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第十一章三角形全章教案
教材内容
本章主要内容有三角形的有关段、角,多形及内角和,嵌等。
三角形的高、中和角平分是三角形中的主要段,与三角形有关的角有内角、外角。
教材通学生了解三角形的定性,在知道三角形的内角和等于1800的基上,
行推理,从而得出三角形外角的性。
接着由推广三角形的有关概念,介了多形的
有关概念,利用三角形的有关性研究了多形的内角和、外角和公式。
些知加深了学
生三角形的,既是学特殊三角形的基,也是研究其它形的基。
最后合例
研究了嵌的有关,体了多形内角和公式在生活中的用.
教学目
〔知与技能〕
1、理解三角形及有关概念,会画任意三角形的高、中、角平分;2、了解三角形的
定性,理解三角形两的和大于第三,会根据三条段的度判断它能否构成三角形;3、会明三角形内角和等于1800,了解三角形外角的性。
4、了解多形的有关概念,会
运用多形的内角和与外角和公式解决。
5、理解平面嵌,知道任意一个三角形、四形或正六形可以嵌平面,并能运用它行的平面嵌。
〔程与方法〕
1、在察、操作、推理、等探索程中,展学生的合情推理能力,逐步养成数学推理的;2、在灵活运用知解决有关的程中,体并掌握探索、形性的推理方法,一步培理和行推理的能力。
〔情感、度与价〕
1、体会数学与生活的系,增克服困的勇气和信心;2、会用数学知解决
一些的,增用意;3、使学生一步形成数学来源于践,反来又服于践的唯物主点。
重点点
三角形三关系、内角和,多形的外角和与内角和公式,嵌是重点;三角形内角和等于1800的明,根据三条段的度判断它能否构成三角形及的平面嵌是点。
分配
7.1
与三角形有关的段
⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯
2
7.2
与三角形有关的角
⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯
2
7.3
多形及其内角和
⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯
2
7.4
学
嵌⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯
1
本章小⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯
2
11.1.1三角形的
【教学目】
1、知与技能、理解三角形的表示法,分法以及三存在的关系,展空念。
2、程与方法:
⑴探索三角形中三关系的程,三角形个最,最基本的几何形,提高推理能力。
⑵培养学生数学分的思想。
3、情感度与价:
⑴培养学生的推理能力,运用几何言有条理的表达能力,体会三角形知的用价
1
值。
⑵通过师生共同活动,促进学生在学习活动中培养良好的情感,合作交流,主动参与的意识,在独立思考的同时能够认同他人。
【重点】掌握三角形三边关系
【难点】三角形三边关系的应用
[教学过程]
一、情景导入
三角形是一种最常见的几何图形,[投影1-6]如古埃及金字塔,香港中银大厦,交通标
志,等等,处处都有三角形的形象。
那么什么叫做三角形呢?
二、三角形及有关概念
不在一条直线上的三条线段首尾顺次相接组成的图形叫做三角形。
注意:
三条线段必须①不在一条直线上,②首尾顺次相接。
B
ca
A
b
C
(1)
组成三角形的线段叫做三角形的
边,相邻两边所组成的角叫做三角形的
内角,简称角,
相邻两边的公共端点是三角形的
顶点。
三角形ABC用符号表示为△ABC。
三角形ABC的顶点C所对的边AB可用c表示,顶
点B所对的边AC可用b表示,顶点A所对的边BC可用a表示.三、三角形三边的不等关系
探究:
[投影7]任意画一个△ABC,假设有一只小虫要从B点出发,沿三角形的边爬到C,
它有几种路线可以选择?
各条路线的长一样吗?
为什么?
有两条路线:
(1)从B→C,
(2)从B→A→C;不一样,AB+AC>BC①;因为两点
之间线段最短。
同样地有AC+BC>AB②
AB+BC>AC③
由式子①②③我们可以知道什么?
三角形的任意两边之和大于第三边.
四、三角形的分类
我们知道,三角形按角可分为锐角三角形、钝角三角形、直角三角形,我们把锐角三角形、钝角三角形统称为斜三角形。
2
那么三角形按边如何进行分类呢?
请你按“有几条边相等”将三角形分类。
三边都相等的三角形叫做等边三角形;
有两条边相等的三角形叫做等腰三角形;三边都不相等的三角形叫做不等边三角形。
顶角
按角分类:
三角形直角三角形
斜三角形锐角三角形
钝角三角形
腰腰
底角底角
底边
显然,等边三角形是特殊的等腰三角形。
按边分类:
三角形不等边三角形
等腰三角形底和腰不等的等腰三角形
等边三角形
五、例题
例用一条长为18㎝的细绳围成一个等腰三角形。
(1)如果腰长是底边的2倍,那么各边的长是多少?
(2)能围成有一边长为4㎝的等腰三角形吗?
为什么?
分析:
(1)等腰三角形三边的长是多少?
若设底边长为x㎝,则腰长是多少?
(2)“边
长为4㎝”是什么意思?
解:
(1)设底边长为x㎝,则腰长2x㎝。
x+2x+2x=18
解得x=3.6
所以,三边长分别为3.6㎝,7.2㎝,7.2㎝.
(2)如果长为4㎝的边为底边,设腰长为x㎝,则
4+2x=18
解得x=7
如果长为4㎝的边为腰,设底边长为x㎝,则
2×4+x=18
解得x=10
因为4+4<10,出现两边的和小于第三边的情况,所以不能围成腰长是4㎝的等腰
三角形。
由以上讨论可知,可以围成底边长是4㎝的等腰三角形。
五、课堂练习
课本65面练习1、2题。
六、课堂小结
1、三角形及有关概念;
3
2、三角形的分类;
3、三角形三边的不等关系及应用。
作业:
课本69面1、2、6;70面7题。
11.1.2三角形的高、中线与角平分线
【学习目标】
1、知识目标:
认识三角形的高、中线与角平分线.
2、能力目标:
会用工具准确画出三角形的高、中线与角平分线,通过画图了解三角形的三
条高(及所在直线)交于一点,三角形的三条中线,三条角平分线等都交于一点.
3、情感目标:
采用自学与小组合作学习相结合的方法,培养自己主动参与、勇于探究的精
神。
【重点难点】
重点:
(1)了解三角形的高、中线与角平分线的概念,会用工具准确画出三角形的高、中线与角平分线.
(2)
了解三角形的三条高、三条中线与三条角平分线分别交于一点
.
难点:
(1)三角形平分线与角平分线的区别
三角形的高与垂线的区别.
(2)
钝角三角形高的画法.
(3)
不同的三角形三条高的位置关系.
〔教学过程〕
A
D
一、导入新课
我们已经知道什么是三角形,也学过三角形的高。
E
三角形的主要线段除高外,
还有中线和角平分线值得我们
研究。
B
C
二、三角形的高
请你在图中画出△
ABC的一条高并说说你画法。
A
BDC
从△ABC的顶点A向它所对的边BC所在的直线画垂线,垂足为D,所得线段AD叫做△ABC的边BC上的高,表示为AD⊥BC于点D。
注意:
高与垂线不同,高是线段,垂线是直线。
请你再画出这个三角形AB、AC边上的高,看看有什么发现?
三角形的三条高相交于一点。
如果△ABC是直角三角形、钝角三角形,上面的结论还成立吗?
现在我们来画钝角三角形三边上的高,如图。
4
A
E
D
C
B
F
O
显然,上面的结论成立。
请你画一个直角三角形,再画出它三边上的高。
上面的结论还成立。
三、三角形的中线
如图,我们把连结△ABC的顶点A和它的对边BC的中点D,所得线段AD叫做△ABC的边BC上的中线,表示为BD=DC或BD=DC=1/2BC或2BD=2DC=BC.
A
BDC
请你在图中画出△ABC的另两条边上的中线,看看有什么发现?
三角的三条中线相交于一点。
如果三角形是直角三角形、钝角三角形,上面的结论还成立吗?
请画图回答。
上面的结论还成立。
四、三角形的角平分线
如图,画∠A的平分线AD,交∠A所对的边BC于点D,所得线段AD叫做△ABC的角平分线,表示为∠BAD=∠CAD或∠BAD=∠CAD=1/2∠BAC或2∠BAD=2∠CAD=∠BAC。
A
21
BDC
思考:
三角形的角平分线与角的平分线是一样的吗?
三角形的角平分线是线段,而角的平分线是射线,是不一样的。
请你在图中再画出另两个角的平分线,看看有什么发现?
三角形三个角的平分线相交于一点。
如果三角形是直角三角形、钝角三角形,上面的结论还成立吗?
请画图回答。
上面的结论还成立。
想一想:
三角形的三条高、三条中线、三条角平分线的交点有什么不同?
三角形的三条中线的交点、三条角平分线的交点在三角形的内部,而锐三角形的三条高
的交点在三角形的内部,直角三角形三条高的交战在角直角顶点,钝角三角形的三条高的交点在三角形的外部。
5
五、课堂练习
课本66面练习1、2题。
六、课堂小结
1、三角形的高、中线、角平分线的概念和画法。
2、三角形的三条高、三条中线、三条角平分线及交点的位置规律。
作业:
课本69面3、4;70面8、9题。
11.1.3三角形的稳定性
【学习目标】
1、知识目标:
通过观察和实地操作得到三角形具有稳定性,四边形没有稳定性,2、能力
目标:
稳定性与没有稳定性在生产、生活中广泛应用
3、情感目标:
采用自学与小组合作学习相结合的方法,培养自己主动参与、勇于探究的精
神。
【重点难点】
重点:
了解三角形稳定性在生产、生活是实际应用
难点:
准确使用三角形稳定性与生产生活之中
[教学过程]
一、情景导入
盖房子时,在窗框未安装之前,木工师傅常常先在窗框上斜钉一根木条,为什么要这样
做呢?
二、三角形的稳定性
〔实验〕1、把三根木条用钉子钉成一个三角形木架,然后扭动它,它的形状会改变吗?
(2)
不会改变。
2、把四根木条用钉子钉成一个四边形木架,然后扭动它,它的形状会改变吗?
会改变。
3、在四边形的木架上再钉一根木条,将它的一对顶点连接起来,然后扭动它,它的形
状会改变吗?
6
不会改变。
从上面的实验中,你能得出什么结论?
三角形具有稳定性,而四边形不具有稳定性。
三、三角形稳定性和四边形不稳定的应用
三角形具有稳定性固然好,四边形不具有稳定性也未必不好,它们在生产和生活中都有广泛的应用。
如:
钢架桥、屋顶钢架和起重机都是利用三角形的稳定性,活动挂架则是利用四边形的不稳定性。
你还能举出一些例子吗?
四、课堂练习
1、下列图形中具有稳定性的是()
A正方形B长方形C直角三角形D平行四边形
2、要使下列木架稳定各至少需要多少根木棍?
3、课本68面练习。
作业:
69面5;70面10题。
11.2.1三角形的内角和
【学习目标】
1、了解三角形的内角;
7
2、会用平行线的性质与平角的定义证明三角形内角和等于
180度;
3、学会解决与求角有关的实际问题;
4、初步培养学生的说理能力。
【重点难点】
重点:
了解三角形的内角和性质,学会解决简单的实际问题。
难点:
说明三角形内角和等于
180度。
[教学过程]
一、导入新课
我们在小学就知道三角形内角和等于1800,这个结论是通过实验得到的,这个命题是不是真命题还需要证明,怎样证明呢?
二、三角形内角和的证明
回顾我们小学做过的实验,你是怎样操作的?
把一个三角形的两个角剪下拼在第三个角的顶点处,用量角器量出
0
∠BCD的度数,可得到∠A+∠B+∠ACB=180。
[投影1]
图1
想一想,还可以怎样拼?
0
①剪下∠A,按图
(2)拼在一起,可得到∠A+∠B+∠ACB=180。
图2
②把
B和
C剪下按图(3)拼在一起,可得到∠
0
A+∠B+∠ACB=180。
如果把上面移动的角在图上进行转移,由图1你能想到证明三角形内角和等于1800的
方法吗?
0
已知△ABC,求证:
∠A+∠B+∠C=180。
过点C作CM∥AB,则∠A=∠ACM,∠B=∠DCM,
0
又∠ACB+∠ACM+∠DCM=180
0
∴∠A+∠B+∠ACB=180。
即:
三角形的内角和等于1800。
由图2、图3你又能想到什么证明方法?
请说说证明过程。
8
三、例题
例如图,C岛在A岛的北偏东500方向,B岛在A岛的北偏东800方向,C岛在B岛
的北偏西400方向,从C岛看A、B两岛的视角∠ACB是多少度?
分析:
怎样能求出∠ACB的度数?
根据三角形内角和定理,只需求出∠CAB和∠CBA的度数即可。
∠CAB等于多少度?
怎样求∠CBA的度数?
0
0
0
解:
∠CBA=∠BAD-∠CAD=80-50=30
0
∵AD∥BE∴∠BAD+∠ABE=180
0
0
0
0
∴∠ABE=180-∠BAD=180-80=100
0
0
0
∴∠ABC=∠ABE-∠EBC=100-40=60
0
0
0
0
0
∴∠ACB=180-∠ABC-∠CAB=180-60
-30=90
答:
从C岛看AB两岛的视角∠
0
是
0
ACB=180
90。
四、课堂练习
课本74面1、2题。
作业:
76面1、3、4;77面7、9题。
11.2.2三角形的外角
【教学目标】
1、知识与技能:
使学生初步掌握三角形内角和定理的两个推论,并会应用.。
2、过程与方法:
培养学生总结知识内容,使之条理化,以便加深理解和记忆,养成
良好的学习习惯.
3、情感态度与价值观:
⑴培养学生的推理能力,运用几何语言有条理的表达能力。
⑵通过师生共同活动,促进学生在学习活动中培养良好的情感,合作交流,主动参与
的意识,在独立思考的同时能够认同他人。
【重点】三角形内角和定理推论的应用.
【难点】三角形外角的概念.真正理解推论,并能灵活运用.
[教学过程]
一、导入新课
〔投影1〕如图,△ABC的三个内角是什么?
它们有什么关系?
是∠A、∠B、∠C,它们的和是1800。
若延长BC至D,则∠ACD是什么角?
这个角与△ABC的三个内角有什么关系?
9
二、三角形外角的概念
∠ACD叫做△ABC的外角。
也就是,三角形一边与另一边的延长线组成的角,叫做三角形的外角。
想一想,三角形的外角共有几个?
共有六个。
注意:
每个顶点处有两个外角,它们是对顶角。
研究与三角形外角有关的问题时,通
常每个顶点处取一个外角.
三、三角形外角的性质
容易知道,三角形的外角∠ACD与相邻的内角∠ACB是邻补角,那与另外两个角有怎样的数量关系呢?
〔投影2〕如图,这是我们证明三角形内角和定理时画的辅助线,你能就此图说明∠
ACD与∠A、∠B的关系吗?
∵CE∥AB,∴∠A=∠1,∠B=∠2
又∠ACD=∠1+∠2
∴∠ACD=∠A+∠B
你能用文字语言叙述这个结论吗?
三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角之和。
由加数与和的关系你还能知道什么?
三角形的一个外角大于与它不相邻的任何一个内角。
即ACDA,ACDB。
四、例题
〔投影3〕例如图,∠1、∠2、∠3是三角形ABC的三个外角,它们的和是多少?
分析:
∠1与∠BAC、∠2与∠ABC、∠3与∠ACB有什么关系?
∠BAC、ABC、∠ACB
10
有什么关系?
解:
∵∠1+∠BAC=1800,∠2+∠ABC=1800,∠3+∠ACB=1800,
∴∠1+∠BAC+∠2+∠ABC+∠3+∠ACB=5400
又∠BAC+∠ABC+∠ACB=1800
∴∠1+∠2+∠3==3600。
你能用语言叙述本例的结论吗?
三角形外角的和等于3600。
五、课堂练习
课本75面练习;
六、课堂小结
1、什么是三角形外角?
2、三角形的外角有哪些性质?
作业:
课本76面1、2、5、6;77面8题。
11.3.1多边形
【学习目标】
1、知识目标:
(1)了解多边形及有关概念,理解正多边形及其有关概念.
(2)区别凸多边形与凹多边形.
2、能力目标:
探索多边形的边数与对角线的数量之间的关系及转化思想的渗透.
3、情感目标:
采用自学与小组合作学习相结合的方法,培养自己主动参与、勇于探究的精
神.
【重点难点】
重点:
(1)了解多边形及其有关概念,理解正多边形及其有关概念.
(2)探索多边形的边数与对角线的数量之间的关系.
难点:
(1)多边形定义的准确理解.
(2)多边形的边数与对角线的数量之间的关系.
[教学过程]
一、情景导入
[投影1]看下面的图片,你能从中找出由一些线段围成的图形吗?
二、多边形及有关概念
这些图形有什么特点?
11
由几条段成;它不在同一条直上;首尾次相接.
种在平面内,由一些不在同一条直上的段首尾次相接成的形叫做多形。
多形按成它的段的条数分成三角形、四形、五形⋯⋯、n形。
就是,
一个多形由几条段成,就叫做几形,三角形是最的多形。
与三角形似地,多形相两成的角叫做多形的内角,如中的∠A、∠B、
∠C、∠D、∠E。
多形的与它的的延成的角叫做多形的外角.如中的∠
1是五形ABCDE的一个外角。
[投影2]
接多形的不相的两个点的段,叫做多形的角.
四形有几条角?
五形有几条角?
画看看。
你能猜想n形有多少条角?
你的想法。
n形有1/2n(n-3)条角。
因从n形的一个点可以引n-3条角,n
个点共引n(n-3)条角,又由于接任意两个点的两条角是相同的,所以,n形有1/2n(n-3)条角。
三、凸多形和凹多形
[投影3]如,下面的两个多形有什么不同?
在
(1)中,画出四形ABCD的任何一条所在的直,整个形都在条直的
同一,的四形叫做凸四形,的多形称凸多形;而
(2)就不足上
述凸多形的特征,因我画BD所在直,整个多形不都在条直的同一,我
称它凹多形。
注意:
今后我的多形指的都是凸多形.
四、正多形的概念
我知道,等三角形、正方形的各个角都相等,各条都相等,像各个角都相等,
各条都相等的多形叫做正多形。
[投影4]下面是正多形的一些例子。
12
五、课堂练习
课本81面练习1。
2、有五个人在告别的时候相互各握了一次手,他们共握了多少次手?
你能找到一个几
何模型来说明吗?
六、课堂小结
1、多边形及有关概念。
2、区别凸多边形和凹多边形。
3、正多边形的概念。
4、n边形对角线有1/2n(n-3)条。
作业:
课本84面1。
7.3.2多边形的内角和
11.3.2多边形的内角和
[学习目标]
1.使学生了解多边形的内角、外角等概念.
2.能通过不同方法探索多边形的内角和与外角和公式,并会应用它们进行有关计算.
[学习重点、难点]
1.重点:
(1)多边形的内角和公式.
(2)多边形的外角和公式.
2.难点:
多边形的内角和定理的推导.
[教学过程]
一、复习导入
我们已经证明了三角形的内角和为180°,在小学我们用量角器量过四边形的内角的度数,知道四边形内角的和为360°,现在你能利用三角形的内角和定理证明吗?
二、多边形的内角和
〔投影1〕如图,从四边形的一个顶点出发可以引几条对角线?
它们将四边形分成几个
三角形?
那么四边形的内角和等于多少度?
A
D
BC
13
可以引一条角;它将四形分成两个三角形;因此,四形的内角和=△ABD的内
角和+△BDC的内角和=2×180°=360°。
似地,你能知道五形、六形⋯⋯n形的内角和是多少度?
〔投影2〕察下面的形,填空:
五形六形
从五形一个点出可以引角,它将五形分成三角形,五形的内
角和等于;
从六形一个点出可以引角,它将六形分成三角形,六形的内
角和等于;
〔投影3〕从n形一个点出,可以引角,它将n形分成三角形,
n形的内角和等于。
n形的内角和等于
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