第 15 章 动载荷.docx

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第15章动载荷

第15章动载荷

15-2图a所示圆截面轴AB，在截面C处装有飞轮。

在矩为MA的扭力偶作用下，轴与飞轮以角加速度ε转动，飞轮对旋转轴的转动惯量为J，轴的转动惯量忽略不计，试分析轴的受力，画轴的扭矩图。

解：

作用在飞轮上的惯性力偶矩为

题15-2图

Mε=Jε

而其方向则与角加速度ε的方向相反（图b）。

可见，

MA=Mε=Jε

由截面法可知，AC与CB段的扭矩分别为

轴的扭矩图如图c所示。

T1=MA=Jε，

T2=0

15-3图a所示处于水平状态的等截面直杆，承受轴向载荷F作用。

设杆长为l，横截面面积为A，弹性模量为E，材料密度为ρ，杆底滚轮的摩擦力忽略不计，试求杆内横截面上的最大正应力与杆件的轴向变形。

解：

惯性力集度为

题15-3图

q=F

dl

轴力方程为

F（x）=-q（l-x）=-F（l-x）

杆的轴向变形为

Ndl

∆l=-F⎰l（l-x）dx=-Fl

lEA02EA

15-4长度为l=180mm的铸铁杆，以角速度ω绕O1O2轴等速旋转。

若铸铁密度

ρ=7.54×103kg/m3，许用应力[σ]=40MPa，弹性模量E=160GPa，试根据杆的强度确定轴的许用转速，并计算杆的相应伸长。

解：

1.轴的许用转速

题15-4图

离轴为x处的dx微段质量的离心惯性力为

dF=（μAdx）⋅ω2x

x处杆截面的轴力为

l/2

2**

ρAω2l22

FN（x）=⎰x

最大轴力在轴线处（x=0），其值为

ρAωxdx=

（-x）

24

（a）

由强度要求

FN,max=

FN,max

ρAω2l2

8

ρω2l2

得

ω≤=

σmax=A=8

≤[σ]

=1144.5

1/sec

相应之许用转速则为

n=60ω=60⨯1144.5r=10929r/min

2.杆的总伸长量由式（a）可得

2π2πmin

FN（x）ρω2⎛l22⎫

从而有

ε（x）=

=

EA2E

ç-x⎪

⎝4⎭

l/2

l/2ρω2⎡l22⎤

ρω2l3

Δl=2⎰0

ε（x）dx=2⎰0

2E⎢⎣4-x

dx=

⎦

12E

于是得

Δl=7.54⨯103⨯1144.52⨯0.1803m=3.00⨯10-5m=0.030mm12⨯160⨯109

15-5图示涡轮叶片，随涡轮以角速度ω等速旋转。

设叶冠A的重量为W，叶片

材料的弹性模量为E，密度为ρ，许用应力为[σ]，试按各横截面的正应力均等于许用应力的原则，确定叶片x截面的面积A（x），并计算叶片的轴向变形。

与叶片的离心力相比，叶片的重量可以忽略不计。

解：

1.等强设计

题15-5图

当各横截面上的正应力均等于许用应力[σ]时，叶片微段dx的受力如图15-5所示。

由

平衡方程

得

∑Fx=0,

[σ]（A+dA）+（ρAdx）ω2x-[σ]A=0

dA=-ρω2xdx

A[σ]

经积分，得

lnA=-

ρω2x2

2[σ]

+lnC

或写成

ρω2x2

A（x）=Ce-2[σ]

（a）

由图可知：

图15-5

当x=R0时，A（x）=A（R0）=

Wω2R0

g[σ]

（b）

将式（b）代入式（a），得

将式（c）代入式（a），最后得到

Wω2R

C=0e

g[σ]

ρω2R2

0

2[σ]

（c）

2．轴向变形分析

Wω2R

0

A（x）=0e

g[σ]

ρω2（R2-x2）2[σ]

根据胡克定律，叶片微段dx的伸长为

d（∆l）=FN（x）dx=[σ]Adx=[σ]dx

由此得叶片的总伸长为

EAEAE

∆l=

Ro[σ]dx=[σ]（R

-

R）

i

⎰RE

Eoi

15-6图a所示等截面刚架，以角速度ω绕轴AB转动。

设刚架各横截面的面积均为A，材料的密度为ρ，试画刚架的弯矩图，并确定最大弯矩。

解：

刚架所受惯性力如图b所示，

题15-6图

q=aω2ρA

2

F=a/2xω2ρAdx=a2ω2ρA

d⎰08

刚架的弯矩图如图c所示，最大弯矩为

Mmax=

7ρAa2ω2

16

15-7在图示圆轴AB上，安装一个带有圆孔的圆盘，并以角速度ω作等速旋转。

设圆盘材料的密度为ρ，试计算圆轴内的最大弯曲正应力。

题15-7图解：

作用在圆轴上的横向惯性力为

由此在轴内引起的最大弯矩为

2δρ

πd⋅ω

Fd=12h

4

M=Fdl=π⋅ρhlδω2d2

而最大弯曲正应力则为

max281

σ=32Mmax=4ρhlδω2d2

max

πd3d3

15-8图示圆截面钢杆，直径d=20mm，杆长l=2m，弹性模量E=210GPa，一重量为P=500N的冲击物，沿杆轴自高度h=100mm处自由下落。

杆与突缘的质量以及突缘与冲击物的变形均忽略不计,试在下列两种情况下计算杆内横截面上的最大正应力。

（1）冲击物直接落在杆的突缘上（图a）；

（2）突缘上放有弹簧，其弹簧常量k=200N/mm（图b）。

题15-8图解：

（1）以P作为静载荷置于突缘上，有静位移

Δst=Pl=500⨯2.00⎛ç4⎫⎪m=1.516⨯10-5m

最大冲击载荷为

EA210⨯109⎝π⨯0.0202⎭

Fd=

⎛⎫

Pç1+⎪

⎝⎭

于是，杆内横截面上最大正应力为

σ=Fd=P⎛1+

⎫=500N⎛1+

1+2⨯0.100⎫

max

ç

AA⎝

⎪π⨯10-4m2ç

1.516⨯10-5⎪

=1.844⨯108Pa=184.4MPa

（2）被冲击面（弹簧顶面）的静位移为

Δ=Pl+P=1.516⨯10-5m+500m=2.52⨯10-3m

stEIk

最大冲击载荷为

Fd=

⎛

Pç1+

⎝

200⨯103

⎫

⎪

⎭

于是，杆内横截面上最大的正应力为

σ=Fd=500N⎛1+

1+2⨯0.100⎫=1.586⨯107Pa=15.86MPa

maxAπ⨯10-4m2ç

2.52⨯10-3⎪

15-9图示正方形截面钢杆，横截面的边宽a=50mm，杆长l=1m，材料的弹性模量E=200GPa，比例极限σp=200MPa，一重量P＝1kN的冲击物自高度h处自由下落，稳定安全因数nst=2.0，杆的质量与撞击物的变形忽略不计。

试计算高度h的允许值。

解：

1.许用轴向压力计算杆截面的惯性半径为

题15-9图

i==

=a=0.050m=0.01443m

杆的细长比为

223

λ=μl=2（1m）=138.6

i0.01443m

由于

λp=π=π=99.3<λ

故所述杆为细长杆，其轴向许用压力则为

[F]=

Fcrnst

=π2EInst⨯4l2

=π2（200⨯109Pa）（0.050m）4

2⨯4（1m）2⨯12

=1.285⨯105N

（a）

2.许用冲击高度计算最大冲击力为

Fd=

⎛⎫

Fç1+⎪

⎝⎭

当冲击力Fd=[F]时，相应冲击高度即许用冲击高度为

Δ⎡⎛[P]⎫2⎤

[h]=st⎢ç-1⎪-1⎥

（b）

2⎣⎝P⎭⎦

在静载荷P作用下，杆件的静位移为为

Pl

（1⨯103N）（1m）-6

Δst=EA=（200⨯109Pa）（0.050m）2=2.0⨯10m

（c）

将式（a）与（c）代入式（b），于是得

2.0⨯10-6m⎡⎛1.285⨯105N

⎫2⎤

[h]=

⎢ç

2⎣⎝

1⨯103N

-1⎪

⎭

-1⎥=0.0163m

⎦

15-10图示等截面刚架，一重量为P=300N的物体，自高度h=50mm处自由下落。

材料的弹性模量E=200GPa，刚架的质量与冲击物的变形均忽略不计，试计算截面A

的最大铅垂位移与刚架内的最大正应力。

题15-10图

解：

采用单位载荷法计算截面A的铅垂静位移，其载荷状态（以P作为静载荷）和单位状态（令P=1）的弯矩方程依次为

M（x1）=-Px1,

M（x1）=-x1,

M（x2）=-PlM（x2）=-l

式中，长度l=1m，坐标x1自A向左取，x2自上向下取。

截面A的铅垂静位移为

Δ=lM（x1）M（x1）

lM（x2）M（x2）

4Pl3

代入相关数据，得

st⎰0

EIdx1+⎰0

EIdx2=3EI

Δst=

4⨯300⨯1.003-2

⎛0.040⨯0.0303⎫

3（200⨯109）ç

⎝

⎪

12⎭

截面A的最大冲击位移为

Δ=Δ

=（2.22⨯

-2）⎛+

1+2⨯0.050⎫=7.44⨯10-2m=74.4mm

maxd

10mç1

⎝

2.22⨯10-2⎪

而

Fd300Nç1+

⎝

1+2⨯0.050⎫=1.004⨯103N

⎭

Mmax=（1.004⨯103N）（1.00m）=1.004⨯103N⋅m

在冲击载荷Fd作用下，刚架内的最大正应力为

σmax

=1.004⨯103N

⎛0.040⨯0.0302⎫

+1.004⨯103N

2（0.040⨯0.030）m2

=1.682⨯108Pa=168.2MPa

6

ç⎪m

⎝⎭

15-12图示两根正方形截面简支梁，一重量为P=600N的物体，自高度h=20mm

处自由下落。

已知二梁的跨度l=1m，横截面的边宽a=30mm，弹性模量E=200GPa，梁的质量与冲击物的变形均忽略不计。

试在下列两种情况下计算梁内的最大弯曲正应力：

（1）二梁间无间隙，即δ=0；

（2）二梁间的间隙δ=2mm。

解：

（1）δ=0时据

题15-12图

得刚度系数

Δ=Fl3

48EI

48⨯200⨯109⨯⎛0.0304⎫

由此可得

k=F

Δ

=48EI=

l3

ç

⎝

1.003

⎪

N

12⎭

m

=6.48⨯105N

m

⎛⎫3

Fd=P

及

=（600N）ç1+

⎝

⎪=6.209⨯10N

⎭

σ=Mmax=

Fdl

=6⨯6.209⨯103⨯1.00N

=1.725⨯108Pa=172.5MPa

maxW

⎛3⎫

ç6⎪

8⨯0.0303m2

⎝⎭

（2）δ=2mm时

组合梁的应变能为

V=1kΔ2+1k（Δ

-δ）2

ε2d2d

而

Ep=（h+Δd）P

由

Ep=Vε

得

Δ2-⎛çP+δ⎫⎪Δ

+⎛δ2-Ph⎫=0

d⎝k

⎭d⎝2k⎪

⎭

解得二根，其中有用根为

（P+kδ）+（P+kδ）2+4k⎛çPh-kδ2⎫⎪

Δ=⎝2⎭=5.78⨯10-3m

d2k

由此得最大冲击载荷为

Fd=kΔd

+

k（Δd

-δ）=P+

上梁的变形较下梁大，设上梁中点承受的横向载荷为Fd1，则有

Fd1=kΔd=⎛ç6.48⨯105N⎫⎪⨯（5.78⨯10-3m）=3.747⨯103N

⎝m⎭

最大弯曲正应力在上梁中间截面处，其值为

σ=M1max

=6Fd1l=6⨯3.747⨯103⨯1.00N=2.08⨯108Pa=208MPa

maxW

4a3

4⨯0.0303m2

15-13图示圆截面小曲率圆环，一重量为P的物体自高度h处自由下落。

已知

圆环的平均半径为R，横截面的直径为d，弹性模量为E，切变模量为G，圆环的质量与物体的变形忽略不计，试计算圆环内的最大正应力。

题15-13图

解：

此为三度静不定问题。

1．求被冲击点的静位移Δst

由题13-5之解可知，

Δ=（π2-8）PR3=0.1488PR3=3.03PR3

st4πEI

EIEd4

（↓）

2．求最大冲击载荷Fd

Fd=

⎛⎫

Pç1+⎪

⎝⎭

3．计算圆环内的最大正应力σmax

由题13-5之解还可知，Mmax发生在冲击载荷作用处（及铅垂直径下端）截面上，其值为

M=FdR=0.318FR

由此得

max

σ=

πd

=3.24PR⎛1+⎫

maxW

ç⎪

d3⎝⎭

4．检查

在水平直径两端的截面上，受M、FN联合作用，检查其正应力，其值小于以上所算结果；对任意截面求σ（ϕ），进而求极值，未发现有新的极大值。

15-15图a所示弹性杆CD，以速度v沿水平方向匀速运动，冲击弹性梁AB。

设

杆的质量为M，长度为l，各截面的拉压刚度均为EA，梁的长度为2l，各截面的弯曲刚度均为EI，试计算梁内的最大冲击正应力。

题15-15图

解：

当杆CD向左运动时，由于梁AB的阻碍，梁与杆同时受到冲击载荷作用。

当杆件各质点的速度均为零时，冲击力最大，其值用Fd表示（图b）。

在冲击力Fd作用下，杆CD各点产生方向向右、大小相等的加速度，所以，作用在杆上的均布惯性力，方向则均向左（图c），其集度则为

q=Fd

l

杆的轴力方程与梁的弯矩方程分别为

FN（x）=qx-Fd

=Fd（x-l）

l

由此得杆与梁的应变能分别为

M（x）=Fdx

2

lF2（x）

（0≤x≤l）

F2l

Vε=⎰

Ndx=d

0

lM2（x）

2EA

F2

6EA

l2

F2l3

Vε=2⎰0

2EI

dx=d

4EI

xdx=d012EI

当冲击力最大时，杆件减少的动能为

E=

根据能量守恒定律，于是有

Mv2

2

F2l

F2l3

Mv2

d+d=

由此得

6EA12EI2

Fd=v

梁的最大弯矩为

Mmax

=Fdl=

2

故最大弯曲正应力为

σmax

=Mmax=

W

15-16

图示圆截面轴AB，长为l，各截面的扭转刚度均为GIp，轴右端安装一刚性圆盘C，圆盘对x轴的转动惯量为I，圆轴对x轴的转动惯量忽略不计，试求系统的扭转固有频率。

解：

圆轴的扭转刚度为

题15-16图

k=TTl

GIp

=GIp

l

故系统的固有频率为

ω0==

15-17图示外伸梁，由№16工字钢制成，梁长l=4m，弹性模量E＝200GPa。

梁端安装一重量为P=1kN的设备。

阻尼与梁的质量均忽略不计。

试求：

（1）系统振动的固有频率ω0；

（2）当振幅A为截面C静位移∆st的4倍时，梁内最大弯曲正应力。

题15-17图

解：

№16工字钢的惯性矩与抗弯截面系数分别为

梁的刚度系数为

Iz=1.130⨯10-5m4，

Wz=1.41⨯10-4m3

因此，系统的固有频率为

k=12EIz

l3

ω0===

=64.4rad/s

梁的最大弯曲静应力为

σ

梁的最大弯曲动应力为

st,max

=Pl

2Wz

=（1⨯103N）（4.0m）=2（1.41⨯10-4m3）

1.42

⨯107Pa

σd,max

=σst,max

∆st+4∆st=（1.42⨯107Pa）⨯5=7.09⨯107Pa=70.9MPa

∆

st

15-19图a所示等截面直杆，杆长为l，抗弯截面系数与弯曲刚度分别为W与EI。

杆的下端安装一重量为P设备，当其以振幅A发生水平振动时，试求杆内的最大弯曲正应力。

解：

杆的刚度系数为

杆端最大作用力为

题15-19图

k=3EI

l3

F=kA=3EIA

因此，杆内的最大弯曲正应力为

dl3

σ=Fdl=3EIA

d,maxW

l2W