高考数学考点通关练第七章平面解析几何53双曲线试题理.docx
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高考数学考点通关练第七章平面解析几何53双曲线试题理
考点测试53 双曲线
一、基础小题
1.已知平面内两定点A(-5,0),B(5,0),动点M满足|MA|-|MB|=6,则点M的轨迹方程是( )
A.
-
=1B.
-
=1(x≥4)
C.
-
=1D.
-
=1(x≥3)
答案 D
解析 由双曲线的定义知,点M的轨迹是双曲线的右支,故排除A、C;又c=5,a=3,∴b=
=4.
∵焦点在x轴上,∴轨迹方程为
-
=1(x≥3).故选D.
2.若双曲线
-
=1(a>0,b>0)的焦点到其渐近线的距离等于实轴长,则该双曲线的离心率为( )
A.
B.5C.
D.2
答案 A
解析 焦点(c,0)到渐近线y=
x的距离为
=2a,解得b=2a,又a2+b2=c2,∴5a2=c2,∴离心率e=
=
.
3.已知双曲线C:
-
=1的焦距为10,点P(2,1)在C的渐近线上,则C的方程为( )
A.
-
=1B.
-
=1
C.
-
=1D.
-
=1
答案 A
解析 根据双曲线标准方程中系数之间的关系求解.
∵
-
=1的焦距为10,
∴c=5=
.①
又双曲线渐近线方程为y=±
x,且P(2,1)在渐近线上,
∴
=1,即a=2b.②
由①②解得a=2
,b=
,
则C的方程为
-
=1,故应选A.
4.已知双曲线x2-
=1的左、右焦点分别为F1,F2,过F2的直线l与C的左、右两支分别交于A,B两点,且|AF1|=|BF1|,则|AB|=( )
A.2
B.3C.4D.2
+1
答案 C
解析 设双曲线的实半轴长为a,依题意可得a=1,由双曲线的定义可得|AF2|-|AF1|=2a=2,|BF1|-|BF2|=2a=2,又|AF1|=|BF1|,故|AF2|-|BF2|=4,又|AB|=|AF2|-|BF2|,故|AB|=4,选C.
5.已知双曲线
-
=1(a>0,b>0)的焦点分别为F1(-c,0),F2(c,0)(c>0),过F2的直线l交双曲线于A,D两点,交渐近线于B,C两点.设
+
=m,
+
=n,则下列各式成立的是( )
A.|m|>|n|B.|m|<|n|
C.|m-n|=0D.|m-n|>0
答案 C
解析 取过点F2且垂直于x轴的直线l交双曲线于A,D两点,交渐近线于B,C两点,则
+
=m=2
,
+
=n=2
,故|m-n|=0,选C.
6.已知双曲线中心在原点且一个焦点为F(
,0),直线y=x-1与其相交于M,N两点,MN中点的横坐标为-
,则此双曲线的方程是( )
A.
-
=1B.
-
=1
C.
-
=1D.
-
=1
答案 D
解析 依题意得a2+b2=c2=7,
由此设双曲线方程为
-
=1,
另设直线与双曲线的交点为M(x1,y1),N(x2,y2),MN的中点为(x,y).
则
-
=1,①
-
=1,②
①-②得:
(x1+x2)(x1-x2)=
(y1+y2)(y1-y2),
又由x1+x2=2x,y1+y2=2y,x=-
,y=x-1,k=
=1,得a2=2.
∴双曲线方程为
-
=1,故选D.
7.已知双曲线C:
-
=1(a>0,b>0)的离心率e=2,且它的一个顶点到相应焦点的距离为1,则双曲线C的方程为________.
答案 x2-
=1
解析 由题意得
解得
则b=
,故所求方程为x2-
=1.
8.设F1,F2分别为双曲线
-
=1的左、右焦点,点P在双曲线上,若点P到焦点F1的距离等于9,则点P到焦点F2的距离为________.
答案 17
解析 解法一:
∵实轴长2a=8,半焦距c=6,
∴||PF1|-|PF2||=8.
∵|PF1|=9,∴|PF2|=1或|PF2|=17.
又∵|PF2|的最小值为c-a=6-4=2,
∴|PF2|=17.
解法二:
由题知,若P在右支上,
则|PF1|≥2+8=10>9,∴P在左支上.
∴|PF2|-|PF1|=2a=8,∴|PF2|=9+8=17.
二、高考小题
9.[2016·全国卷Ⅰ]已知方程
-
=1表示双曲线,且该双曲线两焦点间的距离为4,则n的取值范围是( )
A.(-1,3)B.(-1,
)C.(0,3)D.(0,
)
答案 A
解析 ∵原方程表示双曲线,且焦距为4,
∴
①
或
②
由①得m2=1,n∈(-1,3).②无解.故选A.
10.[2016·天津高考]已知双曲线
-
=1(b>0),以原点为圆心,双曲线的实半轴长为半径长的圆与双曲线的两条渐近线相交于A,B,C,D四点,四边形ABCD的面积为2b,则双曲线的方程为( )
A.
-
=1B.
-
=1
C.
-
=1D.
-
=1
答案 D
解析 不妨设A(x0,y0)在第一象限,由题意得
由①③得x
=
,④
所以y
=
×
=
,⑤
由②④⑤可得b2=12.
所以双曲线的方程为
-
=1.故选D.
11.[2016·浙江高考]已知椭圆C1:
+y2=1(m>1)与双曲线C2:
-y2=1(n>0)的焦点重合,e1,e2分别为C1,C2的离心率,则( )
A.m>n且e1e2>1B.m>n且e1e2<1
C.m 答案 A 解析 在椭圆中,a1=m,c1= ,e1= .在双曲线中,a2=n,c2= ,e2= .因为c1=c2,所以n2=m2-2.从而e ·e = = ,令t=m2-1,则t>0,e ·e = >1,即e1e2>1.结合图形易知m>n,故选A. 12.[2016·全国卷Ⅱ]已知F1,F2是双曲线E: - =1的左,右焦点,点M在E上,MF1与x轴垂直,sin∠MF2F1= ,则E的离心率为( ) A. B. C. D.2 答案 A 解析 解法一: 由MF1⊥x轴,可得M , ∴|MF1|= .由sin∠MF2F1= ,可得cos∠MF2F1= = ,又tan∠MF2F1= = ,∴ = ,∴b2= ac,∵c2=a2+b2⇒b2=c2-a2,∴c2-a2- ac=0⇒e2- e-1=0,∴e= .故选A. 解法二: 由MF1⊥x轴,得M , ∴|MF1|= ,由双曲线的定义可得|MF2|=2a+|MF1|=2a+ ,又sin∠MF2F1= = = ⇒a2=b2⇒a=b,∴e= = .故选A. 13.[2016·北京高考]双曲线 - =1(a>0,b>0)的渐近线为正方形OABC的边OA,OC所在的直线,点B为该双曲线的焦点.若正方形OABC的边长为2,则a=________. 答案 2 解析 由OA、OC所在直线为渐近线,且OA⊥OC,知两条渐近线的夹角为90°,从而双曲线为等轴双曲线,则其方程为x2-y2=a2.OB是正方形的对角线,且点B是双曲线的焦点,则c=2 ,根据c2=2a2可得a=2. 三、模拟小题 14.[2017·山西质量监测]设P为双曲线C: x2-y2=1上一点,F1、F2分别为双曲线C的左、右焦点,若cos∠F1PF2= ,则△PF1F2的外接圆半径为( ) A. B.9C. D.3 答案 C 解析 由题意知双曲线中a=1,b=1,c= ,所以|F1F2|=2 .因为cos∠F1PF2= ,所以sin∠F1PF2= .在△PF1F2中, =2R(R为△PF1F2的外接圆半径),即 =2R,解得R= ,即△PF1F2的外接圆半径为 ,故选C. 15.[2017·哈尔滨调研]已知双曲线C的右焦点F与抛物线y2=8x的焦点相同,若以点F为圆心, 为半径的圆与双曲线C的渐近线相切,则双曲线C的方程为( ) A. -x2=1B. -y2=1 C. - =1D. - =1 答案 D 解析 设双曲线C的方程为 - =1(a>0,b>0),而抛物线y2=8x的焦点为(2,0),即F(2,0),∴4=a2+b2.又圆F: (x-2)2+y2=2与双曲线C的渐近线y=± x相切,由双曲线的对称性可知圆心F到双曲线的渐近线的距离为 = ,∴a2=b2=2,故双曲线C的方程为 - =1. 16.[2016·河南三市调研]若双曲线 - =1(a>0,b>0)和椭圆 + =1(m>n>0)有共同的焦点F1、F2,P是两条曲线的一个交点,则|PF1|·|PF2|=( ) A.m2-a2B. - C. (m-a)D.m-a 答案 D 解析 不妨设点P是第一象限内两曲线的交点,由椭圆的定义可知,|PF1|+|PF2|=2 ,由双曲线的定义可令|PF1|-|PF2|=2 ,两式联立得|PF1|= + ,|PF2|= - ,所以|PF1|·|PF2|=m-a. 17.[2016·河北石家庄二模]已知直线l与双曲线C: x2-y2=2的两条渐近线分别交于A,B两点,若AB的中点在该双曲线上,O为坐标原点,则△AOB的面积为( ) A. B.1C.2D.4 答案 C 解析 由题意得,双曲线的两条渐近线方程为y=±x,设A(x1,x1),B(x2,-x2),则OA⊥OB,AB的中点为 ,又因为AB的中点在双曲线上,所以 2- 2=2,化简得x1x2=2,所以S△AOB= |OA|·|OB|= | x1|·| x2|=|x1x2|=2,故选C. 18.[2016·广东茂名二模]已知双曲线: - =1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为F1、F2,焦距为2c,直线y= (x+c)与双曲线的一个交点M满足∠MF1F2=2∠MF2F1,则双曲线的离心率为( ) A. B. C.2D. +1 答案 D 解析 ∵直线y= (x+c)过左焦点F1,且其倾斜角为60°,∴∠MF1F2=60°,∠MF2F1=30°.∴∠F1MF2=90°,即F1M⊥F2M.∴|MF1|= |F1F2|=c,|MF2|=|F1F2|·sin60°= c,由双曲线的定义有: |MF2|-|MF1|= c-c=2a,∴离心率e= = = +1,故选D. 一、高考大题 1.[2014·福建高考]已知双曲线E: - =1(a>0,b>0)的两条渐近线分别为l1: y=2x,l2: y=-2x. (1)求双曲线E的离心率; (2)如图,O为坐标原点,动直线l分别交直线l1,l2于A,B两点(A,B分别在第一、四象限),且△OAB的面积恒为8.试探究: 是否存在总与直线l有且只有一个公共点的双曲线E? 若存在,求出双曲线E的方程;若不存在,说明理由. 解 (1)因为双曲线E的渐近线分别为y=2x, y=-2x,所以 =2,所以 =2,故c= a, 从而双曲线E的离心率e= = . (2)解法一: 由 (1)知,双曲线E的方程为 - =1. 设直线l与x轴相交于点C. 当l⊥x轴时,若直线l与双曲线E有且只有一个公共点, 则|OC|=a,|AB|=4a, 又因为△OAB的面积为8, 所以 |OC|·|AB|=8,因此 a·4a=8,解得a=2, 此时双曲线E的方程为 - =1. 若存在满足条件的双曲线E,则E的方程只能为 - =1. 以下证明: 当直线l不与x轴垂直时,双曲线E: - =1也满足条件. 设直线l的方程为y=kx+m,依题意,得k
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- 高考 数学 考点 通关 第七 平面 解析几何 53 双曲线 试题
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