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人口增长模型的确定

数学建模论文

第1套

论文题目：

人口增长模型的确定

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题目：

人口增长模型的确定

摘要

针对问题一，本文建立了Malthus人口指数增长模型。

由于人口数量较少时，人口的增长率可以看成常数，所以在预测人口数量较少时，Malthus人口指数增长模型能够比较准确的预测人口数量。

由预测结果可以看出，Malthus模型在人口数量不是很大的1800年到1960年预测与实际相近，但在1960年以后预测结果与实际人口相差很大，这说明Malthus模型并不能准确的预测美国人口，因此在问题二种对该模型进行了改进。

针对问题二，本文建立了logistic人口增长模型。

由于受到自然资源和生态环境的限制，人口的增长不能超过环境所能容纳的最大人口数量，所以当人口数量到达环境容纳量时，增长率应为0。

从预测结果来看，从1790年到1980年Logistic模型的预测数据和实际数据基本吻合。

从1990年的预测结果来看，其与实际结果非常相近，更加趋近于实际数据。

在一定程度上，Logistic模型从一定程度上克服了指数增长的不足，更能准确地预测美国人口的增长。

但随着时间的推移，Logistic模型的预测结果与实际结果的差距越来越大，因此这种模型也只适用于对最近几个十年的人口进行预测。

针对问题三，本文应用问题一和问题二的模型。

用这两种模型分析中国同时期的人口数量。

由预测结果来看，Malthus模型预测1790年到1980年之间的中国人口数量，与实际数据相差甚大，在1840-1940年之间，实际人口增长明显下降，而Logistic模型更加拟合实际人口数量。

在2010年，Logistic模型预测的人口数量为16亿，这与实际的人口数量13.4亿相差较大，这种差距是由中国在90年代实行的计划生育政策造成的。

综上所述，Logistic模型能够比较准确的对人口进行预测，但是任何一种模型都有其适用范围，也只能最近几年的人口，如果要预测更远的未来的人口，还需要考虑更多的不确定因素。

关键词：

人口增长模型，Malthus模型，logistic模型，人口预测

一、问题重述

1790-1980年间美国每隔10年的人口记录如下表所示。

表1人口记录表

年份

1790

1800

1810

1820

1830

1840

1850

1860

1870

1880

人口（106）

3.9

5.3

7.2

9.6

12.9

17.1

23.2

31.4

38.6

50.2

年份

1890

1900

1910

1920

1930

1940

1950

1960

1970

1980

人口（106）

62.9

76.0

92.0

106.5

123.2

131.7

150.7

179.3

204.0

226.5

1.试用以上数据建立马尔萨斯（Malthus）人口指数增长模型，并对接下来的每隔十年预测五次人口数量，并查阅实际数据进行比对分析。

2.如果数据不相符，再对以上模型进行改进，寻找更为合适的模型进行预测，并对两次预测结果进行对比分析。

3.查阅资料找出中国人口与表1同时期的人口数量，用以上建立的两个模型进行人口预测与分析。

二、问题分析

针对问题一，题目中已经给出了1790-1980年间美国每隔10年的人口记录，现需建立Malthus人口指数增长模型，拟合实际人口数量。

再根据已建立的模型对接下来的每隔十年预测五次人口数量，最后可以查找1990年、2000年和2010年的实际人口与预测的结果进行比较，对模型进行检验。

针对问题二，由于人口的变化受到多方面因素的影响，所以实际人口往往不是以指数形式增长的，而更可能是增长到一定程度后逐渐趋于平稳的，为此我们可以采用Logistic阻滞增长模型对人口进行预测和分析。

针对问题三，可以查阅到与表1同时期的中国人口数据，然后用再用Malthus模型和Logistic模型对中国人口进行预测，并与实际人口数据进行对比，寻找一种更适合中国人口预测的模型。

三、问题假设

1、假设不会发生大的灾难或疾病使人口数量急剧减少；

2、假设政策对生育率不进行干预；

3、假设人口数量的变化是封闭的，即人口数量的增加与减少只取决于人口中个体的生育与死亡，且每个个体具有同样的生育能力与死亡率；

4、假设人口数量仅受自然资源与环境条件所限制。

四、变量说明

x（t）

t时刻的人口数量

x0

初始时刻的人口数量

r

人口增长率

xm

自然资源与环境条件所能容纳的最大人口数量

五、模型建立与求解

5.1模型一的建立与求解

假设x（t）表示t时刻的人口的人口数，且x（t）连续可微。

在Malthus模型中人口的增长率为常数。

人口数量的变化是封闭的，即人口的增长与减少只取决于人口中个体的生育与死亡，且每个个体具有同样的生育率与死亡率。

由假设，由t到

时刻的人口增量为：

于是得

其解为

5.2模型二的建立与求解

由于地球上的资源是有限的，它只能提供一定数量生命生存所需的条件。

随着人口的增加，自然资源、环境等条件对人口再增长的限制作用越来越明显。

如果在人口较小时，可以把增长率r看成常数，当人口增加到一定数量之后，就应该把r看成随着人口增加而减小的量。

即将增长率r表示为人口x（t）的函数r（x），且r（x）为x的减函数，由此建立logistic模型。

假设r（x）为x的线性函数，即

自然资源与环境所能容纳的最大人口数量为xm，即当

时，人口的增长率为0。

由假设可得

则有，

式（）是一个可分离变量的方程，其解为

六、结果分析

6.1问题一

采用Malthus模型对问题一求解，所得预测结果如图1和表2所示：

图1Malthus模型预测结果

表2Malthus模型预测结果

年份

1990

2000

2010

2020

2030

Malthus预测人口（106）

405.53

502.40

622.41

771.08

955.26

实际人口（106）

248.71

281.42

308.74

由图1可知，在1930年之前，美国的人口可以认为是以指数模型增长的；而在1930年到1940年之间，人口增长缓慢，这可能是第二次世界大战对美国人口产生了影响；1940年之后，人口增长逐渐趋于缓慢，不再以指数模型进行增长，这与美国人口的生活观念和生活方式的转变有一定的关系。

由表2可知，Malthus模型的预测结果与实际人口相差很大，这说明Malthus模型并不能用于预测美国人口，因此该模型还需要进一步改进。

6.2问题二

采用Logistic模型对问题二求解，所得预测结果如图2和表3所示：

图1Logistic模型预测结果

表3Logistic模型预测结果

年份

1990

2000

2010

2020

2030

Logistic预测人口（106）

230.91

242.51

252.01

259.66

265.72

实际人口（106）

248.71

281.42

308.74

由图2可知，从1790年到1980年Logistic模型的预测数据和实际数据基本吻合。

从1990年的预测结果来看，其与实际结果非常相近，只有7.7%的误差。

这说明Logistic模型从一定程度上克服了指数增长的不足，更加符合实际人口增长的速度。

但随着时间的推移，Logistic模型的预测结果与实际结果的差距越来越大，因此这种模型也只适用于对最近几个十年的人口进行预测，如果用来预测更远的未来的人口，还需要考虑更多的不确定因素。

6.3问题三

查阅同时期中国人口数量如下表4所示：

表4中国人口记录表

年份

1790

1800

1810

1820

1830

1840

1850

1860

1870

1880

人口（

）

323.45

341.6

360.7

381

409

412

412

377

358

368

年份

1890

1900

1910

1920

1930

1940

1950

1960

1970

1980

人口（

）

380

400

423

472

489

518.77

551.67

662.07

825.4

987.0

分别用模型一和模型二的求解，所得预测结果如图3和表5所示：

年份

1990

2000

2010

2020

2030

Malthus预测人口（106）

702.16

732.44

764.20

796.96

831.33

Logistic预测人口（106）

1137.03

1352.09

1606.62

1900.1

2228.6

实际人口（106）

1135.18

1264.10

1341

由图3发现，由Malthus模型预测1790年-1980年之间的中国人口数量，与实际数据相差很大，在1840-1940年之间，人口增长明显下降，而Logistic模型更加拟合实际人口数量。

在2010年，Logistic模型预测的人口数量为16亿，这与实际的人口数量13.4亿相差较大，这种差距是由中国在90年代实行的计划生育政策造成的。

八、参考文献

[1]张志涌，杨祖樱.MATLAB教程[M].北京：

北京航空航天大学出版社,2011.

[2]姜启源，谢金星，叶俊.数学建模（第三版）习题参考解答[M],北京，高等教育出版社，2002.

[3]齐欢.数学模型方法[M].武汉：

华中理工大学出版社，2005.

[4]谢金星，薛毅.优化建模与LINDO/LINGO软件[M].北京，清华大学出版社，2005

[5]李工农，阮晓，青徐晨.经济预测与决策及其MATLAB实现[M].北京：

清华大学出版社，2007.

九、附录

程序1

clear

clc

t=1790:

10:

1980;

x（t）=[3.95.37.29.612.917.123.231.438.650.262.976.092.0106.5123.2131.7150.7179.3204.0226.5];

y=log（x（t））;

a=polyfit（t,y,1）

r=a

（1）,x0=exp（a

（2））

t1=1790:

10:

2030;

x1=x0.*exp（r.*t1）;

plot（t,x（t）,'r',t1,x1,'b'）;

axis（[179020100700]）;

程序2

clear

clc

%定义向量（数组）

x=1790:

10:

1980;

y=[3.95.37.29.612.917.123.231.438.650.262.976...

92106.5123.2131.7150.7179.3204226.5];

plot（x,y,'*',x,y）;%画点，并且画一直线把各点连起来

holdon;

a0=[0.001,1];%初值

%最重要的函数，第1个参数是函数名（一个同名的m文件定义），第2个参数是初值，第3、4个参数是已知数据点

a=lsqcurvefit（'curvefit_fun2',a0,x,y）;

disp（['a='num2str（a）]）;%显示结果

%画图检验结果

xi=1790:

10:

2010;

yi=curvefit_fun2（a,xi）;

plot（xi,yi,'r'）;

%预测1990年的数据

x1=1990;

y1=curvefit_fun2（a,x1）

%预测2000年的数据

x2=2000;

y2=curvefit_fun2（a,x2）

%预测2010年的数据

x3=2010;

y3=curvefit_fun2（a,x3）

%预测2020年的数据

x4=2020;

y4=curvefit_fun2（a,x4）

%预测2030年的数据

x5=2030;

y5=curvefit_fun2（a,x5）

holdoff

美国人口预测

年份

实际

Logistic

Malthus

相对误差（Malthus）

相对误差（Logistic）

1790

3.9

3.9

5.59167

-43.37615385

0

1800

5.3

5.16691

6.92733

-30.70433962

2.511132075

1810

7.2

6.8354

8.58203

-19.19486111

5.063888889

1820

9.6

9.02534

10.63198

-10.74979167

5.986041667

1830

12.9

11.88703

13.17159

-2.105348837

7.85248062

1840

17.1

15.60494

16.31783

4.574093567

8.743040936

1850

23.2

20.39912

20.2156

12.8637931

12.07275862

1860

31.4

26.52166

25.04442

20.24070064

15.53611465

1870

38.6

34.24477

31.02667

19.62002591

11.28297927

1880

50.2

43.83676

38.43787

23.43053785

12.67577689

1890

62.9

55.52269

47.61936

24.29354531

11.72863275

1900

76

69.43027

58.99399

22.37632895

8.644381579

1910

92

85.52814

73.08562

20.5591087

7.034630435

1920

106.5

103.57255

90.54326

14.98285446

2.748779343

1930

123.2

123.08527

112.17094

8.952159091

0.093125

1940

131.7

143.38309

138.96472

-5.516112377

-8.870987092

1950

150.7

163.66332

172.15862

-14.23929662

-8.602070338

1960

179.3

183.12602

213.28139

-18.95225321

-2.133865031

1970

204

201.09536

264.22698

-29.52302941

1.423843137

1980

226.5

217.10295

327.34173

-44.5217351

4.148807947

1990

--

230.91488

405.53242

2000

--

242.50778

502.40017

2010

--

252.01481

622.4063

2020

259.6639

771.07778

2030

265.7242

955.26175

中国人口预测

年份

中国

Malthus

Logistic

相对误差（Malthus）

相对误差（Logistic）

1790

323.45

301.81471

303.9

6.688913279

6.044210852

1800

341.6

314.8293

305.14258

7.836855972

10.67254684

1810

360.75

328.40509

306.78056

8.966018018

14.96034373

1820

381

342.56629

308.9394

10.08758793

18.91354331

1830

409

357.33813

311.78408

12.63126406

23.76917359

1840

412

372.74695

315.5314

9.52743932

23.41470874

1850

412

388.82021

320.46584

5.626162621

22.21702913

1860

377

405.58657

326.96015

-7.582644562

13.27316976

1870

358

423.07592

335.50171

-18.17763128

6.284438547

1880

368

441.31943

346.72593

-19.92375815

5.780997283

1890

380

460.34961

361.45825

-21.14463421

4.879407895

1900

400

480.2004

380.76564

-20.0501

4.80859

1910

423

500.90718

406.01837

-18.41777305

4.01456974

1920

472

522.50686

438.96102

-10.70060593

6.999783898

1930

489

545.03794

481.78915

-11.45970143

1.474611452

1940

518

568.54058

537.22329

-9.756868726

-3.711059846

1950

551.67

593.05669

608.56421

-7.502073703

-10.31308753

1960

662.07

618.62995

699.70282

6.5612473

-5.684114973

1970

825.42

645.30597

815.04422

21.82089482

1.25703036

1980

987.05

673.13228

959.2922

31.803629

2.812197964

1990

702.1585

1137.03535

2000

732.43636

1352.09174

2010

764.01983

1606.62412

2020

796.96522

1900.1

2030

831.33125

2228.6

..

.