小学奥数几何五大模型燕尾模型.docx
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小学奥数几何五大模型燕尾模型
目側怔例题精讲
燕尾定理:
在三角形ABC中,AD,BE,CF相交于同一点0,那么,
S小bo:
S^co=BD:
DC
上述定理给出了一个新的转化面积比与线段比的手段,因为ABO和ACO的形状很象燕子的尾巴,所
以这个定理被称为燕尾定理•该定理在许多几何题目中都有着广泛的运用,它的特殊性在于,它可以存在于任何一个三角形之中,为三角形中的三角形面积对应底边之间提供互相联系的途径
通过一道例题证明燕尾定理:
如右图,D是BC上任意一点,请你说明:
S1:
S4=S?
:
S^BD:
DC
【解析】三角形BED与三角形CED同高,分别以BD、DC为底,所以有S:
0=BD:
DC;三角形ABE与三角形EBD同高,S1:
S^=ED:
EA;
三角形ACE与三角形CED同高,S4:
S3=ED:
EA,所以S:
S4=S2:
S3;
综上可得,S:
S4:
&=BD:
DC.
【解析】
BC上,且BD:
DC=1:
2,AD与BE交于点F
方法一:
连接CF,
根据燕尾定理,
Saabf
BD
Saacf
DC
•则四边形DFEC的面积等于
Saabf
S\cbf
EE」
设SaBDF=1份,则SaDCF二2份,Saabf=3份,Saaef
=SaEFC
=3份,如图所标
所以Sdcef=討ABC二
12
方法二:
连接DE,
由题目条件可得到
SaabdSaabc
3
SaadeSaadc=
2
ABC
23
BF
SaABD
FE
Saade
SadefSadeb二丄123Sabecabc
223232
12,
【巩固】
而sacde誇1saabc4•所以则四边形
DFEC的面积等于
12
如图,已知BD=DC,EC=2AE,三角形
A
F
B
D
ABC的面积是
30,求阴影部分面积•
【解析】
题中条件只有三角形面积给出具体数值,其他条件给出的实际上是比例的关系,由此我们可以初步
判断这道题不应该通过面积公式求面积进行改造,那么我们需要连一条辅助线,
.又因为阴影部分是一个不规则四边形,所以我们需要对它
(法一)连接CF,因为BD二DC,
EC=2AE,三角形ABC的面积是30,
、1
所以SaabeSaabc-10,Saabd
3
1_
ABC=15•
2
根据燕尾定理,
Saabf
AE
Saabf
Sacbf
EC
丑1
CD
、1
所以SaabfSaabc=7.5,Sabfd
4
=15—7.5=7.5,
所以阴影部分面积是30-10-7.5=12.5•
(法二)连接DE,由题目条件可得到
SaabeSaabc=10,
3
ABC的面积是1,E是AC的中点,点
【例1】(2009年第七届希望杯五年级一试试题)如图,三角形
AF
所以A匚
FD
SAABE
_1_12_
Sabde■SabecSaabc=10,
223
【巩固】如图,三角形ABC的面积是200cm,E在AC上,点D在BC上,且AE:
EC=3:
5,BD:
DC=2:
3,
AD与BE交于点F•则四边形DFEC的面积等于.
【解析】
连接CF,
根据燕尾定理,
ABF
BD
S^ABF
AE
acf
DC
~3
S4CBF
EC
510
设S^abf=6份,
则S^ACF=9份,
S^BCF
=10份,efc=9—
3+5
45
份,
3
S^CDF=106份,
2+3
45452
所以Sdcfe=200-:
-(6910)(6)=8(6)=93(cm)
88
【巩固】如图,已知BD=3DC,EC=2AE,BE与CD相交于点O,则厶ABC被分成的4部分面积各占△ABC面积的几分之几?
【解析】连接CO,设Saaeo=1份,则其他部分的面积如图所示,所以
Saabc=1•29-1^30份,所以四部
分按从小到大各占
△ABC面积的丄,乙空
3030
13213.59
60,3010,30-20
【巩固】
(2007年香港圣公会数学竞赛)如图所示,在△ABC中,CP=】CB,CQ工1CA,
23
点X,若△ABC的面积为6,则△ABX的面积等于•
BQ与AP相交于
【解析】
方法一:
连接PQ•
cqE
1
由于CPCB,
2
由蝴蝶定理知,
所以Slabx=-S
5
2
CA,所以SABQSABC,
3一
21
AX:
XP=S|_abq:
S」bpqS_abc:
—Sab^-4:
1,
_3「6_
4122
ABPS|ABCSABC6=2.4•
52_5_5
SBPQSBCQ
2
ABC•
方法二:
连接CX设Sacpx=1份,根据燕尾定理标出其他部分面积,
所以Saabx=6"(1144)4=2.4
【巩固】如图,三角形ABC的面积是1,BD=2DC,CE=2AE,AD与BE相交于点F,请写出这4部分的面积各是多少?
【解析】连接CF,设aef份,则其他几部分面积可以有燕尾定理标出如图所示,所以
1
6
2
8
c2+4
2
SAAEF,
SAABF:
——,
SABDF,
SfdCE:
21
21
7
21
21
7
【巩固】如图,E在AC上,D在BC上,且AE:
EC=2:
3,BD:
DC=1:
2,AD与BE交于点F•四边形DFEC
的面积等于22cm2,则三角形ABC的面积
连接CF,根据燕尾定理,
$△ABF
BD
1
ABF
Saacf
DC
2
SACBF
设Sabdfi份,则
SADCF2
份
SAABF-'
【解析】
AE2
EC一?
2
份,S^AFC=4份,S^AEF=41.6
2+3
3一
份,Saefc=42.4份,如图所标,所以SEfdc=2•2.4=4.4份,S^ABC=23^9份
2+3
所以Saabc=22"4.49=45(cm2)
AC=2,CD=2,CB=3,AM二BM,那么三角形AMN(阴影
【巩固】三角形ABC中,C是直角,已知部分)的面积为多少?
【解析】连接BN•
△ABC的面积为32“2=3
根据燕尾定理,△ACN:
AABN二CD:
BD=2:
1;
同理ACBN:
ACAN=BM:
AM=1:
1
设厶AMN面积为1份,贝y△MNB的面积也是1份,所以△ANB的面积是1*1=2份,而△ACN的面积就是22=4份,ACBN也是4份,这样△ABC的面积为4,17=10份,所以△AMN的面积为3“101=0.3•
【巩固】如图,长方形ABCD的面积是2平方厘米,EC=2DE,F是DG的中点.阴影部分的面积是多少平方厘米?
【解析】
D
E
C
1
3
3
y
设def=1份,则根据燕尾定理其他面积如图所示
S阴影BCD
12
5
12
平方厘米.
【例2】如图所示,在四边形ABCD中,
形BODC的面积为•
AB=3BE,
AD=3AF,四边形
AEOF的面积是12,那么平行四边
【解析】连接AO,BD,根据燕尾定理S^ABO:
S^bdo=AF:
FD=1:
2,S^AOD:
S^BOD=AE
BE
=2:
1
S^beo-1,则其他图形面积,如图所标,所以SBodc=2SAEof-212=24.
【例3】ABCD是边长为12厘米的正方形,E、F分别是AB、BC边的中点,AF与CE交于G,则四边形
AGCD的面积是平方厘米.
【解析】连接AC、GB,设Sag
=1份,根据燕尾定理得Saagb=1份,SaBGC=1份,则S正方形=(1+1十)2=6
份,Sadcg=3^4份,所以Sadcg=12^:
64=96(cm2)
【例4】如图,正方形ABCD的面积是120平方厘米,E是AB的中点,F是BC的中点,四边形BGHF的面积是平方厘米.
【解析】连接BH,根据沙漏模型得BG:
GD=1:
2,设Sabhc=1份,根据燕尾定理Sach^2份,Sabhd=2份,
1277
因此S正方形=(^122)2=10份,Sbfhg=—■—,所以Sbfhg=120-:
T0—=14(平方厘米).
2366
【例5】如图所示,在△ABC中,BE:
EC=3:
1,D是AE的中点,那么AF:
FC=
【解析】
连接CD•
由于S^ABD:
S^BED=1:
1,
S4BED:
S^BCD=3:
4,所以ABD:
S^BCD=3:
4,
根据燕尾定理,
AF:
FC
-abd:
bcd=3:
4•
【巩固】在「ABC中,BD:
DC=3:
2,
AE:
EC=3:
1,求OB:
OE二?
【解析】
连接OC•
3
因为BD:
DC=3:
2,根据燕尾定理,Saob:
Saoc=BD:
BC=3:
2,即SaobSaoc;
4334
又AE:
EC=3:
1,所以SAOCSAOE•则S'AOBSAOCSAOE=2SAOE,
3223
所以OB:
OE=SAOB:
SAOE=2:
1•
【巩固】在ABC中,BD:
DC=2:
1,AE:
EC=1:
3,求OB:
OE二?
【解析】题目求的是边的比值,一般来说可以通过分别求出每条边的值再作比值,也可以通过三角形的面积比来做桥梁,但题目没告诉我们边的长度,所以应该通过面积比而得到边长的比•本题的图形一看就联想到燕尾定理,但两个燕尾似乎少了一个,因此应该补全,所以第一步要连接OC•
连接OC•
因为BD:
DC=2:
1,根据燕尾疋理,S.aob:
Saoc=BD:
BC=2:
1,即S.aob=2S.aoc;又AE:
ECh:
3,所以Saoc~4SAoe•则SAob=2S「aoc=24Sao^~8Saoe,所以OB:
OE=S.aob:
S.aoe=8:
1•
【例6】(2009年清华附中入学测试题)如图,四边形ABCD是矩形,E、F分别是AB、BC上的点,且
11
A^-AB,CF=^BC,AF与CE相交于G,若矩形ABCD的面积为120,则.'AEG与.)CGF的34
【解析】
面积之和为
(法1)如图,过所以AE」EB
2所以SAEG=*r2
且EGHF
3
F做CE的平行线交AB于H,贝UEH:
HB=CF:
FB=1:
3,
=2EH,
SABF
23“EC
34
AG:
GF=AE:
EH=2,即AG=2GF,
231
SABCD=10.
942
11
EC,故CG=GE,贝UScgfiSaeg=5.
所以两三角形面积之和为
(法2)如上右图,连接AC、
根据燕尾定理,SABG:
SACG
1
而Be=aBCD=60,
2
所以SABG,SABC
3+2+1
n.1
则SAEGSABGT0,SCFG
所以两个三角形的面积之和为
2
105=15.
BG.
=BF:
CF=3:
1
Sbcg:
S.gcG=BE:
AE=2:
1,
1
60=30,
2
=1SBCG=5,
4
15.
Sbcg,SABC60=20,
3+2+13
【例7】如右图,三角形ABC中,
SAOB:
SBOC
=AE:
CE=3:
4=12:
16
BD:
DC=4:
9,CE:
EA=4:
3,求AF:
FB.
【解析】根据燕尾定理得S^AOB:
S^aoc-BD:
CD=4:
9=12:
27
(都有△AOB的面积要统一,所以找最小公倍数)
所以AOC:
S^BOC=27:
16=AF:
FB
【点评】本题关键是把△AOB的面积统一,这种找最小公倍数的方法,在我们用比例解题中屡见不鲜,如果能掌握它的转化本质,我们就能达到解奥数题四两拨千斤的巨大力量!
【巩固】如右图,三角形ABC中,BD:
DC=3:
4,AE:
CE=5:
6,求AF:
FB.
【解析】根据燕尾定理得S^aob:
aoc二BD:
CD=3:
4=15:
20
S^AOB:
S^BOC
=AE:
CE=5:
6=15:
18
(都有△AOB的面积要统一,所以找最小公倍数)所以*S\aoc:
S^boc=20:
18=10:
9=AF:
FB
【巩固】如图,BD:
DC=2:
3,AE:
CE=5:
3,则AF:
BF二
【解析】根据燕尾疋理有S^abg:
S^acg=2:
3=10:
15,S^abg:
S^bcg=5:
3=10:
6,所以
SAACG:
SABCG
=15:
6=5:
2=AF:
BF
【巩固】如右图,三角形
ABC中,
BD:
DC=2:
3,
EA:
CE=5:
4,求AF:
FB.
【解析】根据燕尾定理得SAAOB:
SAAOC=BD:
CD=2:
3=10:
15
SAAOB:
SABOC
二AE:
CE=5:
4=10:
8
(都有△AOB的面积要统一,所以找最小公倍数)
所以S^AOC:
S4BOC=15:
8=AF:
FB
【点评】本题关键是把△AOB的面积统一,这种找最小公倍数的方法,在我们用比例解题中屡见不鲜,如果能掌握它的转化本质,我们就能达到解奥数题四两拨千斤的巨大力量!
【例8】
(2008年“学而思杯”六年级数学试题)如右图,三角形ABC中,AF:
FB=BD:
DC=CE:
AE
且三角形ABC的面积是1,则三角形ABE的面积为
形GHI的面积为•
,三角形AGE的面积为
3:
2,
三角
【分析】
连接AH、BI、CG•
C
由于CE:
AE=3:
2,所以AE
根据燕尾定理,SACG:
SABG
2
5
=CD:
BD
AC,
S.acg:
S.abg:
Sbcg=4:
6:
9,
则S.ACG
22
故SAbeSabc=
55
=2:
3,SBCG:
SABG=CE:
EA=3:
2,所以-AS-丄
SBCG
1919
224
那么SAGESAGCa
5519
同样分析可得Sach=2,
19
8;
95
则EG:
EH=$cg:
s:
ach=4:
9,EG:
EB=Sacg:
SAcb=4:
19,
所以
EG:
GH:
HB=4:
5:
10,同样分析可得AG:
GI:
ID=10:
5:
4,
1
所以S.BIE
—5—
SGhiSBie-
A1
19519
【巩固】
如右图,三角形ABC中,AF:
FB=BD:
DC=CE:
AE=3:
2,且三角形GHI的面积是1,求三角形ABC的面积.
【解析】
连接BG,S^agc=6份
根据燕尾定理,
AGC:
BGC=AF
:
FB
=3:
2=6:
4,S^abg:
S^agc=BD:
DC=3:
2=9:
6
得BGC—4(份),Saabg=9(份),
则Saabc=19(份),
因此6,
S\ABC19
SABIC
SAABC19
s
同理连接AI、CH得邑愛
2ABC
所以Saghi
Saabc
19-6-6-6
19
19
19
三角形GHI的面积是1,所以三角形ABC的面积是
【巩固】
(2009年第七届“走进美妙的数学花园”初赛六年级
AF=2FC,那么厶ABC的面积是阴影三角形面积的
)如图,ABC中BD=2DA,CE=2EB,倍.
【分析】
如图,连接AI.
根据燕尾定理,Sbci:
Saci二BD:
AD=2:
1,Sbci:
Sabi=CF:
AF=1:
2,
所以,SACI:
SbCI:
SABI-1:
2:
4,
那么,SbciSAbcSabc•
1+2+47
同理可知「ACG和ABH的面积也都等于AABC面积的-,所以阴影三角形的面积等于ABC面积
7
21
的1-23=丄,所以ABC的面积是阴影三角形面积的7倍.
77
【巩固】如图在△ABC中,
DCEAFB
DBECFA
丄求△GH的面积
2、△ABC的面积
【解析】连接BG,设Sabgc=1份,根据燕尾定理Saagc:
Sabgc=AF:
FB=2:
1,S^abg:
S^agc=BD:
DC=2:
1,
得SAAGC=2(份),
SAABG
=4(份),则Saabc=7(份),
因此Saagc
SAABC
2
二一,同理连接AI、CH得
7
S\ABH2
S\BIC
2
SAABC7
SAABC
7
所以SAGHI
7_2
_2_2
1
—
—=
SaABC
7
7
【点评】如果任意一个三角形各边被分成的比是相同的,那么在同样的位置上的图形,虽然形状千变万化,但面积是相等的,这在这讲里面很多题目都是用“同理得到”的,即再重复一次解题思路,因此我们有对称法作辅助线•
【巩固】如图在△ABC中,
的值.
DCEAFB1土△GHI的面积
==—求
DBECFA3’△ABC的面积
【解析】
得Saagc4份),
S^ABG
=9(份),则&ABC=13(份),因此△竺CSAABC
-,同理连接AI、CH得
13
SAABHSABIC
13,-
Saabc
abc
—J
13
【巩固】
所以
Saabc
如右图,
13-3-3-3
13
_4
13
三角形
ABC中,AF:
FB=BD:
DC=CE:
AE=4:
3,且三角形
ABC的面积是74,求角形GHI
的面积.
连接BG,设SaBGC=1份,根据燕尾定理SAagc:
SABGC二AF:
FB—3:
1,SAABG:
SAAGC二BD:
DC=3:
1,
【解析】连接BG,Saagc-12份
根据燕尾定理,
SAGC:
SaBGC
=AF:
FB=4:
3
=12:
9,Saabg:
Saagc
=BD:
DC=4:
3=16:
12
得Sabgc二9(份),Saabg=16(份),则SaABC
=91216=37(份),
因此§△型
Saabc
12
37
同理连接AI、CH得§△醪
SAABC
12
S^BIC
12
37SAABC
37
所以5△如
SAABC
37-12-1^12
37
丄
~37
三角形ABC的面积是74,所以三角形GHI的面积是74丄=2
37
如图所示,
三个三角形的面积
【例9】两条线段把三角形分为三个三角形和一个四边形,则阴影四边形的面积是多少?
【解析】方法一:
遇到没有标注字母的图形,我们第一步要做的就是给图形各点标注字母,方便后面的计算
再看这道题,出现两个面积相等且共底的三角形.
设三角形为ABC,BE和CD交于F,贝UBF二FE,再连结DE•
所以三角形DEF的面积为3.设三角形ADE的面积为x,
则x:
33二AD:
DB=x・10:
10,所以x=15,四边形的面积为18•
方法二:
设Saadf=X,根据燕尾定理Saabf:
S^bfcafe:
S^efc,得到S^ae^x-3,再根据向右下
飞的燕子,有(x-3•7):
7=x:
3,解得x=:
7.5四边形的面积为7.57.5^18
【巩固】右图的大三角形被分成5个小三角形,其中4个的面积已经标在图中,那么,阴影三角形的面积
是•
【解析】方法一:
整个题目读完,我们没有发现任何与边长相关的条件,也没有任何与高或者垂直有关系的字眼,由此,我们可以推断,这道题不能依靠三角形面积公式求解.我们发现右图三角形中存在一个
比例关系:
2:
s阴影13:
4,解得s阴影二2.
方法二:
回顾下燕尾定理,有2:
(S阴影・4)=1:
3,解得S阴影二2.
【例10】如图,三角形ABC被分成6个三角形,已知其中4个三角形的面积,问三角形ABC的面积是多
少?
【解析】设Sabof=x,由题意知BD:
DC=4:
3根据燕尾定理,得
33
SaABO:
sACO
-BDO:
SacdO
=4:
3,所以
44
3
再根据Saabo:
Sabco=Saaoe:
Sacoe,列方程(84+x):
(40+30)=(63+-x—35):
35解得x=56
4
Saaoe:
35二(5684):
(4030),所以Saaoe二70
所以三角形ABC的面积是84403035567^315
【例11】三角形ABC的面积为15平方厘米,D为AB中点,E为AC中点,F为BC中点,求阴影部分的面积.
SAABM:
SABCM=AE:
CE=1:
1,ACM:
SABCM=AD:
BD=1:
1
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