冲刺数学中考专题练习《线段垂直平分线的性质》包含答案.docx
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冲刺数学中考专题练习《线段垂直平分线的性质》包含答案
冲刺2020年数学中考专题练习:
《线段垂直平分线的性质》
一.选择题
1.能把三角形分割成面积相等两部分的一定是( )
A.三角形的中线
B.三角形的角平分线
C.三角形的高线
D.三角形一边上的垂直平分线
2.如图,在△ABC中,DE是AC的垂直平分线,AB=6cm,且△ABD的周长为16cm,则BC的长为( )
A.8cmB.10cmC.14cmD.22cm
3.在线段AB上,分别以点A,B为圆心,以大于
AB为半径画弧,两弧分别交于点E、点F,作直线EF与AB交于点C,连结AE,BE,则以下结论不一定成立的是( )
A.AC=BCB.AE=BE
C.∠AEC=∠BECD.△ABE是等边三角形
4.如图,在△ABC中,点D在BC边上,DE垂直平分AC边,垂足为点E,若∠B=70°,且AB+BD=BC,则∠BAC的度数是( )
A.40°B.65°C.70°D.75°
5.如图,在△ABC中,AB的垂直平分线交BC于D,AC的中垂线交BC于E,∠DAE=20°,则∠BAC的度数为( )
A.70°
B.80°C.90°D.100°
6.如图,△ABC中,DE垂直平分AC,交AC于E,交BC于D,连接AD,AE=4cm,则△ABC的周长与△ABD的周长差为( )
A.2cmB.4cmC.6cmD.8cm
7.如图,在△ABC中,AB的垂直平分线交AB于点D,交BC于点E.△ABC的周长为19,△ACE的周长为13,则AB的长为( )
A.3B.6C.12D.16
8.如图,在Rt△ACB中,∠C=90°,BE平分∠CBA交AC于点E,过E作ED⊥AB于D点,当∠A=_____时,ED恰为AB的中垂线( )
A.10°B.15°C.30°D.45°
9.如图,点D在AC的垂直平分线上,AB∥CD.若∠BAC=25°,则∠D的度数是( )
A.120°B.130°C.140°D.150°
10.已知:
如图,在△ABC中,边AB、BC的垂直平分线交于点P.则下列结论一定成立的有( )个.
①PA=PB=PC.
②点P在AC的垂直平分线上.
③∠BPC=2∠BAC
④∠BPC=90°+
∠BAC.
A.1个B.2个C.3个D.4个
二.填空题
11.如图,△ABC中,BD平分∠ABC,BC的中垂线交BC于点E,交BD于点F,连接CF.若∠A=60°,∠ACF=48°,则∠ABC的度数为= .
12.已知,如图,在△ABC中,AB<AC,BC边
上的垂直平分线DE交BC于点D,交AC于点E,AC=8cm,△ABE的周长为15cm,则AB的长是 .
13.如图,△ABC中,∠A=70°,点D是BC上一点,BD、CD的垂直平分线分别交AB、AC于点E、F,则∠EDF= 度.
14.如图,△ABC中,EF是AB的垂直平分线,与AB交于点D,BF=12,CF=3,则AC= .
15.如图
,点A为∠MON的平分线上一点,过A任作一直线分别与∠
MON的两边交于B,C两点,P为BC中点,过P作BC的垂线交于点D,∠BDC=50°,则∠MON= .
1
6.如图,BD垂直平分AG于D,CE垂直平分AF于E,若BF=1,FG=3,GC=2,则△ABC的周长为
.
三.解答题
17.如图,在△ABC中,边AB、AC的垂直平分线分别交BC于D、E.
(1)若BC=5,求△ADE的周长.
(2)若∠BAD+∠CAE=60°,求∠BAC的度数.
18.如图,在△ABC中,∠BAC=90°,AB=24,AC=32,AD⊥BC,垂足为D,BC的垂直平分线分别交AC、BC于点E、F.求AD与EF的长.
19.如图,在△ABC中,∠BAC=90°,BE平分∠ABC,AM⊥BC于点M交BE于点G,AD平分∠MAC,交BC于点D,交BE于点F.求证:
线段BF垂直平分线段AD.
20.如图,在△ABC中,DM、EN分别垂直平分AC和BC,交AB于M、N两点,DM与EN相交于点F.
(1)若AB=21cm,则△CMN的周长= ;(第一问直接写答案)
(2)若∠MFN=80°,求∠MCN的度数.
21.如图,△ABC中,∠BAC=80°,若MP和NQ分别垂直平分AB和AC.
(1)求∠PAQ的度数.
(2)若△APQ周长为12,BC长为8,求PQ的长.
22.已知如图,矩形ABCD的周长为64,AB=12,对角线AC的垂直平分线
分别交AD、BC于E、F,连接AF、CE、EF,且EF与AC相交于点O.
(1)求证:
四边形AECF是菱形;
(2)求S△ABF与S△AEF的比值.
23.已知,在△ABC中,DE垂直平分AB,垂足为点D,交直线BC于点E.MN垂直平分AC,垂足为点M,交直线BC于点N,连接AE,AN.
(1)如图①,若∠BAC=100°,求∠EAN的大小;
(2)如图②,若∠BAC=70°,求∠EAN的大小;
(3)若∠BAC=α(α≠90°),用含α的式子表示∠EAN的大小(直接写出结果即可).
参考答案
一.选择题
1.解:
能把三角形分割成面积相等两部分的一定是三角形的中线,
故选:
A.
2.解:
∵DE是AC的垂直平分线,
∴DA=DC.
∵AB=6cm,△ABD的周长为16cm,
∴BC=16﹣6=10cm,
故选:
B.
3.解:
由题意得,直线EF是AB的垂直平分线,
∴AC=BC,AE=BE,
∴∠AEC=∠BEC,
△ABE是等腰三角形,
故A,B
,C正确,D错误,
故选:
D.
4.解:
连接AD,
∵DE垂直平分AC边,
∴AD=CD,
∵BC=BD+CD=AB+BD,
∴AB=CD,
∴AB=AD,
∴∠ADB=∠B=70°,
∴∠C=
ADB=35°,
∴∠BAC=180°﹣∠B﹣∠C=75°,
故选:
D.
5.解:
∵DM是线段AB的垂直平分线,
∴DA=DB,
∴∠B=∠DAB,
同理∠C=∠EAC,
∵∠B+∠DAB+∠C+∠EAC+∠DAE=180°,
∴∠DAB+∠EAC=80°,
∴∠BAC=100°,
故选:
D.
6.解:
∵DE垂直平分边AC,AE=4cm,
∴AD=CD,AC=2AE=8cm,
∵△ABC的周长=AB+AC+BC,
∵△ABD的周长=AB+AD+BD=AB+BC,
∴△ABC的周长与△ABD的周长差AC=8cm.
故选:
D.
7.解:
∵AB的垂直平分线交AB于点D,
∴AE=BE,
∵△ACE的周长=AC+AE+CE=AC+BC=13,△ABC的周长=AC+BC+AB=19,
∴AB=△ABC的周长﹣△ACE的周长=19﹣13=6,
故选:
B.
8.解:
当∠A=30°时,ED恰为AB的中垂线,理由是:
∵∠A=30°,∠C=90°,
∴∠CBA=60°,
∴∠EBA=∠EBC=
∠CBA=
×60°=30°,
∴ED⊥AB,
∴∠A=∠EBA,
∴EA=EB,
∵ED⊥AB,
∴ED平分AB,
∴ED恰为AB的中垂线.
故选:
C.
9.解:
∵AB∥CD,
∴∠ACD=∠BAC=25°,
∵点D在AC的垂直平分线上,
∴DA=DC,
∴∠DAC=∠DCA=25°,
∴∠ADC=130°,
故选:
B.
10.解:
∵边AB、BC的垂直平分线交于点P,
∴PA=PB=PC,①成立;
∵PA=PC,
∴点P在AC的垂直平分线上,②正确;
∵边AB、BC的垂直平分线交于点P,
∴点P是△ABC的外心,
∴∠BPC=2∠BAC,③正确;
∠BPC不一定等于90°+
∠BAC,④错误,
故选:
C.
二.填空题(共6小题)
11.解:
∵BD平分∠ABC,
∴∠DBC=∠ABD,
∵∠A=60°,
∴∠ABC+∠ACB=120°,
∵∠ACF=
48°,
∵BC的
中垂线交BC于点E,
∴BF=CF,
∴∠FCB=∠FBC,
∴∠ABC=2∠FCE,
∵∠ACF=48°,
∴3∠FCE=120°﹣48°=72°,
∴∠FCE=24°,
∴∠ABC=48°,
故答案为:
48°
12.解:
∵DE是BC的垂直平分线,
∴BE=CE,
∴△ABE的周长=AB+AE+BE=AB+AE+CE=AB+AC,
∵AC=8cm,△ABE的周长为15cm,
∴AB+8=15,
解得AB=7cm,
故答案为:
7cm.
13.解:
∵BD、CD的垂直平分线分别交AB、AC于点E、F,
∴BE=DE,DF=CF,
∴∠EDB=∠B,∠FDC=∠C,
∵∠A=70°,
∴∠B+∠C=180°﹣∠A=108°,
∴∠EDB+∠FDC=110°,
∴∠EDF=70°,
故答案为:
70°.
14.解:
∵EF是AB的垂直平分线,
∴FA=BF=12,
∴AC=AF+FC=15.
故答案为:
15.
15.解:
如图:
过D作DE⊥OM于E,DF⊥ON于F,
则∠DEO=∠DFO=90°,
∵OD平分∠MON,
∴DE=DF,
∵P为BC中点,DP⊥BC,
∴BD=CD,
在Rt△DEB和Rt△DFC中,
,
∴Rt△DEB≌Rt△DFC(HL),
∴∠EDB=∠CDF,
∴∠BDC=∠BDF+CDF=∠BDF+∠EDB=∠EDF=50°.
∵∠MON+∠EDF+∠DEO+∠DFO=360°,
∴∠MON=360°﹣50°﹣90°﹣90°=130°;
故答案为:
130°.
16.解:
∵BD垂直平分线段AG,
∴BA=BG=BF+FG=1+3=4,
∵CE垂直平分线段AF,
∴CA=CF=CG+FG=2+3=5,
∴△ABC的周长=AB+AC+BC=4+5+6=15,
故答案为:
15.
三.解答题(共7小题)
17.解:
(1)∵边AB、AC的垂直平分线分别交BC于D、E,
∴DA=DB,EA=EC,
∴△ADE的周长=AD+DE+AE=DB+DE+EC=BC=5;
(2)∵DA=DB,EA=EC,
∴∠DAB=∠B,∠EAC=∠C,
∴∠B+∠C=∠DAB+∠EAC=60°,
∴∠BAC=120°.
18.解:
连接BE,
由勾股定理得,BC=
=
=40,
S△ABC=
×AB×AC=
×BC×AD,即
×24×32=
×40×AD,
解得,AD=19.2,
∵EF是BC的垂直平分线,
∴EB=EC,BF=FC=20,
∴AE=32﹣EC=32﹣EB,
在Rt△ABE中,BE2=AB2+AE2,即BE2=242+(32﹣EB)2,
解得,EB=25,
则EF=
=
=15.
19.证明:
∵∠BAC=90°,
∴∠ABC+∠C=90°,
∵AM⊥BC,
∴∠AMB=90°,
∴∠
ABC+∠BAM=90°,
∴∠C=∠BAM,
∵AD平分∠MAC,
∴∠MAD=∠CAD,
∴∠BAM+∠MAD=∠C+∠CAD,
∵∠ADB=∠C+∠CAD,
∴∠BAD=∠ADB,
∴AB=BD,
∵BE平分∠ABC,
∴BF⊥AD,AF=FD,
即线段BF垂直平分线段AD.
20.
解:
(1)∵DM、EN分别垂直平
分AC和BC,
∴AM=CM,BN=CN,
∴△CMN的周长=CM+MN+CN=AM+MN+BN=AB=21cm,
故答案为:
21cm;
(2)∵∠MFN=80°,
∴∠MNF+∠NMF=180°﹣80°=100°,
∵∠AMD=∠NMF,∠BNE=∠MNF,
∴∠AMD+∠BNE=∠MNF+∠NMF=100°,
∴∠A+∠B=90°﹣∠AMD+90°﹣∠BNE=180°﹣100°=80°,
∵AM=CM,BN=CN,
∴∠A=∠ACM,∠B=∠BCN,
∴∠MCN=180°﹣2(∠A+∠B)=180°﹣2×80°=20°.
21.解:
(1)设∠PAQ=x,∠CAP=y,∠BAQ=z,
∵MP和NQ分别垂直平分AB和AC,
∴AP=PB,AQ=CQ,
∴∠B=∠BAP=x+z,∠C=∠CAQ=x+y,
∵∠BAC=80°,
∴∠B+∠C=100°,
即x+y+z=80°,x+z+x+y=100°,
∴x=20°,
∴∠PAQ=20°;
(2)∵△APQ周长为12,
∴AQ+PQ+AP=12,
∵AQ=CQ,AP=PB,
∴CQ+PQ+PB=12,
即CQ+BQ+2PQ=12,
BC+2PQ=12,
∵BC=8,
∴PQ=2.
22.证明:
(1)∵四边形ABCD是矩形,
∴AD∥BC,
∴∠OAE=∠OCF,
∵EF垂直平分AC,
∴AO=CO,∠AOE=∠COF=90°,
∴△AOE≌△COF(ASA),
∴OE=OF,
∴四边形AFEC是平行四边形,
又∵EF⊥AC,
∴四边形AFEC是菱形;
(2)解:
∵△AOE≌△COF,
∴S△AEF=S△ACF
∵S△ABF=3BF,S△AEF=3FC,
∴S△ABF:
S△AEF=BF:
FC.
∵矩形ABCD的周长为64,AB=12,
∴BC=20,
设FC=x,则AF=x,BF=20﹣x
在Rt△ABF中,由勾股定理
122+(20﹣x)2=x2
解得:
x=
,
BF=
,
∴S△ABF:
S△AEF=BF:
FC=8:
17.
23.解:
(1)∵DE垂直平分AB,
∴AE=BE,
∴∠BAE=∠B,
同理可得:
∠CAN=∠C,
∴∠EAN=∠BAC﹣∠BAE﹣∠CAN,
=∠BAC﹣(∠B+∠C),
在△ABC中,∠B+∠C=180°﹣∠BAC=80°,
∴∠EAN=∠BAC﹣(∠BAE+∠CAN)=100°﹣80°=20°;
(2)∵DE垂直平分AB,
∴AE=BE,
∴∠BAE=∠B,
同理可得:
∠CAN=∠C,
∴∠EAN=∠BAE+∠CAN﹣∠BAC,
=(∠B+∠C)﹣∠BAC,
在△ABC中,∠B+∠C=180°﹣∠BAC=110°,
∴∠EAN=∠BAE+∠CAN﹣∠BAC=110°﹣70°=40°;
(3)当0°<α<90°时,∠EAN=180°﹣2α;
当180°>α>90°时,∠EAN=2α﹣180°.
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