圆锥曲线中距离的最值问题.docx
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圆锥曲线中距离的最值问题
圆锥曲线中距离的最值问题
沙洋中学张仙梅
求圆锥曲线上一点到对称轴上一定点的距离的最值
例1:
已知椭
2
圆—+y2=1,点A(
4
,0),点P是椭圆上任意一点,
求|PA|的最值。
变式1:
已知椭
圆
169
,点A(0,2),点P是椭圆上任意
点,求|PA|的最值。
x2
訂1,点A(0,2)点P是双曲线上任意一点,求|PA|的
最值。
变式3:
2
已知抛物线y=4x,点A(
-,0),点P是抛物线上任意一点,求
2
|PA|的最
值。
X22
圆+y2=1和圆X2+(y-4)2=1各有一点A、B,
4
2
、””、,X22
变式5:
已知椭圆一+y2=i和圆x+(y-3)=5各有一点A、B,求AB的最大值。
.求圆锥曲线上一点P到定直线的距离的最值
22
例2:
已知椭圆C:
—+—=1,直线I:
x+2y+18=0。
(1)在椭圆上求一点Pi,使点
(2)在椭圆上求一点P2,使点
94
Pi到直线I的距离最近,并求出最近距离。
P2到直线I的距离最远,并求出最远距离。
22
Xy变式1:
已知椭圆C:
+=1,直线I:
x-y-24=0。
916
(1)在椭圆上求一点P1,使点P1到直线I的距离最近,并求出最近距离。
(2)在椭圆上求一点P2,使点P2到直线I的距离最远,并求出最远距离。
变式2:
已知抛物线C:
x2=4y,直线I:
x-y-2=0。
在抛物线求一点P,使点P到直线I的距离最近,并求出最近距离。
22
例3:
设Fi、F2分别是椭圆C:
—+—=1的左右焦点,P为椭圆上一点,M为圆
43
(x-4)2+(y-3)2=1上一点,则|PM|+|PF1|的最大值等于,最小值等于
变式1:
已知直线I经过抛物线C:
y2=4x的焦点F,且与抛物线相交于A、B两点。
(1)若AF=4,求点A的坐标;
(2)求线段AB的长的最小值。
(3)过A、B两点分别作y轴的垂线,垂足分别为C、D,求AC+BD的最小值。
点为焦点作椭圆。
(1)点P在何处时,所求椭圆的长轴最短?
(2)求长轴最短时椭圆方程。
四.利用第二定义求最值
已知定点P,焦点F,当与焦点F的相应准线和点P在圆锥曲线两侧时,在圆锥曲线上求一
1
点M使MP+-MF取最小值的问题,就要用第二定义求。
e
22
例4:
已知椭圆C:
—+—=1内有一点P(1,-1),F为椭圆的右焦点,在椭圆上有
43
点M,使MP+2MF取得最小值,求点M的坐标及最小值。
22
变式1:
已知点P(1,-3),F为椭圆—+^=1的右焦点,在椭圆上有一点Q,当
1612
1一
QF+—PQ取得最小值时,求点Q的坐标及最小值。
2
变式2:
如图所示,B地在A地的正东方向4km处,C地在B地的北偏东300方向2km处。
河流的沿岸PQ(曲线)上任意一点到A的距离比到B的距离远2km,现要在曲线PQ上选一处M建一座码头,向B、C两地转运货物,经测算,从M到B、C修建公路的费用分别为a万元/km,2a万元/km,那么修建这条公路的总费用最低是
变式3:
设Fi、F2分别是双曲线:
2
y
2=1(a>0,b>0)b2
的左右焦点,点
P在双曲线
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