课时2二次函数与一次函数的综合题教师用.docx
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课时2二次函数与一次函数的综合题教师用
Ø全面剖析中考热点全新设计复习专题
Ø全程着眼应试策略全力提升解题能力
学如逆水行舟,不进则退;
心似平原走马,易放难收;
知不足者好学,耻下问者自满;
知之为知之,不知为不知,是知也;
善学者,假人之长以补其短。
学生姓名:
授课日期:
一、基础训练
1.(北京市4分)在平面直角坐标系
中,我们把横、纵坐标都是整数的点叫做整点.已知点
A(0,4),点B是
轴正半轴上的整点,记△AOB内部(不包括边界)的整点个数为m.当m=3时,点
B的横坐标的所有可能值是▲;当点B的横坐标为4n(n为正整数)时,m=(用含n
的代数式表示.)
【答案】3或4;6n-3。
【考点】分类归纳(图形的变化类),点的坐标,矩形的性质。
【分析】根据题意画出图形,再找出点B的横坐标与△AOB内部(不包括边界)的整点m之间的关系即可求出答案:
如图:
当点B在(3,0)点或(4,0)点时,△AOB内部(不包括边界)的整点为(1,1),
(1,2),(2,1),共三个点,∴当m=3时,点B的横坐标的所有可能值是3或4。
当点B的横坐标为4n(n为正整数)时,
∵以OB为长OA为宽的矩形内(不包括边界)的整点个数为(4n-1)×3=12n-3,对角线AB上的整点个数总为3,
∴△AOB内部(不包括边界)的整点个数m=(12n-3-3)÷2=6n-3。
2.(天津市3分)“三等分任意角”是数学史上一个著名问题
已知一个角∠MAN设
(Ⅰ)当∠MAN=690时,
的大小为▲(度);
(Ⅱ)如图,将∠MAN放置在每个小正方形的边长为1cm的网格中,角的一边AM与水平方向的网格线平行,另一边AN经过格点B,且AB=2.5cm.现要求只能使用带刻度的直尺,请你在图中作出
,并简要说明作法(不要求证明)▲.
3.(上海市4分)如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,∠A=30°,BC=1,点D在AC上,将△ADB沿直线BD翻折后,将点A落在点E处,如果AD⊥ED,那么线段DE的长为▲.
【答案】
。
【考点】翻折变换(折叠问题),折叠对称的性质,锐角三角函数定义,特殊角的三角函数值,三角形内角和定理,等腰三角形的判定和性质。
【分析】∵在Rt△ABC中,∠C=90°,∠A=30°,BC=1,
∴
。
∵将△ADB沿直线BD翻折后,将点A落在点E处,∴∠ADB=∠EDB,DE=AD。
∵AD⊥ED,∴∠CDE=∠ADE=90°,
∴∠EDB=∠ADB=
。
∴∠CDB=∠EDB﹣∠CDE=135°-90°=45°。
∵∠C=90°,∴∠CBD=∠CDB=45°。
∴CD=BC=1。
∴DE=AD=AC﹣CD=
。
4.(重庆市4分)甲、乙两人玩纸牌游戏,从足够数量的纸牌中取牌.规定每人最多两种取法,甲每次取4张或(4﹣k)张,乙每次取6张或(6﹣k)张(k是常数,0<k<4).经统计,甲共取了15次,乙共取了17次,并且乙至少取了一次6张牌,最终两人所取牌的总张数恰好相等,那么纸牌最少有
▲张.
【答案】108。
【考点】分类归纳(数字的变化类)。
【分析】设甲a次取(4﹣k)张,乙b次取(6﹣k)张,则甲(15﹣a)次取4张,乙(17﹣b)次取6张。
∴甲共取牌(60﹣ka)张,乙共取牌(102﹣kb)张。
∴两人总共取牌:
N=(60﹣ka)+(102﹣kb)=162﹣k(a+b)张。
要使牌最少,即要使N最小。
∵k为正数,∴要使N最小,只要a+b最大。
∵由题意得,a≤15,b≤16,又最终两人所取牌的总张数恰好相等,∴k(b﹣a)=42。
又∵0<k<4,b﹣a为整数,∴由整除的知识,k=1,2,3。
①当k=1时,b﹣a=42,因为a≤15,b≤16,所以这种情况舍去;
②当k=2时,b﹣a=21,因为a≤15,b≤16,所以这种情况舍去;
③当k=3时,b﹣a=14,此时可以符合题意。
∴要保证a≤15,b≤16,b﹣a=14,(a+b)值最大,
∴b=16,a=2或b=15,a=1或b=14,a=0。
∵当b=16,a=2时,a+b=18;当b=15,a=1时,a+b=16;当b=14,a=0时,a+b=14;
∴当b=16,a=2时,a+b最大。
∴k=3,(a+b)=18,N=﹣3×18+162=108(张)。
∴满足条件的纸牌最少有108张。
5.(安徽省5分)如图,P是矩形ABCD内的任意一点,连接PA、PB、PC、PD,得到△PAB、△PBC、△PCD、△PDA,设它们的面积分别是S1、S2、S3、S4,给出如下结论:
①S1+S2=S3+S4②S2+S4=S1+S3
③若S3=2S1,则S4=2S2④若S1=S2,则P点在矩形的对角线上
其中正确的结论的序号是▲(把所有正确结论的序号都填在横线上).
【答案】②④。
【考点】矩形的性质,相似
【分析】如图,过点P分别作四个三角形的高,
∵△APD以AD为底边,△PBC以BC为底边,
∴此时两三角形的高的和为AB,
∴S1+S3=
S矩形ABCD;
同理可得出S2+S4=
S矩形ABCD。
∴②S2+S4=S1+S3正确,则①S1+S2=S3+S4错误。
若S3=2S1,只能得出△APD与△PBC高度之比,S4不一定等于2S2;故结论③错误。
如图,若S1=S2,则
×PF×AD=
×PE×AB,
∴△APD与△PBA高度之比为:
PF:
PE=AB:
AD。
∵∠DAE=∠PEA=∠PFA=90°,∴四边形AEPF是矩形,
∴矩形AEPF∽矩形ABCD。
连接AC。
∴PF:
CD=PE:
BC=AP:
AC,
即PF:
CD=AF:
AD=AP:
AC。
∴△APF∽△ACD。
∴∠PAF=∠CAD。
∴点A、P、C共线。
∴P点在矩形的对角线上。
故结论④正确。
综上所述,结论②和④正确。
二次函数与一次函数的综合题
例1、(吉林长春10分)如图,在平面直角坐标系中,直线y=-2x+42交x轴与点A,交直线y=x于点B,抛物线
分别交线段AB、OB于点C、D,点C和点D的横坐标分别为16和4,点P在这条抛物线上.
(1)求点C、D的纵坐标.
(2)求a、c的值.
(3)若Q为线段OB上一点,且P、Q两点的纵坐标都为5,求线段PQ的长.
(4)若Q为线段OB或线段AB上的一点,PQ⊥x轴,设P、Q两点之间的距离为d(d>0),点Q的横坐标为m,直接写出d随m的增大而减小时m的取值范围.
(参考公式:
二次函数
图像的顶点坐标为
)
【答案】解:
(1)∵点C在直线AB:
y=-2x+42上,且C点的横坐标为16,
∴y=-2×16+42=10,即点C的纵坐标为10。
∵D点在直线OB:
y=x上,且D点的横坐标为4,∴点D的纵坐标为4。
(2)由
(1)知点C的坐标为(16,10),点D的坐标为(4,4),
∵抛物线
经过C、D两点,
∴
,解得:
。
∴抛物线的解析式为
。
(3)∵P为线段OB上一点,纵坐标为5,∴P点的横坐标也为5。
∵点Q在抛物线上,纵坐标为5,∴
,解得
。
当点Q的坐标为(
,5),点P的坐标为(5,5),线段PQ的长为
;
当点Q的坐标为(
,5),点P的坐标为(5,5),线段PQ的长为
。
所以线段PQ的长为
或
。
(4)当0≤m<4或12≤m<16时,d随m的增大而减小。
【考点】二次函数综合题,曲线上点的坐标与方程的关系,解二元一次方程组和一元二次方程,二次函数的性质。
例2.(湖北荆州12分)已知:
y关于x的函数y=(k﹣1)x2﹣2kx+k+2的图象与x轴有交点.
(1)求k的取值范围;
(2)若x1,x2是函数图象与x轴两个交点的横坐标,且满足(k﹣1)x12+2kx2+k+2=4x1x2.
①求k的值;②当k≤x≤k+2时,请结合函数图象确定y的最大值和最小值.
【答案】解:
(1)当k=1时,函数为一次函数y=﹣2x+3,其图象与x轴有一个交点。
当k≠1时,函数为二次函数,其图象与x轴有一个或两个交点,
令y=0得(k﹣1)x2﹣2kx+k+2=0.
△=(﹣2k)2﹣4(k﹣1)(k+2)≥0,解得k≤2.即k≤2且k≠1。
综上所述,k的取值范围是k≤2。
(2)①∵x1≠x2,由
(1)知k<2且k≠1。
由题意得(k﹣1)x12+(k+2)=2kx1(*),
将(*)代入(k﹣1)x12+2kx2+k+2=4x1x2中得:
2k(x1+x2)=4x1x2。
又∵x1+x2=
,x1x2=
,∴2k•
=4•
,
解得:
k1=﹣1,k2=2(不合题意,舍去)。
∴所求k值为﹣1。
②如图,∵k1=﹣1,y=﹣2x2+2x+1=﹣2(x﹣
)2+
,且﹣1≤x≤1,
由图象知:
当x=﹣1时,y最小=﹣3;当x=
时,y最大=
。
∴y的最大值为
,最小值为﹣3。
【考点】抛物线与x轴的交点,一次函数的定义,一元二次方程根的判别式和根与系数物关系,二次函数的最值。
例3.(湖北孝感12分))如图,抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)与x轴交于点A(-1,0)、B(3,0),与y轴交于点C(0,3).
(1)求抛物线的解析式及顶点D的坐标;
(2)若P为线段BD上的一个动点,过点P作PM⊥x轴于点M,求四边形PMAC的面积的最大值和此时点P的坐标;
(3)若点P是抛物线第一象限上的一个动点,过点P作PQ∥AC交x轴于点Q.当点P的坐标为时,四边形PQAC是平行四边形;当点P的坐标为时,四边形PQAC是等腰梯形(直接写出结果,不写求解过程).
【答案】解:
(1)∵抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)与x轴交于点A(-1,0)、B(3,0),
∴可设抛物线的解析式为
。
又∵抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)与y轴交于点C(0,3),
∴
,解得
。
∴抛物线的解析式为
。
即
。
又∵
,∴抛物线顶点D的坐标为(1,4)。
(2)设直线BD的解析式为
,
由B(3,0),D(1,4)得
,解得
。
∴直线BD的解析式为
。
∵点P在直线PD上,∴设P(p,
)。
则OA=1,OC=3,OM=p,PM=
。
∴
。
∵
,∴当
时,四边形PMAC的面积取得最大值为
,此时点P的坐
标为(
)。
(3)(2,3);(
)。
【考点】二次函数综合题,待定系数法,曲线上点的坐标与方程的关系,二次函数的性质,平行四边形的判定,等腰梯形的判定,相似三角形的判定和性质勾股定理,解一元二次方程。
例4.(江苏镇江9分)对于二次函数
和一次函数
,把
称为这两个函数的“再生二次函数”,其中t是不为零的实数,其图象记作抛物线E。
现有点A(2,0)和抛物线E上的点B(-1,n),请完成下列任务:
【尝试】
(1)当t=2时,抛物线
的顶点坐标为▲。
(2)判断点A是否在抛物线E上;
(3)求n的值。
【发现】通过
(2)和(3)的演算可知,对于t取任何不为零的实数,抛物线E总过定点,坐标为▲。
【应用1】二次函数
是二次函数
和一次函数
的一个“再生二次函数”吗?
如果是,求出t的值;如果不是,说明理由;
【应用2】以AB为边作矩形ABCD,使得其中一个顶点落在y轴上,或抛物线E经过A、B、C、D其中的一点,求出所有符合条件的t的值。
【答案】解:
【尝试】
(1)(1,-2)。
(2)点A在抛物线E上,理由如下:
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- 课时 二次 函数 一次 综合 教师
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