版浙江《学业水平考试》数学知识清单与冲A训练3基本初等函数.docx
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版浙江《学业水平考试》数学知识清单与冲A训练3基本初等函数
知识点一 根式
1.a的n次方根的定义
如果________,那么x叫做a的n次方根,其中n>1,且n∈N*.
2.a的n次方根表示
x=
3.根式
4.根式的性质(n>1,且n∈N*)
(1)n为奇数时,
=________.
(2)n为偶数时,
=________=
(3)
=________.
(4)负数没有________方根.
知识点二 分数指数幂
正数的分数指数幂
正数的正分数指数幂
规定:
a-
=________(a>0,m,n∈N*,且n>1)
正数的负分数指数幂
规定:
a
=________(a>0,m,n∈N*,且n>1)
规定
0的正分数指数幂等于________,0的负分数指数幂________
知识点三 指数幂的运算性质
1.有理数指数幂的运算性质
(1)aras=________(a>0,r,s∈Q);
(2)(ar)s=________(a>0,r,s∈Q);
(3)(ab)r=________(a>0,b>0,r∈Q).
2.无理数指数幂的运算
无理数指数幂aα(a>0,α是无理数)是一个确定的实数,有理数指数幂的运算性质对于无理数指数幂同样适用.
知识点四 指数函数及其性质
1.指数函数的定义
一般地,函数________(a>0,且a≠1)叫做指数函数,其中________是自变量,函数的定义域是________.
2.指数函数的图象和性质
a>1
0 图象 性质 定义域 R 值域 过定点 ________,即当x=0时,y=________ 单调性 在R上是________ 在R上是________ 奇偶性 非奇非偶函数 知识点五 对数的概念 1.定义 一般地,如果ax=N(a>0,且a≠1),那么数x叫做以________为底________的对数.记作________________,a叫做对数的________,N叫做________. 2.特殊对数 3.对数和指数的关系 当a>0,a≠1时,ax=N⇔x=________. 4.对数的性质 (1)负数和0没有对数. (2)loga1=0. (3)logaa=1. 知识点六 对数的运算 如果a>0,且a≠1,M>0,N>0. (1)loga(M·N)=________________. (2)loga =________________. (3)logaMN=________(N∈R). (4)alogaN=N(对数恒等式). (5)对数的换底公式: logab=________________(a>0,a≠1,b>0,c>0,c≠1). 特别地,logab·logba=1(a>0,a≠1,b>0,b≠1). 知识点七 对数函数及其性质 1.对数函数的定义 一般地,我们把函数y=________(a>0,且a≠1)叫做对数函数,其中________是自变量,函数的定义域是________. 2.对数函数的图象及其性质 a>1 0 图象 性质 定义域 (0,+∞) 值域 R 过定点 过定点(1,0),即x=1时,y=0 函数值的变化 当0 当0 单调性 在(0,+∞)上是增函数 在(0,+∞)上是减函数 知识点八 指数函数和对数函数的关系 同底的指数函数与对数函数图象关于直线________对称,单调性________. 知识点九 幂函数 1.幂函数的概念 一般地,函数________叫做幂函数,其中________是自变量,α是常数. 2.幂函数的图象与性质 幂函数 y=x y=x2 y=x3 y= y=x-1 图象 定义域 值域 奇偶性 奇函数 单调性 在R上是________ x∈[0,+∞)______,x∈(-∞,0]______ 在R上是________ 在[0,+∞)上是增函数 x∈(0,+∞)____,x∈(-∞,0)____ 公共点 (1,1) 例1 (2016年4月学考)对任意的正实数a及m,n∈Q,下列运算正确的是( ) A.(am)n=am+n B.(am)n=amn C.(am)n=am-n D.(am)n=amn 例2 (2016年10月学考)设函数f(x)=( )x,g(x)=( )x,其中e为自然对数的底数,则( ) A.对于任意实数x恒有f(x)≥g(x) B.存在正实数x0使得f(x0)>g(x0) C.对于任意实数x恒有f(x)≤g(x) D.存在正实数x0使得f(x0) 例3 (2016年4月学考)函数f(x)=2x+a(a∈R),若函数f(x)的图象过点(3,18),则a的值为________. 例4 若loga(a2+1) A.(0,1)B.( ,1) C.(0, )D.(1,+∞) 例5 已知lga+lgb=0,则函数f(x)=ax与函数g(x)=-logbx的图象可能是( ) 例6 幂函数f(x)=(m2-m-1) 在(0,+∞)上为增函数,则m=________. 例7 在同一平面直角坐标系中,函数y=f(x)的图象与y=ex的图象关于直线y=x对称,函数y=f(x)的图象与y=g(x)的图象关于y轴对称.若g(m)=-1,则m=________. 例8 已知函数f(x)=logax(a>0,且a≠1). (1)若a=3,f( )=-5,求x的值; (2)若f(3a-1)>f(a),求实数a的取值范围; (3)若函数f(x)在区间[a,2a]上最大值是最小值的3倍,求a的值. 例9 已知定义在R上的奇函数f(x)=a·3x+3-x,a为常数. (1)求a的值; (2)用单调性定义证明f(x)在[0,+∞)上是减函数; (3)解不等式f(x-1)+f(2x+3)<0. 一、选择题 1.下列四类函数中,具有性质“对任意的x>0,y>0,函数f(x)满足f(x+y)=f(x)f(y)”的是( ) A.幂函数B.对数函数 C.指数函数D.余弦函数 2.若log32=a,则log38-2log36用a表示为( ) A.a-2B.a-1-a2 C.5a-2D.3a-2-a2 3.设a= 3,b=( )0.2,c= ,则( ) A.a C.c 4.下列函数中,既是偶函数又在区间(0,+∞)上是单调增函数的是( ) A.y= B.y=|x|-1 C.y=lgxD.y=( )|x| 5.对a(a>0且a≠1)取不同的值,函数y=loga 的图象恒过定点P,则P的坐标为( ) A.(1,0)B.(-2,0) C.(2,0)D.(-1,0) 6.在同一平面直角坐标系中,函数y=ax(a>0,且a≠1)与函数y=(1-a)x的图象可能是( ) 7.设偶函数f(x)=loga|x+b|在(-∞,0)上单调递减,则f(b-2)与f(a+1)的大小关系是( ) A.f(b-2)=f(a+1) B.f(b-2)>f(a+1) C.f(b-2) D.不能确定 二、填空题 8.已知幂函数f(x)的图象过点(2, ),则f(x)的单调减区间为________. 9.若函数y=f(x)是函数y=ax(a>0且a≠1)的反函数,其图象经过点( ,a),则f (2)=________. 10.若x+x-1=4,则 + =________. 11.已知f(x)= 则f(log23)=________. 12.函数f(x)=log2 · (2x)的最小值为________. 三、解答题 13.已知函数f(x)=2x+k·2-x,k∈R. (1)若函数f(x)为奇函数,求实数k的值; (2)若对任意的x∈[0,+∞),都有f(x)>2-x成立,求实数k的取值范围. 答案精析 知识条目排查 知识点一 1.xn=a 3.根指数 被开方数 4. (1)a (2)|a| (3)0 (4)偶次 知识点二 0 没有意义 知识点三 1. (1)ar+s (2)ars (3)arbr 知识点四 1.y=ax x R 2.(0,+∞) (0,1) 1 增函数 减函数 知识点五 1.a N x=logaN 底数 真数 3.logaN 知识点六 (1)logaM+logaN (2)logaM-logaN (3)NlogaM (5) 知识点七 1.logax x (0,+∞) 知识点八 y=x 相同 知识点九 1.y=xα x 2.R R R [0,+∞) {x|x≠0} R [0,+∞) R [0,+∞) {y|y≠0} 奇函数 偶函数 非奇非偶 奇函数 增函数 递增 递减 增函数 递减 递减 题型分类示例 例1 D 例2 D 例3 10 解析 由题意可得f(3)=23+a=18,得a=10. 例4 B [因为a2+1-2a=(a-1)2>0(a≠1), 所以a2+1>2a. 由loga(a2+1) 又loga2a<0=loga1,所以2a>1⇒a> . 综上所述, 例5 B [∵lga+lgb=0,∴lgab=0, 即ab=1. A项,∵g(x)的定义域为{x|x>0}, ∴A错误; B项,由图象知指数函数单调递增, ∴a>1,此时g(x)单调递增,满足条件; C项,由图象知指数函数单调递减, ∴0 D项,由图象知指数函数单调递增, ∴a>1,此时g(x)单调递增,不满足条件. 故答案为B.] 例6 2 解析 由题意知m2-m-1=1, 解得m=2或-1, 当m=-1时,幂函数f(x)=x-3在(0,+∞)上为减函数,不合题意,舍去; 当m=2时,幂函数f(x)=x3在(0,+∞)上为增函数,满足题意,∴m=2. 例7 - 解析 由题意,得f(x)=lnx. 由于函数y=f(x)的图象与y=g(x)的图象关于y轴对称, 可得g(x)=f(-x)=ln(-x),g(m)=-1, 即ln(-m)=-1,解得m=-e-1=- . 例8 解 (1)f( )=log3( )=-5, ∴ =3-5,∴x= = =38. (2)①若a>1,则f(x)在(0,+∞)上是增函数, ∴3a-1>a>1,解得a>1;
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