全国硕士研究生入学统一考试数学一试题及答案.docx
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全国硕士研究生入学统一考试数学一试题及答案
2015年全国硕士研究生入学统一考试数学一试题答案
一、选择题:
18小题,每小题4分,共32分.下列每题给出的四个选项中,只有一个选项符合题目要求的,请将所选项前的字母填在答.题.纸.指定位置上.
(1)设函数f(x)在(-∞,+∞)内连续,其中二阶导数f''(x)的图形如图所示,则曲线
y=f(x)的拐点的个数为()
(A)0(B)1(C)2(D)3
【答案】(C)
【解析】拐点出现在二阶导数等于0,或二阶导数不存在的点,并且在这点的左右两侧二阶导函数异号。
因此,由f''(x)的图形可得,曲线y=f(x)存在两个拐点.故选(C).
(2)设y=1e2x+(x-1)ex是二阶常系数非齐次线性微分方程y'+ay'+by=cex的一
23
个特解,则()
(A)a=-3,b=2,c=-1
(B)a=3,b=2,c=-1
(C)a=-3,b=2,c=1
(D)a=3,b=2,c=1
【答案】(A)
【分析】此题考查二阶常系数非齐次线性微分方程的反问题——已知解来确定微分方程的系数,此类题有两种解法,一种是将特解代入原方程,然后比较等式两边的系数可得待估系数值,另一种是根据二阶线性微分方程解的性质和结构来求解,也就是下面演示的解法.
【解析】由题意可知,1e2x、-1ex为二阶常系数齐次微分方程y'+ay'+by=0的解,所以2,1
23
为特征方程r2+ar+b=0的根,从而a=-(1+2)=-,b=1⨯2=2,从而原方程变为
y'-3y'+2y=cex,再将特解y=xex代入得c=-1.故选(A)
∞
(3)若级数∑an条件收敛,则x=
n=1
(A)收敛点,收敛点
(B)收敛点,发散点
(C)发散点,收敛点
(D)发散点,发散点
【答案】(B)
∞
3与x=3依次为幂级数∑na(x-1)的()
n
n
n=1
【分析】此题考查幂级数收敛半径、收敛区间,幂级数的性质.
∞∞∞
【解析】因为∑a条件收敛,即x=2为幂级数∑a(x-1)n的条件收敛点,所以∑a(x-1)n
n
n=1
n
n=1
n
n=1
∞
n
的收敛半径为1,收敛区间为(0,2).而幂级数逐项求导不改变收敛区间,故∑na(x-1)n的收敛
n=1
区间还是(0,2).因而x=
∞
n
3与x=3依次为幂级数∑na(x-1)n的收敛点,发散点.故选(B).
n=1
(4)设D是第一象限由曲线2xy=1,4xy=1与直线y=x,y=
域,函数f(x,y)在D上连续,则⎰⎰f(x,y)dxdy=
D
3x围成的平面区
()
(A)
π
3dθ
1
sin2θ
1
f(rcosθ,rsinθ)rdr
42sin2θ
(B)
π
3dθ
1
sin2θ
1
f(rcosθ,rsinθ)rdr
42sin2θ
(C)
π
3dθ
1
sin2θ
1
f(rcosθ,rsinθ)dr
42sin2θ
(D)
π
3dθ
1
sin2θ
1
f(rcosθ,rsinθ)dr
42sin2θ
【答案】(B)
【分析】此题考查将二重积分化成极坐标系下的累次积分
【解析】先画出D的图形,
x
所以⎰⎰
f(x,y)dxdy=
π
3dθ
1
⎰1
f(rcosθ,rsinθ)rdr,故选(B)
D42sin2θ
⎛111⎫⎛1⎫
(5)设矩阵A=ç12a⎪,b=çd⎪,若集合Ω={1,2},则线性方程组Ax=b有
ç⎪ç⎪
ç14
a2⎪
çd2⎪
⎝⎭⎝⎭
无穷多解的充分必要条件为()
(A)a∉Ω,d∉Ω
(B)a∉Ω,d∈Ω
(C)a∈Ω,d∉Ω
(D)a∈Ω,d∈Ω
【答案】D
⎛1111⎫⎛1111⎫
【解析】(A,b)=ç12
ad⎪→ç01
a-1
d-1⎪
ç⎪ç⎪
ç14a2d2⎪ç00(a-1)(a-2)(d-1)(d-2)⎪
⎝⎭⎝⎭,
由r(A)=r(A,b)<3,故a=1或a=2,同时d=1或d=2。
故选(D)
(6)设二次型f(x1,x2,x3)
123
在正交变换为x=Py下的标准形为2y2+y2-y2
,其中
P=(e1,e2,e3)
,若Q=(e1,-e3,e2)
,则f(x1,x2,x3)在正交变换x=Qy下的标准
形为()
123
(A)2y2-y2+y2
123
(B)2y2+y2-y2
123
(C)2y2-y2-y2
123
(D)2y2+y2+y2
【答案】(A)
【解析】由x=Py,故f
⎛200⎫
ç⎪
123
PTAP=ç010⎪
=xTAx=yT(PTAP)y=2y2+y2-y2.且
ç00-1⎪.
⎝⎭
⎛100⎫
ç⎪
Q=Pç001⎪=PC
ç0-10⎪
⎝⎭
⎛200⎫
QTAQ=CT(PTAP)C=ç0-10⎪
所以f
ç⎪
⎝⎭
ç001⎪
123
=xTAx=yT(QTAQ)y=2y2-y2+y2。
选(A)
(7)若A,B为任意两个随机事件,则()
(A)
P(AB)≤P(A)P(B)
P(A)+P(B)
(B)
P(AB)≥P(A)P(B)
P(A)+P(B)
(C)
P(AB)≤(D)
2
P(AB)≥
2
【答案】(C)
【解析】由于AB⊂A,AB⊂B,按概率的基本性质,我们有P(AB)≤P(A)且P(AB)≤P(B),
从而P(AB)≤P(A)+P(B),选(C).
2
(8)设随机变量X,Y不相关,且EX=2,EY=1,DX=3,则E⎡⎣X(X+Y-2)⎤⎦=()
(A)-3
(B)3(C)-5
(D)5
【答案】(D)
【解析】E[X(X+Y-2)]=E(X2+XY-2X)=E(X2)+E(XY)-2E(X)
=D(X)+E2(X)+E(X)⋅E(Y)-2E(X)
=3+22+2⨯1-2⨯2=5,选(D).
二、填空题:
914小题,每小题4分,共24分.请将答案写在答.题.纸.指定位置上.
(9)
limlncosx=.
x→0
x2
【答案】-1
2
0
【分析】此题考查
0
型未定式极限,可直接用洛必达法则,也可以用等价无穷小替换.
-sinx
ln(cosx)
【解析】方法一:
limlim
cosx
=lim-tanx=-1.
x→0x2
x→02x
x→02x
2
-1x2
ln(cosx)ln(1+cosx-1)cosx-12
=-1.
x→0x2
x→0x2
x→0x2
x→0x22
π
⎰-π
sinx
1+cosx
(10)2(
2
+
x)dx=.
π2
【答案】
4
【分析】此题考查定积分的计算,需要用奇偶函数在对称区间上的性质化简.
π⎛sinx+⎫
ππ2
【解析】
2
-2⎝1+cosx
x⎪dx=2
⎭
2xdx=.
04
(11)若函数z=z(x,y)由方程ex+xyz+x+cosx=2确定,则dz(0,1)=.
【答案】-dx
【分析】此题考查隐函数求导.
【解析】令F(x,y,z)=ez+xyz+x+cosx-2,则
xyz
F'(x,y,z)=yz+1-sinx,F'=xz,F'(x,y,z)=ez+xy
又当x=0,y=1时ez=1,即z=0.
∂zFx'(0,1,0)∂z
Fy'(0,1,0)
所以∂x(0,1)=-F'(0,1,0)=-1,∂y
(0,1)=-F'(0,1,0)=0,因而dz(0,1)=-dx.
(12)设Ω是由平面x+y+z=1与三个坐标平面平面所围成的空间区域,则
⎰⎰⎰(x+2y+3z)dxdydz=.
Ω
1
【答案】
4
【分析】此题考查三重积分的计算,可直接计算,也可以利用轮换对称性化简后再计算.
【解析】由轮换对称性,得
1
⎰⎰⎰(x+2y+3z)dxdydz=6⎰⎰⎰zdxdydz=6⎰0zdz⎰⎰dxdy,
ΩΩDz
其中D为平面z=z截空间区域Ω所得的截面,其面积为1(1-z)2.所以
z2
⎰⎰⎰(x+2y+3z)dxdydz=6⎰⎰⎰zdxdydz=6⎰1z⋅1(1-z)2dz=3⎰1(z3-2z2+z)dz=1.
ΩΩ0204
2
0
0
2
(13)n阶行列式
-1
2
0
2
=.
0
0
2
2
0
0
-1
2
【答案】2n+1-2
【解析】按第一行展开得
20
-12
Dn=
00
00
=2Dn-1
+(-1)n+12(-1)n-1=2D+2
=2(2Dn-2
+2)+2=22D
+22+2=2n+2n-1+
=2n+1-2
(14)设二维随机变量(x,y)服从正态分布N(1,1,0,1,0),则P{XY-Y<0}=.
1
【答案】
2
【解析】由题设知,X~N(1,1),Y~N(0,1),而且X、Y相互独立,从而
P{XY-Y<0}=P{(X-1)Y<0}=P{X-1>0,Y<0}+P{X-1<0,Y>0}
1111
=P{X>1}P{Y<0}+P{X<1}PY{>0=}⨯+⨯.
2222
三、解答题:
15~23小题,共94分.请将解答写在答.题.纸.指定位置上.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
(15)(本题满分10分)设函数f(x)=x+aln(1+x)+bxsinx,g(x)=kx3,若f
x→0是等价无穷小,求a,b,k的值.
11
(x)与g(x)在
【答案】a=-1,b=-
k=-.
23
【解析】法一:
原式limx+aln(1+x)+bxsinx=1
⎛x2
x→0
x3
kx3
3⎫⎛x33⎫
x+açx-++o(x)⎪+bxçx-+o(x)⎪
=lim
x→0
⎝23
⎭⎝6
kx3
⎭=1
(1+a)x+⎛b-a⎫x2+ax3-bx4+o(x3)
ç2⎪36
=lim
x→0
⎝⎭=1
kx3
aa
即1+a=0,b-=0,=1
23k
∴a=-1,b=-1,k=-1
23
法二:
limx+aln(1+x)+bxsinx=1
x→0
kx3
1+a+bsinx+bxcosx
=lim1+x=1
x→0
3kx2
因为分子的极限为0,则a=-1
--1+2bcosx-bxsinx
(1+x)2
lim
=1,分子的极限为0,b=-1
x→0
-2
6kx2
-
1
2bsinx-bsinx-bxcosx
=lim
x→0
(1+x)36k
=1,k=-
3
∴a=-1,b=-1,k=-1
23
(16)(本题满分10分)设函数f(x)在定义域I上的导数大于零,若对任意的x0∈I,曲线y=f(x)在点(x0,f(x0))处的切线与直线x=x0及x轴所围成区域的面积恒为4,且f(0)=2,求f(x)的表达式.
【答案】f(x)=
8
4-x.
【解析】设f(x)在点(x0,f(x0))处的切线方程为:
y-f(x0)=f'(x0)(x-x0),
f(x0)
0
令y=0,得到x=-f'(x
1
)+x0,
1
f(x0)
0
故由题意,2f(x0)⋅(x0-x)=4,即2f(x0)⋅f'(x
)=4,可以转化为一阶微分方程,
即y'
y2
,可分离变量得到通解为:
1=-1
x+C,
8y8
已知y(0)=2,得到C=1,因此1=-1x+1;
2
即f(x)=-x+4.(17)(本题满分10分)
y82
已知函数
f(x,y)=x+y+xy,曲线C:
x2+y2+xy=3,求
f(x,y)在曲
线C上的最大方向导数.
【答案】3
【解析】因为f(x,y)沿着梯度的方向的方向导数最大,且最大值为梯度的模.
fx'(x,y)=1+y,fy'(x,y)=1+x,
故gradf(x,y)={1+y,1+x},模为
此题目转化为对函数g(x,y)=
即为条件极值问题.
,
在约束条件C:
x2+y2+xy=3下的最大值.
为了计算简单,可以转化为对d(x,y)=(1+y)2+(1+x)2在约束条件C:
x2+y2+xy=3下的最大值.
构造函数:
F(x,y,λ)=(1+y)2+(1+x)2+λ(x2+y2+xy-3)
⎧Fx'=2(1+x)+λ(2x+y)=0
⎪F'=2(1+y)+λ(2y+x)=0,得到M(1,1),M(-1,-1),M(2,-1),M(-1,2).
⎨y1234
⎪F'=x2+y2+xy-3=0
⎩λ
d(M1)=8,d(M2)=0,d(M3)=9,d(M4)=9
所以最大值为
=3.
(18)(本题满分10分)
(I)设函数u(x),v(x)可导,利用导数定义证明[u(x)v(x)]'
=u'(x)v(x)+u(x)v'(x)
(II)设函数u1(x),u2(x),,un(x)可导,f(x)=
式.
u1(x)u2(x)
un(x),写出f(x)的求导公
【解析】(I)[u(x)v(x)]'=limu(x+h)v(x+h)-u(x)v(x)
h→0h
=limu(x+h)v(x+h)-u(x+h)v(x)+u(x+h)v(x)-u(x)v(x)
h→0h
=limu(x+h)v(x+h)-v(x)+limu(x+h)-u(x)v(x)
h→0
hh→0h
=u(x)v'(x)+u'(x)v(x)
(II)由题意得
f'(x)=[u1(x)u2(x)
=u'(x)u(x)
(19)(本题满分10分)
⎧⎪z=2-x2-y2,
已知曲线L的方程为⎨
⎪⎩z=x,
起点为A(0,2,0),终点为B(0,-
2,0),计算
⎰
曲线积分I=(y+z)dx+(z2-x2+y)dy+x2y2dz
L
【答案】π2
⎧x=cosθ
⎪ππ
【解析】由题意假设参数方程⎨y=
2sinθ,θ:
→-
22
⎩
⎪z=cosθ
-
π
⎰π2[-(2sinθ+cosθ)sinθ+2sinθcosθ+(1+sin2θ)sinθ]dθ
2
-
π
=⎰π2-
2
2sin2θ+sinθcosθ+(1+sin2θ)sinθdθ
⎰
π
=222sin2θdθ=π
02
(20)(本题满11分)
设向量组α1,α2,α3为R3的一个基,β=2α+2kα,β=2α,β=α+(k+1)α.
(I)
123
证明向量组βββ为R3的一个基;
11322
313
α,α,α
(II)当k为何值时,存在非0向量ξ在基1
ξ.
【答案】
【解析】(I)证明:
23与基β1β2β3下的坐标相同,并求所有的
(β1,β2,β3)=(2α1+2kα3,2α2,α1+(k+1)α3)
=(α,α,α
⎛201⎫
)ç020⎪
123ç⎪
ç2k0k+1⎪
⎝⎭
201
020
=221
2kk+1
=4≠0
2k0k+1
123
故β,β,β为R3的一个基.
(II)由题意知,
ξ=k1β1+k2β2+k3β3
即
=k1α1+k2α2+k3α3,ξ≠0
k1(β1-α1)+k2(β2-α2)+k3(β3-α3)=0,
ki≠0,i=1,2,3
k1(2α1+2kα3-α1)+k2(2α2-α2)+k3(α1+(k+1)α3-α3)=0
k1(α1+2kα3)+k2(α2)+k3(α1+kα3)=0有非零解
即α1+2kα3,α2,α1+kα3=0
101
即010=0,得k=0
2k0k
k1α1+k2α2+k3α1=0
∴k2=0,k1+k3=0
ξ=k1α1-k1α3,k1≠0
(21)(本题满分11分)
⎛02
-3⎫
⎛1-20⎫
设矩阵A=ç-13-3⎪相似于矩阵B=ç0b0⎪.
ç⎪ç⎪
ç1-2a⎪ç031⎪
⎝⎭⎝⎭
(I)求a,b的值;
(II)求可逆矩阵P,使P-1AP为对角矩阵..
【解析】(I)
A~B⇒tr(A)=tr(B)⇒3+a=1+b+1
02-31-20
A=B⇒-13-3=0b0
1-2a
031
∴⎧a-b=-1⇒⎧a=4
⎨2a-b=3⎨=5
⎩⎩b
(II)(II)
⎛02
A=ç-13
-3⎫⎛100⎫⎛-12
-3⎪=ç010⎪+ç-12
-3⎫
-3⎪=E+C
ç⎪ç⎪ç⎪
ç1-23⎪ç001⎪ç1-23⎪
⎝⎭⎝⎭⎝⎭
⎛-12
C=ç-12
-3⎫⎛-1⎫
-3⎪=ç-1⎪(1
-23)
ç⎪ç⎪
ç1-23⎪ç1⎪
⎝⎭⎝⎭
C的特征值λ1=λ2=0,λ3=4
λ=0时(0E-C)x=0的基础解系为ξ
=(2,1,0)T;ξ
=(-3,0,1)T
12
3
λ=5时(4E-C)x=0的基础解系为ξ=(-1,-1,1)T
A的特征值λA=1+λC:
1,1,5
⎛2-3-1⎫
令P=(ξ,ξ,ξ)=ç10-1⎪,
123
⎛1
∴P-1AP=ç1
ç⎪
⎝⎭
ç011⎪
⎫
⎪
ç⎪
ç5⎪
⎝⎭
⎧⎪2-xln2,x>0,
(22)(本题满分11分)设随机变量X的概率密度为f(x)=⎨
⎪⎩0,
x≤0.
对X进行独立重复的观测,直到2个大于3的观测值出现的停止.记Y为观测次数.(I)求Y的概率分布;
(II)求EY
【解析】(I)记p为观测值大于3的概率,则p=P(X>3)=⎰+∞2-xln2dx=1,
从而P{Y=n}=
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