正弦定理和余弦定理的基础复习教学设计.docx

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正弦定理和余弦定理的基础复习教学设计

教学基本信息

课名

正弦定理和余弦定理的基础复习

是否属于

地方课程或校本课程

否

学科

数学

学段

第二学段

年级

高一

授课日期

2018/6/23

教材

书名：

普通高中课程改革标准实验教科书数学必修5出版社：

人民教育出版社出版日期：

2007年4月

教学设计参与人员

指导思想与理论依据

指导思想

正弦定理和余弦定理是解决有关三角形问题的两个重要定理。

《数学课程标准》中指出学生将在已有知识的基础上，通过对任意三角形的探究，发现并掌握三角形中的边长与角度之间的数量关系，并认识到运用它们可以解决一些与测量和几何计算有关的实际问题。

在数学教学过程中注重课程目标，提高数学地提出、分析和解决问题的能力，数学表达和交流能力、发展独立获取数学知识的能力；获得必要的数学基础知识和基本技能，理解基本数学概念的本质，了解概念等产生的背景、应用，体会其中蕴含的数学思想和方法，以及它们在后续学习中的作用，通过不同形式的自主学习、探究活动，体验数学发现和创造的历程。

数学素养是核心素养的重要组成：

使学生获得社会生活、实践活动以及在数学或者相关学科中继续学习所必需的重要的数学知识、基本的数学思想和必要的应用技能；培养学生数学推理、运算、空间想象和问题解决的能力，以及合作交流、独立思考的能力；通过参与观察、时间、思考、探索、交流等数学活动，发展学生灵活运用数学思维判断问题的意识和能力；培养学生认识数学的价值，养成良好的学习习惯和科学态度，切实感受数学活动的乐趣和数学的优越性；培养学生在富有想象力和创造力的活动中，获得成功的体验，锻炼克服困难的意志，成为有信心、有创意的学习者。

认知目标分为记忆、理解、应用、分析、评价、创造六个类别。

结合《数学课程标准》和数学核心素养的主要内容，本节课主要涉及到的认知目标有记忆、理解、应用这三部分。

具体内容和体

现如下：

记忆包括识别、辨认，回忆、提取。

识别、辨认指在长时记忆中查找与呈现材料相吻合的知识；回忆、提取指从长时记忆中提取相关知识。

基于“识别、辨认”的认知目标，本节在活动1中使学生“在给出的表达式中，分别指出正弦定理和余弦定理的字母表达式.”达成对正弦定理和余弦定理的字母表达式的记忆。

理解包括解释、举例、分类、总结、推断、比较、说明。

解释指将信息从一种形式转变为另一种形式；例举指找到概念和原理的具体例子或例证；分类指确定某物某事属于一个类别；总结指概括总主体或要点，确定一个要素在结构中的合适位置或作用；推断指从呈现的信息中推断出合乎逻辑的结论；比较指发现两种观点、两个对象之间的对应关系；说明指构建一个系统的因果关系。

基于“解释”这一认知目标，本节在活动3中要求学生填写和仿写正弦定理和余弦定理的汉语叙述，将正余弦定理从字母表达式的形式转变为汉语叙述的形式；基于“举例”这一认知目标，活动4要求学生“请举出具体示例说明正弦定理和余弦定理的用途”，学生在完成活动4的同时，也找到了正余弦定理的例题例子；基于“总结归纳”和“推断”的认知目标，活动5中首先选取了，要求学生“归纳正余弦定理的使用准则”，确定了正余弦定理的作用，而后引导学生法发现正余弦定理的和“三角形全等判定依据”之间的关系，并大胆从呈现的信息中推断出合乎逻辑的结论；最后基于“比较”这一认知目标，在活动6中引导学生推导正余弦定理和“三角形全等的判定依据”之间的关系。

本节课通过以上4个环节，使学生进一步理解正线定理和余弦定理。

应用包括实行、使用、运用。

实行指将程序应用于熟悉的任务；使用和运用指将程序应用于不熟悉的任务。

基于应用的认知目标，本节课在小结部分要求学生回顾“本节在温故知新阶段和准则确立阶段进行了哪些思考活动”并提问“这和学习数学之间有什么关系”，这样学生将本节课熟悉的思考活动复习一遍，应用于熟悉的正余弦定理的学习上，又让学生将“思考程序”有意识的应用与以后的不熟悉的数学学习之中，达成了“应用”这一认知目标。

总之本节课从“回忆”“翻译”“再现”“举例”“归纳”“联系”这六个层面设计了六个学生活动，分别对正弦定理和余弦定理的字母表达式、文字语言表述、推演过程、用途、使用准则和联系进行复习和探究，以此展开渗透数学学习方法的学习活动，对正弦定理和余弦定理进行专题复习。

在学习过程中鼓励学生在独立思考，自主探究的基础上小组合作交流，大胆建立与已有知识之间的联系。

使学生明确经历概念的复习过程，感受并掌握学习数学概念的规律和方法，进一步提高学生作为未来公民所必要的数学素养，以满足个人发展与社会进步的需要。

2.理论依据

赞科夫认为教学应当推动发展前进，只有当教学走在发展前面的时候才是最好的教学，以尽可能大的教学效果来促进学生的一般发展。

一般发展不同于智力的发展，它包括身体的发展和心理的发展。

心理的发展主要通过观察力、思维力、实际操作能力三个方面来实现的；根据维果茨基的最

近发展理论，赞科夫把学生的教学过程中发展分为两个水平：

一个是现有发展水平，即学生己经达到的能够独立解决问题的水平；另一个是最近发展区，即在教师的引导帮助下到达解决问题的水平，它介于学生潜在的发展水平和现有的发展水平之间。

教学的关键在于为学生发展创造最近发展区，从而使得学生的最近发展转化为他现有的发展水平；教学应以理论为主导、尽可能使学生理解学习过程，“实现以最好的教学效果来促进学生的最大发展”的教学目标。

基于上面的理论，本节课先在数学语言、推演过程、汉语言，三个方面复习正弦定理和余弦定理，使学生通“回忆”“翻译”“再现”三个活动加深对定理理解，从而巩固学生正弦定理和余弦定理的“现有发展水平”。

而后让学生“举例说明正弦定理和余弦定理的用途”是在学生“现有发展水平”的基础上呈现学生对定理的理解程度并展现一定的自主学习能力，此时教师根据学生的“现有发展水平”帮助、指导、启发学生归纳定理的使用准则，使学生达到自我的“最近发展区”。

教学背景分析

教学内容：

本节课出自人民教育出版社高中数学B版教材必修5第一章《解三角形》，本章的中心内容是如何解三角形。

本节复习巩固的正弦定理和余弦定理是解三角形的工具，是在学生学习了三角等知识之后，显然是对三角知识的应用；同时，作为三角形中的一个定理，也是对初中解直角三角形内容的直接延伸，因而定理本身的应用十分广泛。

根据实际教学处理，正弦定理和余弦定理的复习这部分内容共分为两个层次：

第一层次教师通过“辨认字母表达式”“再现推演过程”“翻译定理”三个活动引导学生进一步理解正弦定理和余弦定理，巩固并达到“现有的发展水平”。

第二层次由“举例说明定理的用途”呈现学生对定理的掌握程度，并对林林总总的实例进行归纳总结，猜想并推演使用定理必要独立条件的个数，得到定理的使用准则，进而建立与“全等三角形”的联系。

学生通过对正弦定理和余弦定理使用准则的确立这种上位学习形式，感受学习数学概念的过程和方法，养成善于思考、善于联系的品质和勇于求真的精神。

学生情况：

本节课所面对的学生是我校高一年级第二学段的学生，我校是房山区普通高中，学生基础较薄弱，学习习惯需要规范，学习方法需要明确。

本节课前学生已经学习了正弦定理、余弦定理，在学生的作业和练习中发现学生普遍逃避使用正余弦定理，有的学生习惯沿用初中作辅助线构造直角三角形的方法；有的学生尝试用，但不能准确的选择并正确的解决解三角形的问题。

经调查询问，发现学生只是机械的记住了定理的表达式，忽略的推演过程和汉语表述，问题稍加变形就不能应对，这是学生不能正确对待定理类学习，对定理的涵义不理解的表现。

布鲁纳指出，学生不是被动的、消极的知识的接受者，而是主动的、积极的知识探究者。

教师的作用是创设学生能够独立探究的情境，引导学生去思考，参与知识获得的过程。

因此，做好正弦定理和余弦定理的复习，不仅要复习巩固旧知识，更要发挥学生主体作用，体会联系，有新的发现。

教学重点：

正弦定理和余弦定理使用准则的确立。

教学难点：

正弦定理和余弦定理使用准则的确立。

教学方式：

教师指导下的小组合作学习

教学手段：

多媒体辅助教学

技术准备：

PPT、实物投影

教学目标

根据教材的特点、新课标的教学要求以及学生的认知规律，我确定了如下教学目标：

知识与技能：

能准确的选择正弦定理和余弦定理解三角形。

过程与方法：

经历对正弦定理和余弦定理本身的“回忆”、“翻译”、“再现”，对定理使用方法的“举例”“归纳”“联系”，寻求学习数学概念的方式方法。

情感态度与价值观：

通过学生自主探索、合作交流，亲身体验学习数学的方式方法，增强学习的成功心理，激发学习数学的兴趣，培养学生合情合理探索数学规律的数学思想方法。

问题框架

教学过程（文字描述）

【教师活动】前面我们学习了正弦定理和余弦定理，这一节我们对这两个定理进行基础复习。

一、温故知新

活动1.在下面给出的表达式中，分别指出正弦定理和余弦定理的字母表达式.

【教师活动】请学生指出正弦定理和余弦定理的字母表达式。

【学生活动】学生阅读字母表达式，指出正弦定理和余弦定理的字母表达式。

【设计意图】学生在活动1中辨认正弦定理和余弦定理的字母表达式，从学生擅长的部分入手，使学生回忆正弦定理和余弦定理的字母表达式。

活动2.

（1）请在锐角三角形中推演余弦定理的得出.

（2）以下是顺序被打乱的正弦定理的推演过程，请给出正确顺序的序号：

.

【教师活动】要求学生请在锐角三角形中推演余弦定理的得出,当学生遇到困难不能顺利推演的时候，鼓励学生小组合作，讨论推演。

教师巡视指导。

【学生活动】学生自主推导，展示并解说推导过程。

【设计意图】

活动1是对正弦定理和余弦定理结论本身的复习，活动2就是对推演过程的数学思想方法的再现，其重要性绝不亚于结论本身，但学生在新课学习后并不重视定理的由来，所以活动2中以“在锐角三角形中推演余弦定理的得出”和“给推演过程排序”的形式，使学生再现定理的推演过程。

当学生完成活动2，就强化了发现正弦定理和余弦定理的过程，有利于学生更加深刻的理解正弦定理和余弦定理的来龙去脉、运用的条件和范围；有利于学生体会推演的数学思想方法，将学法应用于以后的学习中：

正弦定理和余弦定理的推导是基于直角三角形存在着的边角关系，即勾股定理，正余弦定理的发现就是通过熟悉的直角三角形研究不熟悉的斜三角形，即在斜三角形中构造直角三角形，用斜三角形的斜边表示直角三角形的直角边，从而通过勾股定理构成等式。

学生在再现推导过程时，感受推导的动机，对学生未来自主学习和探究新的规律起到指导的作用；最后正余弦定理的推导过程对正余弦定理的应用起着指导性作用。

活动3.用文字语言叙述正余弦定理

用汉语叙述正弦定理的内容:

在一个三角形中，任何一边的与这条边的值的等于三角形.

②用汉语叙述余弦定理的内容.

【教师活动】要求学生填写正弦定理的汉语叙述，当学生答案不完善时帮助修改。

【学生活动】学生回答，其他同学帮助修改完善。

【教师活动】要求学生用汉语叙述余弦定理的内容，并找学生板演，当学生答案不完善时引导学生分析表达式的结构，发现表达的技巧，并修改正确。

【学生活动】学生板演，或写在学案上，观察扮演内容，指出板演的问题，并帮助修改。

【设计意图】

学生在训练当中逃避使用或不能正确使用正余弦定理，是因为学生机械的记忆定理，不能理解定理的涵义。

为了达到理解正弦定理和余弦定理的目标，要求学生先填写正弦定理的汉语叙述（者对学生来说难度不大），再仿写余弦定理的汉语叙述（难度较大），仿写的过程中学生不得不总结“汉语叙述”的技巧和方法，避免了死记硬背的应付抄写。

因为仿写难度较大，学生在初次叙述的过程中一定不顺利，教师在学生叙述不准确的基础上引导修改完善，使学生体会从不完美到完美的过程，感受成功的喜悦，锻炼了学生的语言表达能力，完成了由符号语言到汉语的转化，并且在完成翻译任务的同时将正余弦定理内化整理提高。

【教师活动】在

中，表达出正弦定理和余弦定理的内容。

【学生活动】学生口述答案。

【设计意图】学生在之前的作业中表现为：

知识单纯的记住了在三角形

中的正弦定理和余弦定理的表达式，换一个三角形就不能体会其边角之间的关系，在完成了正弦定理和余弦定理的翻译后，让学生说出

中的正弦定理和余弦定理，以检验学生是否真正明白这两个定理所描述的边角关系。

二、准则确立

活动4.请举出具体示例说明正弦定理和余弦定理的用途.

【教师活动】要求学生举出具体示例分别说明正弦定理和余弦定理的用途.写在课前发下的小纸条上，写完后放在投影仪上。

【学生活动】学生举例，写在纸条上，写完放在投影仪上。

【教师活动】挑选代表性的例子，重点展示（如果类型不够丰满，则给出教师的例子），采访学生“为什么这个示例可以用正、余弦定理解决？

”

【学生活动】学生介绍自己的出题的想法。

（已知角和所对的边时，用正弦定理；涉及两边及其夹角用余弦定理；等）

【设计意图】课程标准要求“掌握正余弦定理，并能解决一些简单的三角形度量问题”。

正余弦定理的应用价值很重要，以学生已有知识和能力为基础，鼓励学生给出正余弦定理的应用实例，当学生给出自己的例子时，就已经在潜意识中思考了“三角形具备怎样的情形时，适用于使用正、余弦定理”这个问题，此时教师邀请学生说出给出问题的动机，就将这个问题提出来。

学生刚刚完成活动2，对正余弦定理的叙述印象比较深刻，应该能说出一些动机，此时将学生从“现有的发展水平”带到了“最近发展区”，为活动5归纳正弦定理和余弦定理的使用准则这个重难点埋下伏笔。

活动5.请结合具体示例，总结正弦定理和余弦定理的使用准则和情形.

【教师活动】观察（老师和）同学给出的实例，请同学们思考

要使用正余弦定理解决问题至少需要几个独立条件？

【学生活动】思考

【教师活动】教师引导，两个行不行？

三个行不行？

四个行不行？

【学生活动】学生“三个”

【教师活动】教师引导“为什么需要三个？

”

【学生活动】学生思考，“因为三个可以在正、余弦定理中解方程”

【教师活动】任意的三个独立条件都行吗？

【学生活动】学生思考，得到结论“已知三角形任意的三个独立条件都可以用正弦定理和余弦定理解三角形。

”

【教师活动】已知三角形的三个独立条件有哪些情形呢？

【学生活动】三个边、两角一边、两边一角

【教师活动】教师引导“两角一边能细分成什么情况？

”“两边一角又能细分为什么情况”

【学生活动】得到SSS、AAS、ASA、SAS、SSA这五种情形。

【教师活动】要求各小组分别讨论其中一种情形，研究分别用什么定理来解三角形。

【学生活动】小组讨论发现，在确定已知的情况下，所求不同，使用的定理也不同。

对应关系如下

【教师活动】引导学生观察“什么时候用正弦定理，什么时候用余弦定理”

【学生活动】学生观察得到：

当已知和未知中涉及三边一角，用余弦定理；当已知和未知中涉及两边两角，用正弦定理。

【教师活动】教师告知学生，不管是我们刚刚得到的正、余弦定理的使用准则，还是同学们在活动4中自己总结的出题动机，都是建议使用相应准则，事实上，一切可以使用正弦定理解决的解三角形问题，都可以使用余弦定理解决。

相反，一切可以使用余弦定理解决的解三角形问题，也都可以用正弦定理解决，这一点，同学们可以在以后的学习过程中体会和验证。

【设计意图】归纳使用准则是本节课的重点也是难点，在这一环节用问题做梯子，循序渐进，不一次到位。

在提问中，遇到学生回答不了的问题，就退一步，用更加具体的问题代替，一旦学生回答了问题，就紧追下一个问题，引导学生整理思路，进而归纳总结。

由此学生归纳得到了正弦定理和余弦定理的使用准则，由感性认识上升到理性应用，使得学生进一步掌握了正余弦定理。

【教师活动】教师提示学生再次观察“三角形已知三个独立条件的情形”，什么时候见过类似情形？

【学生活动】学生思考。

【教师活动】教师进一步引导，回到之前，已知三个独立条件，则等式可解，就是三角形可解，进一步思考：

三角形可解意味着什么？

【学生活动】学生思考。

【教师活动】教师进一步引导，三角形可解，就意味着三角形的边角是确定的，边角确定意味着三角形的形状、大小都是一定的……（引导程度，视学生情况而定）

【学生活动】全等三角形

【设计意图】基础薄弱的学生逃避使用正余弦定理，其原因之一是学生觉得这是新的知识，不会用。

在此之前已经引导学生总结了正弦定理和余弦定理的使用准则，那么这一部分就是让学生发现“新知识”和“旧知识”之间的联系，让学生感知到知识不是孤立存在的，是有联系的。

同时引出活动6.

活动6.请阐述正弦定理、余弦定理和“三角形全等判定依据”之间的关系.

【教师活动】引导学生思考：

SSS、AAS、ASA、SAS、SSA并不完全是任意三角形全等的判定依据，正弦定理和余弦定理和“三角形全等的判定依据”之间有什么关系呢？

拆分问题：

已知任意三角形全等的判定依据是SSS、AAS、ASA、SAS，就可以使用正弦定理和余弦定理解三角形。

为什么SSA不能作为三角形全等的判定依据？

【学生活动】学生思考

【设计意图】活动5中，学生发现了正弦定理和余弦定理与“三角形全等的判定依据”之间是有联系的，但是具体具有怎样的联系呢？

活动6提出了明确的问题。

学生独立回答这个问题是有一定难度的，直接小组讨论收效也不大，所以在此环节以教师引导为主线，圈出大致轮廓，在作业中鼓励学生小组讨论，关于问题6形成小论文，彻底打破学生对正弦定理和余弦定理的畏难情绪，建立知识与知识之间的联系。

三、小结：

在温故知新阶段和准则确立阶段分别进行了哪些思考活动？

这些活动与数学学习之间的关系是什么？

【设计意图】正弦定理和余弦定理是高中阶段的两个重要定理，“回忆”“再现”“翻译”“举例”“归纳”“联系”是认知事物要经历的思维过程。

在小结部分，学生回顾了这些思考活动，就明确了认知需要经历的基本步骤。

教师进一步追问“这些活动和数学学习之间的关系”学生很容意识到今后的学习也要经历这些思考活动，这是对学生学法的指导。

四、作业：

1.在

中，

，

是

边上的一点，

.

（1）求

的长。

（2）

若

，求

的长。

2.写出余弦定理的另一种形式，并用汉语表述其内容。

3.以小组为单位，写一份关于活动6的小论文。

学习效果评价设计

评价方式

观察学生思维反应情况、参与度和作业练习的反馈等

评价量规

1.关注学生在整个探究过程中的表现，包括学生的投入程度、思维水平的发展等,具体体现在：

在各个环节中，我一直注意观察学生的思考情况，对于有问题的及时给予引导，从而使每个学生都积极地参与到对问题的思考当中.

2.学生的学习评价不应只体现在课堂上，在作业环节设置了三个问题，分别从正余弦定理的应用、字母表达式和汉语表示之间的转化和活动6小论文这三个角度评价本节课学生学习效果。

本教学设计与以往或其他教学设计相比的特点（300-500字数）

本教学设计和以往相比有以下特点：

1、课堂教学模式采用“现学后教，以学定教”的课堂教学模式。

本节的重点难点都是活动5中的“归纳正、余弦定理的使用准则”，本节课在活动4要求学生“举出具体示例说明正弦定理和余弦定理的用途”，学生在完成活动4的同时，下意识的已经完成的“使用准则”的初步确立，此时教师借机提出活动5的问题，引导学生归纳使用准则。

在这种课堂模式下，教师先摸准学生的“现有的发展水平”，通过一系列问题引导学生归纳正余弦定理的使用准则，进一步发现和论证正余弦定理和“三角形判定依据”之间的关系，达到学生的“最近发展区”。

2、教学设计的六个环节，都对应了具体的认知目标，主要围绕记忆、理解、应用这三个认知目标，将认知目标细分，嵌入到每一个活动和细节中，明确了对具体解决某个问题所对应的具体要素和要求，当学生完成活动案时，实际上完成了理解和应用正余弦定理的任务案，也达成了本节课的学习目标。

突出重点的手段和突破难点的方法：

本节课的教学重点和难点都是正弦定理和余弦定理使用准则的确立，即活动5。

为了突出重点，我设计了以“‘至少要有几个独立条件’和‘任意三个独立条件都可以吗？

’”为中心的一系列问题，激发学生的兴趣，引发学生思考。

活动4为活动5埋下伏笔，为重难点突破做准备；活动6是活动5的外延，找到重点难点与已有知识的联系。