数列与放缩法.docx

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数列与放缩法

数列与放缩法

一、裂项缩放法：

常见的缩放、裂项技巧：

（一）分式类

1、

2、

3、，

4、

（二）根式类

1、

2、

3、

4、

5、

6、

（三）指数类

1、

2、

3、（n≥2）

4、

5、

6、

【例题1】【2015年，嘉兴市高三第一学期期末考试】已知无穷数列{an}满足：

，且an2-2an+2an-1=0（n≥2）.

（I）试判断{an}的单调性；

（II）求证：

（i）

（ii）.

【变式训练】【2015年，绍兴市高三第一学期教学质量检测】数列{an}是公差不为0的等差数列，a5=6，数列{bn}满足b1=3，.

（I）当n≥2时，求证：

；

（II）当a3>1，且a3时，a3，a5，为等比数列.

（i）求a3；

（ii）当a3取最小值时，求证：

【例题2】【2015年，温州市高三第一次适应性考试】对于任意的n，数列{an}满足：

.

（I）求数列{an}的通项公式；

（II）求证：

对于n≥2，

【变式训练】【2015年，湖州市高三第一学期期末考试】已知数列{an}的前n项和为Sn，且满足：

2an-1=Sn.

（I）求数列{an}的通项公式；

（II）设bn=an–（-1）n，记，求证：

Tn<2.

【例题3】【2015年，诸暨市高三第一学期期末考试】已知数列{an}满足，a1=1，当n时，a2n=a2n-1+（-2）n-1，a2n+1=a2n+4n.

（I）求a2，a3，数列{an}的通项公式；

（II）记bn=a2n+2–a2n，求证：

.

二、糖水不等式以及伪等比数列

1、糖水不等式

【知识点】若a>b>0，m>0，则：

；若00，则：

；若a>b>0，m<0，且|m|≤min{a，b}，则.

2、伪等比数列

【知识点】所谓的伪等比数列，是指{an}的通项类似于an=ptn+q的形式，因为数列的本身不是等比数列，故而命名为伪等比数列，对于这样的数列的处理，一般情况下，我们会用以下的方式：

，然后再去进行进一步的处理.或者遇到这种情况，我们可以直接根据糖水不等式加以处理.换言之，遇到伪等比数列，我们用分离系数法或者用糖水不等式均可以处理,

【例题4】【2015年，浙江省五大名校高三第一次联考】已知数列{an}的前n项和满足：

Sn=2an–n.

（1）求数列{an}的通项公式；

（2）设，记数列{bn}的前n项和为Tn，求证：

.

【变式训练】【2015年，金华十校高三第一学期期末考试】已知数列{an}是公比为正整数的等比数列，若a2=2，且a1，a3+，a4为等差数列.

（1）求数列{an}的通项an；

（2）定义：

为n个正整数P1，P2,，P3，…，Pn（n）的“均倒数”.

（i）若数列{bn}前n项的“均倒数”为（n），求数列{bn}的通项bn；

（ii）试比较与2的大小，并说明理由.

【例题5】【2015年，宁波市镇海中学高三5月模拟】已知横坐标为的点P在曲线C：

（x>0）上，曲线C在点P处的切线与直线y=4x相交于点A，与x轴相交于点B.设A，B横坐标为xA，xB，f（t）=xAxB.正数数列{an}满足an=f（an-1）（n，n≥2），a1=a.

（I）写出an，an-1之间的关系式；

（II）若数列{an}为递减数列，求实数a的取值范围；

（III）若a=2，，设数列{bn}的前n项和为Sn，求证：

（n）.

三、代数变形

（一）裂项的技术手段

1、【知识点】遇到类型的放缩，我们通常用到

（1）

（2）

【例题6】证明：

【变式训练】证明：

【例题7】【2008年，辽宁（理），21】在数列{an}，{bn}中，a1=2，b1=4，且an，bn，an+1成等差数列，bn，an+1，bn+1成等比数列（n）.

（1）求a2，a3，a4及b2，b3，b4，由此猜测{an}，{bn}的通项公式，证明你的结论；

（2）证明：

.

【变式训练】【2012年，佛山二模（理）】设曲线C：

x2–y2=1上的点P到点An（0，an）的距离的最小值为dn，若a0=0，an=，n.

（I）求数列{an}的通项公式；

（II）是否存在常数M，使得对，都有成立？

请说明理由.

2、遇到这样的形式，我们有等式

【例题8】求证：

对任意的n，.

【变式训练】设数列{an}满足a1=1，，证明：

.

3、迭代型

【例题9】【2008年，浙江高考（理），22】数列{an}，an≥0，a1=0，，记.

求证：

当n时，（I）ann-2；（III）Tn<3.

【变式训练】已知正数项数列{an}满足an2≤an–an+1（n），证明：

.

（二）伯努利不等式及其变形的应用

【知识点】伯努利不等式：

对于任意的x>-1，n，有（1+x）n≥1+nx.

【例题10】【2008年，山东高考（理），20】等比数列{an}的前n项和为Sn，对任意的点（n，Sn）均在函数y=bx+r上（b>0，且b≠1，b，r均为常数）的图像上.

（1）求r的值；

（2）当b=2，记bn=2（log2an+1），证明：

.

【变式训练】【2009年，广东高考（理），21】已知曲线Cn：

x2-2nx+y2=0（n），从点P（-1，0）向曲线Cn引斜率为kn（kn>0）的切线ln，切点为Pn（xn，yn）.

（I）求数{xn}与{yn}的通项公式；

（II）证明：

x1x2x2…xn<.

【变式训练】【2006年，重庆高考（理），21】已知各项均为正数的数列{an}的前n项和{Sn}满足S1>1，且6Sn=（an+1）（an+2）.

（I）求{an}的通项公式；

（II）设数列{bn}满足an=1，记Tn为{bn}的前n项和，求证：

3Tn+1>log2（an+3），n.

【知识点】伯努利不等式的推广：

对于任意的xn>-1（n），有：

【例题11】【2006年，江西高考（理），22】已知数列{an}满足，且，（I）求数列{an}的通项公式；

（II）证明：

对于一切n，不等式a1a2a3…an<2n!

恒成立.

【变式训练】【2009年，成都二诊（理），22】已知数列{an}中，，，且当n≥2，n时，3an+1=4an–an-1.

（I）求数列{an}的通项公式；

（II）记，n，对一切正整数n，若不等式，恒成立，求的最小值.

【课时作业】

1、【2015年，宁波市高考模拟考试】已知m为实数，且m≠，数列的前n项和为Sn满足Sn=.

（1）求证：

{an-3n+1}为等比数列，并求出公比q；

（2）若an≤15对任意正整数n成立，求证：

当m取到最小正数时，对于n≥4，n，都有.

2、【2015年，温州市高三第二次适应性考试】

已知数列{an}满足a1=1，a2=2，且an+1=2an+3an-1（n≥2，n）.

（I）设bn=an+1+an（n），求证：

{bn}是等比数列；

（II）（i）求数列{an}的通项公式；

（ii）求证：

对于任意的n都有成立.

3、【2015年，绍兴市高三教学质量调研】已知数列{an}满足：

a1=a，且0

（I）比较a1–a2和的大小；

（II）求证：

；

（III）设Tn为数列{bn}的前n项和，求证：

Tn<.

4、【2015年，诸暨市高中毕业班教学质量检测】已知数列{an}满足：

a1=a2=1，an+2an+1+an+2=（2n+1），为常数.

（I）记bn=an+an+1-n（n），求数列{bn}的通项公式和数列{an}的前n项和{Sn}的表达式；

（II）若≥2，求证：

.

5、【2015年，杭州市高级中学高考模拟】已知数列{bn}的前n项和为Sn，b1=1，且点（n，Sn+n+2）在函数y=2x+1的图像上.若数列{an}满足a1=1，an=bn（n≥2，n）.

（I）求数列{bn}的通项公式；

（II）（i）求证：

（n≥2，n）；

（ii）求证：

.

6、【2015年，浙江省六校高三联考】已知数列{an}的前n项和为Sn，Sn=（n）.

（I）求证{an+1}是等比数列，并求出{an}的通项公式；

（II）证明：

.

7、【2015年，金丽衢十二校高三第二次联考】在单调递增数列{an}中，a1=2，a2=4，a2n-1，a2n，a2n+1成等差数列，a2n，a2n+1，a2n+2成等比数列，n.

（I）（i）求证：

数列为等差数列；

（ii）求数列{an}的通项公式；

（II）设数列的前n项和为Sn，证明：

，n.