2EI
Fszl
(e)
y=EI
2
−
2EI
(f)
将式(d)~(f)代入式(b)和(c),得补充方程
2My=Fszl
(g)
及
8Fszl−12My
=3T
(h)
联解方程(g)、(h)和(a),得
F15M
T10MM
15M
sz=
,=,y=
23l2346
2.画内力图
上杆的内力图示如图8-19(c)~(e)。
下杆的T图与上杆一样,而Fsz图及My图与上杆仅差符号,最大内力值(绝对值)与上杆相同,故可省画其内力图。
3.建立强度条件
由于l=20d,属于细长杆,可以不计剪力对强度的影响。
危险面在杆的两端,按照第三强度理论,杆的强度条件为
22M
(15)2+(10)2
σr3=
My+T
W
=4623
πd3
32
=5.54M
d3
≤[σ]
8-22图示油管,内径D=11mm,壁厚™=0.5mm,内压p=7.5MPa,许用应力
[⎛]=100MPa。
试校核油管的强度。
题8-22图
解:
油管工作时,管壁内任一点的三个主应力依次为
σ1=σt=
pD,σ
6
2δ2
=σx
=0,σ3
=σr≈0
按照第三强度理论,有
σ=σ−σ
=pD=7.5⋅10
⋅0.011N=8.25⋅107Pa=82.5
MPa<[σ]
r31
32δ
2⋅0.0005m2
计算结果表明,该油管满足强度
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