第三章线性系统状态方程解.docx
- 文档编号:7867370
- 上传时间:2023-01-26
- 格式:DOCX
- 页数:22
- 大小:120.17KB
第三章线性系统状态方程解.docx
《第三章线性系统状态方程解.docx》由会员分享,可在线阅读,更多相关《第三章线性系统状态方程解.docx(22页珍藏版)》请在冰豆网上搜索。
第三章线性系统状态方程解
第三章线性系统的运动分析
§3-1线性连续定常齐次方程求解
一、齐次方程和状态转移矩阵的定义
1、齐次方程
状态方程的齐次方程部分反映系统自由运动的状况(即没有输入作用的状况),设系统的状态方程的齐次部分为:
x(r)=Ax(t)
线性泄常连续系统:
X=A.V
2、状态转移矩阵的定义
齐次状态方程i=Ax有两种常见解法:
(1)幕级数法;
(2)拉氏变换法。
其解为巩7)=/'」(0)。
其中e川称为状态转移矩阵(或矩阵指数函数、矩阵指数),记为:
0(j)=eAl。
若初始条件为x(G,则状态转移矩阵记为:
①(―7。
)=严如
对于线性时变系统,状态转移矩阵写为0(/,山),它是时刻t,t。
的函数。
但它一般不能写成指数形式。
(1)幕级数法
设x=A.X-的解是t的向量幕级数
x(f)=/?
<)++b-)t~++bj,+
式中仇,b\,b”…,仪,…都是n维向量,则
x(t)=I人+2b2t+3byt2++kbktk~l+
=A(仇+Z?
/+/>,r++bf+)
故而有:
b=a%
S=—Ab.=—A2ba
・2i20
b.=-Ab,=-Aib.
3^3!
0
且有x(0)=b{)a
x(t)=h()+bit+b2t2++bf+
=Z?
o+Ab^t+—A-b°t~+…—Akb^t&+…k!
1
""2!
={I+At+—A2t2+・-+—Aktk+-)x(0)
2!
k\
定义:
宀M+討尸+…+討
x1
+…=字刘
K・ok'・
则x(t)=eAl・x(0)o
(2)拉氏变换解法
将x=Ax两端取拉氏变换,有
5A(5)一x(0)=Ax(s)
(si一A)A(5)=x(0)
x(s)=(si—A)"1•x(0)
拉氏反变换,有
x(r)=L-,[(^-A)-,]x(0)
则
如)=eA,[(si-AV1]
01
【例3.1.1]已知系统的状态方程为i=Q°x,初始条件为双0),试求状态转移矩阵
和状态方程的解。
解:
(1)求状态转移矩阵
如)f+亦¥八…+#八…
此题中:
01
00
A=
>—A——A—
00
00
所以
【例3.1.2]已知系统状态方程为大=
初始条件为班0),试求状态方程的
0(/)=eA!
=I+At=
1
0
0
1
+
0t
00
=
1t
01
(2)状态方程的解
「1
X(/)=^.A(0)=
t
•40)
0
1
解。
解:
x(f)=eA,•x(0)
(W—矿
(5+1)(5+2)-2
5+15+2
-22
H
5+15+2
5+15+2
-12
+
5+15+2
•••如)=严=r1[CvZ-A)-|]=
2e"r一严e
_2厂+2宀_严+2k『
s0
■01'
s-1
0S-
-2_3.
2$+3.
故而
x(t)=eArx(0)=
2Q-严宀严
一2旷+2水刀+2e'2r
-r
x(0)
二、状态转移矩阵的性质
=eAf=I+At+—A2r+•…+—Aktk+…“2!
k\
(1)0(0)=/
%Example3.1・2:
馭ATLABsymsstx;A=sym(,[0,l;-2,-3]');
I=eye
(2);
L=inv(s*I-A)lap=ilaplace(L)x=lap*x
(2)0(/)=A0(/)=0(r)A
0(0)=A
(3)04±r2)=0(/J0(±『2)=飒七2)0(G
证明:
0(片+t2)=eAi,l±,2i=eA(ll)-eA(±l2i=)^(±r2)=^(+t2)
(4)0"(r)=0(_f),0"(_r)=0(f)
证明:
0(0)=0(f-r)=0⑴°(-r)=/=>0J(『)=0(-r)
(5)X(/)=0(f—/())■¥(“))
证明:
x(t)=^(r)x(0)
x(G)=如0)x(0)=>x(0)=©J(『(>)•Wo),代入上式
・•・x(t)=0(/)0"(r0)•X(t0)=0(f-tQ)x(t0)
证毕。
(6)0(『2-厶)=0(『2-")0("-G)
证明:
x(r2)=^(r2-r())x(r0)
(1)
心)=州f)x(m)
(2)
X(t2)=0(『2一fl)X(F])=0(『2一/])处1一K『o)•(3)
比较
(1)、(3)式,有 (/[一/())成立。 证毕。 (7)[0("=0(竝) 证明: =[eAl]k==/側)=0伙f) (8)若AE=BA,则e^B},=eA,-eB,=eBt-eA, 若ABHBA,则严即H•』W』•eA, (9)设0(/)为x=Ax的状态转移矩阵,引入非奇异变换x=Px后的状态转移矩阵为: 孔)=p-\/P 证明: '^x=Px^Kx=Ax中,有 X=P'}APx0(/)=»口4刊 el,~'APt=I+P~lAPt+-^P'lAP)2t2+--+-^P'lAP)ktk+… ^2! k! =P~[P+P~lAPt+丄(pTAP)2/2+…+丄(PTAP)S+---k! =pT(/+A/+—A2t2+・・・+—Aktk+…)P 2! k\ =P~leA,P : .=P^eAlP.证毕。 (10)两种常见的状态转移矩阵 ①设A=diagg,几2,血], 即A为对角阵,且具有互异元素。 则 0(f)= ②设A为mXm约当阵 t则0(/)= __! _严/(加一1)! 一1一严2/(加-2)! nrx;« 【例3・1.3] 已知状态转移矩阵为 -r 试求0"(r)和A。 解: (1)根据状态转移矩阵的性质4,可知 e1-e2t—R+2e1! (2)根据状态转移矩阵的性质2,可知 12J+2eJ -宀2f -01■ 2c'1-4e~21 宀4e~ r=0- -2-3 A=0(0)= 【例3.1.41已知 4x4 1 0 0 0 sin/ cost 0 -cost sin/ 解: 禾 1用性质 (1) 0(0 )= =1 0 0 1 0 0 sin/ cos/ — 0 0 0 -cos? sin t t=0 0 -1 【例3.1.5]验证如下矩阵是否为状态转移矩阵。 0 1所以该矩阵不是状态转移矩阵。 0 试求状态转移矩阵 解: 根据状态转移矩阵的性质10,可知 1力 —te 2 6 0(/)=eA,= 0 teh —te 2 0 0 / 0 0 0 【例3.1.6】已知系统状态方程为x=Av, 时, 当x(O)= 2 -1 M)= 试求系统矩阵A和状态转移矩阵o 解: 由性质 (2)可知: A=0(0) 由已知,有 x(t)=eA,-x(0) 2e^1+2水" _2"+4f 'o 2' h-2e® f=0 —1 -3_ .・.A=0⑴厲 §3-2线性连续定常非齐次状态方程的解 线性泄常非齐次状态方程: x=Ax+Bu,求x(r)。 1、直接积分法 x=Ax+Bu左乘e~Ar,有 e~At(x-A.x)=e~A,Bu 由于—(e-At-x)=e~A,(x-Ax) 所以—(e-A,-x)=e-A,Bu.两端同时积分,有 e~A,x(t)-x(0)=£不山•Bu{T)dr ・•・x(/)=/U(0)+£•Bu(t}cIt =0(f)x(O)+[)>(t-r)-Bu(r)dr 注意: 若取5作为初始时刻,积分可得: e~A,x(t)—e~A,ax(tQ)=fe~Ar-Bu(T)dr X(r)=(/°)+「RF・BlKCdT 2、拉氏变换法 x=Ax+Bu,两边同时取拉氏变换 sx(s)-x(0)=Ax(s)+Bu(s) (si-A)x(s)=x(0)+Bu(s) 则x(s)=(si一A)"1x(0)+(si一Ay1Bu(s) x(t)=L[(si一A)"1]x(0)+L[(si一A)"1B"(s)] 由拉氏变换卷积立理: LIR(s).F2(s)]=£/,(r-r).f2(r)Jr 在此(si-A)-'视为F,(5),Bu(s)视为F2(5)o则 x(t)=eArx(O)+£ew•Bu{T}dT 【例3.2.1】 已知系统状态方程为°1A+°a,输入w(r)=l(r), —2—31 初始条件为x(0)=X,(0),试求解此非齐次状态方程。 山(0)」 解: 由已知有 x(t)=0x(0)+£'•Bu{T}dT (1)先求由前面例题可知 一2占+2戶『一旷+2戶『 (2)求]严 =4 Jo 严Y) 严门 一严F +2严° dr d(t-T) +丄严门 2 0 W•昨T Le—ee—eu1 -2e-(,~n+2e-2(,~n_「"+2水J|_1_|处 故而 x(t)= 飞(0)' 1,1" 一_「+—严 + 22 「+2e~2,_ 七(0) 占一严 2宀严 —2H+2fJ 特别说明: 若班0)=卜7]则血)=|-^"+2H(o)」L°J[宀严 其状态轨迹图可以MABLAB绘出: %Example3・2・1matlabprogram: grid; xlabelC时间轴'); ylabel('x代表xl»*代表x2'); t=0: : 10; xl=(-t)+*exp(-2*t); x2=exp(-t)-exp(-2*t); plot(t,xl,'x\t,x2,、*) end §3-3状态转移矩阵F的计算 K直接幕级数法 I1x1 eAl=I+At+—A2t2+…+—AY+•・・=,—Akt 2! k\徐 2、拉氏变换法 eM=L[("—A)7]3、利用性质,釆用对角化的方法 【例3."已知系统状态方程为寸’试利用对角化的方法求几 解出特征值人=-1, 解: det(/7-A)=(2+1)(2+2)=0, 选用变换阵P,使P'[AP对角化。 由于A为友矩阵,故P可选为: ■11' ■11- 2] -1-2 21 -1-1 根据严⑷=P^eAtP可推出: 严=PeKAPlP^ 4.利用Caylay-Hamilton定理计算(待定系数法) (1)Caylay-Hamilton定理 设n阶矩阵A的特征多项式为: / (2)=国一內=才+勺_&1+……+务兄+q 则A满足其特征方程,即 f(A)=A,r+如占+……+a{A+aQI=0 (2)推论1 矩阵A的k(k>n)次幕,可表示为A的(n-1)阶多项式 Ak=,,k>n 121 【例如】己知A=,求AI 01 解: A的特征多项式为: ・f“)=W_冲=才_2兄+1 根据Caylay-Hamilton定理,有 /(A)=A2-2A+/=0,•••屮=24-/^A3=AA2=A(2A-/)=2A2-A=2(2A-7)-A=3A-27 屮=AA3=A(3A-2I)=3A2-2A=3(2A-/)-2A=4A-3/ 依次归纳,有: =化4_伙_1)/ 所以有: A*00 =1004—99/= 100 0 200]「99iooj_j_o 01T1200 99J[01 (3)推论2 状态转移矩e”可表示为A的(n-1)阶多项式 /I-1 宀m⑴八 //M) 式中,5(r),aI⑴,…,a”-(/)均为幕函数。 .0]・ 【例3.3.2]已知系统状态方程为丘=x, -2_3. 试利用Caylay-Hamilton定理求。 解: (1)求系统矩阵A的特征值 det(刀一A)=0=>(几+1)(A+2)=0,解岀几]=—1,人=—2 (2)一般情况下,对于n个互异的特征值人,人,…,九,写出如下方程组: 6/q+Aj+G分石++%-1几;1=/' (Iq+q入+心兄;++勺? _1几;1=£“ 5+a{A,n+心尤++=八, 并解出色,5……,©即可。 对于本例: a04-q2,=eA-'aQ—2q=e~2t 解出a。 =2e"-e~2t,q=厂-严 (3)对于系统具有n个互异的特征值人,儿,…,血的情况,按下式计算/': eA'=a。 /+①A+A~++a”_/z 对于本例有: =a0I+a{A= ・2"-八- ._2“+2不"_宀2产[ §3-4离散系统状态方程的解 一、由差分方程建立动态方程 线性离散系统的动态方程可以充分利用差分方程建立,也可以利用线性连续动态方程的离散化得到。 SISO线性左常离散系统的差分方程一般形式为: y伙+n)+%』伙+/? -1)++axy(k+1)+aoy(k) =bnu(k+n)+bn_xu(k+n-1)++bgk+1)+伙) 式中,k表示kT时刻: T为采样周期: y(k)、u(k)分别为kT时刻的输出量和输入量: ①、 S(i=0,1,2,……,n,且心=1)为表征系统特征的常数。 考虑初始条件为零时的Z变换关系有: Z[y伙)]=y(z),Z[y(k+n)]=z"y(z.) 对上边式子两边取z变换,并整理为: G⑵=凹=恥”+也占+……+恥+切) "(z)z"+d“_]Z"T++"忆+。 0 =]卜0“-忆"T++0忆+00 Z+%z++alz+aQ 按连续系统的方法,对N(z)/D(z)做串联分解,最后可得到离散系统状态空间表达式的一 种形式: F伙+1) x2伙+1) £_|伙+1) 0 、[伙厂 0' 0 £⑹ 0 : - + : 1 无1伙) 0 J "伙) y伙)=[炕A色…0心卜伙)+加伙) 简记为: x伙+1)=Gx(k)+hi((k)y(k)=cx(k)+〃"伙) MIMO线性宦常离散系统的动态方程为: x伙+1)=Gx(k)+Hic(k)y(k)=Cx(k)+Du(k) ■ 离散系统的一般结构图 【例3.4.1]设某线性离散系统的差分方程为^ y(k+2)+y(k+1)+0.16y伙)=u(k+1)+2u(k) 试写出系统的状态空间表达式。 解: 离散系统的状态空间表达式为: x(k+1)=Gx(k)+hu(k) y伙)=cx(k)+du(k) 其中: G=_o.l6一1 二、线性定常连续系统动态方程的离散化 线性左常非齐次状态方程x=Ax+Bu/£xM及"⑴作用下的解为: x(/)='x(/0)+JeA,l~n•Bii(r)dr或x(r)=处一r0)x(r0)+J0(/-r)•Bu(r}dr 令q=kT,则x(/())=x(kT)=x(k) t=(k+1)T,则x(t)=兄伙+1)T]=x(k+1) u(k)=u伙+1)=常数,于是 (•(Ar+nr x{k+1)=0[伙+1)T一kT]x{k)+[0[伙+1)T一订・Bdt・u(k) 「4+1)7* =(fi(T)x(k)+[。 [伙+1)T一t]・Bdr・u(k) JkT 记H(T)=「0[(R+1)Ty]・M JkT 令伙+l)T-r=rz,则代换后有 h(t)=£ea‘)BdT‘=£ 故离散化状态方程为: x伙+1)=G(7>伙)+H(J)u{k) 输出方程为: y(k)=Cx(k)+Du(k) G(T)=^(T)=^/)|z=rH(r)=£呱 【例3.4.2]试写出连续时间系统 '0 1 X+ 0 -2_ _1_ x= 采样周期为T的离散化状态方程。 解: 先求/ (/>(t)=eA,=L-,[(5/-Ar1]=L-1 G(T)=%T)=0(/)|t= 所以: ] s(s+2) 1 5*+2_ $1-厂) -2t 1扑宀 0 dr=f 0严. 1 Jo 0 H(T)=fj(r)BdT=f() 厂1 T r — 11一* —T+—e-• 1 -T- 11-27 -+-e 24 2 44 1-2r —p 1 1z,-2T —p L2J 0 _2 J 2J x(k+1)=G(T)x(k)+H(T)u伙) 旺伙+1)心伙+1) )州伙) 心伙) 11」t 44 11^27 22 "伙) 3.4.2连续系统离散化MATLAB程序: %Example3・4・2: Continuoustodiscretesystem A=symC[0,1;0,-2]') B二sym('[0;l]‘) T=r[G,H]=c2d(A,B,T) %example3.4.2的另一种MATLAB程序: symsstT; A=sym('[0,l;0,-2]'); B=symC[0;l]f); I=eye (2); L=inv(s*I-A) lap=ilaplace(L) G=subs(lap,Tr) H=int(symmul(lap,B),O,T) 三、离散系统状态方程的解 两种解法: 递推法和Z变换法。 递推法: 又称迭代法,对于泄常和时变系统都适用。 z变换法: 只适用于定常系统。 1、递推法 x(k+1)=G(T)x(k)+H(T)u伙) 依次令k=0,1,2,…,从而有 k=0x(l)=G(7>(0)+H(T)u(O) k=1x (2)=G(7)x(l)+H(7> (1) =G2(厂)x(0)+G(T)H(T)u(0)+H(T)u⑴ k=2x(3)=G(T)x (2)+H(T)u (2) =G3(厂)x(0)+G2(T)H(T)u(0)+G(T)/7(7')m (1)+H(7> (2) 依此类推。 递推公式为: 女-1 x{k)=Gk(T)x(0)+ f-0 其中Gk(T)称为线性左常离散系统的状态转移矩阵,记为。 伙)。 (0伙)满足: 0伙+1)=G0伙): 0(0)=I) 【例3.4.3]己知某离散系统的状态方程是: x伙+1)=G(T)x伙)+H(T)u(k) ♦u(k)=1, ;,初始状态x(0) 「01G= -0.16-1 试用递推法求解X伙)O 解: x(l)=G(T)x(O)+H(T)w(O)= x (2)=G(T)x (1)+H(T)u(l)= 一0」6 -0.16 工]+[;卜斶 'ILHiH-ol 册[;船 0 43)=G(T)x (2)+H(T)u (2)= —0.16 显然,用递推法求解所得到的不是一个封闭的解析形式,而是一个解序列。 采用MATLAB语言,求解例3・4・3: %Example3.4.3 G=[O.1;,-1J; H=[l;l]; U=l; Xl=[l;-1]; holdon: fork=1: 400 X1=G*X1+H*U plot(Xl(l),Xl⑵, end 2、Z变换法 设左常离散系统的状态方程是: x(k+1)=G.x(k)+Hu{k) 两边取Z变换: u(z)-zr(0)=Gx(z)+H"(z),整理有 (刃一G)x(z)=zx(0)+Hu(z.) ・•・x(z)=(Zl-G)73X(0)+(zZ-G)-'Hu(z) 两边取Z反变换: x(k)=Z"[(〃—G)“旷(0)]+Z"[(〃—G)T汕⑵] 【例】已知某离散系统的状态方程是: x(k+1)=G(T)x(k)+H(T)u伙) 初始状态班0) u(k)=1, 01 G= -0.16-1 试用Z变换法求解工伙)。 解: 0.16 z+1 (Z+0・2)(z+0・8) -0.16 -1 Z+1- (Z+0.2)(z+0.8) 1 (z+0.2)(z+0.8) z (z+0.2)(z+0・8) 而x(z)=(〃-G)」[乙y(0)+汕⑵] ZX(0)+Hu(z)= z z-1 乙 -Z-l- (z2+2)Z ・••X⑵= (Z+0.2)(z+0.8)(z—1)(-Z2+1.84乙)z (z
- 配套讲稿:
如PPT文件的首页显示word图标,表示该PPT已包含配套word讲稿。双击word图标可打开word文档。
- 特殊限制:
部分文档作品中含有的国旗、国徽等图片,仅作为作品整体效果示例展示,禁止商用。设计者仅对作品中独创性部分享有著作权。
- 关 键 词:
- 第三 线性 系统 状态方程