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高中数学必修一至必修五知识点总结完整版
高中数学必修1知识点总结
第一章集合与函数概念
一、集合有关概念
1、集合的含义:
某些指定的对象集在一起就成为一个集合,其中每一个
对象叫元素。
2、集合的中元素的三个特性:
1.元素确实定性;2.元素的互异性;3.元素的无序性
说明:
(1)对于一个给定的集合,集合中的元素是确定的,任何一个对象
或者是或者不是这个给定的集合的元素。
(2)任何一个给定的集合中,任何两个元素都是不同的对象,一样的对象
归入一个集合时,仅算一个元素。
(3)集合中的元素是平等的,没有先后顺序,因此判定两个集合是否一样,
仅需比拟它们的元素是否一样,不需考察排列顺序是否一样。
(4)集合元素的三个特性使集合本身具有了确定性和整体性。
3、集合的表示:
{,}如{我校的篮球队员},{太平洋,大西洋,印度洋,
北冰洋}
1.用拉丁字母表示集合:
A={我校的篮球队员},B={1,2,3,4,5}
2.集合的表示方法:
列举法与描述法。
非负整数集〔即自然数集〕记作:
N
正整数集N*或N+整数集Z有理数集Q实数集R
关于“属于〞的概念
集合的元素通常用小写的拉丁字母表示,如:
a是集合A的元素,就说a
属于集合A记作a∈A,相反,a不属于集合A记作aA
列举法:
把集合中的元素一一列举出来,然后用一个大括号括上。
描述法:
将集合中的元素的公共属性描述出来,写在大括号内表示集合的
方法。
用确定的条件表示某些对象是否属于这个集合的方法。
①语言描述法:
例:
{不是直角三角形的三角形}②数学式子描述法:
例:
不等式x-3>2的解集是{x?
R|x-3>2}或{x|x-3>2}
4、集合的分类:
〔1〕.有限集含有有限个元素的集合
〔2〕.无限集含有无限个元素的集合
〔3〕.空集不含任何元素的集合例:
{x|x2=-5}
二、集合间的根本关系
1.“包含〞关系—子集
注意:
有两种可能〔1〕A是B的一局部,;〔2〕A与B是同一集合。
反之:
集合A不包含于集合B,或集合B不包含集合A,记作AB或BA
2.“相等〞关系(5≥5,且5≤5,那么5=5)
实例:
设A={x|x2-1=0}B={-1,1}“元素一样〞结论:
对于两个集合A与B,如果集合A的任何一个元素都是集合B的元素,同时,集合B的任何一个元素都是集合A的元素,我们就说集合A等
于集合B,即:
A=B
-1-
任何一个集合是它本身的子集。
AA
②真子集:
如果AB,且BA那就说集合A是集合B的真子集,记作A
B(或BA)
③如果AB,BC,那么AC
④如果AB同时BA那么A=B
2.不含任何元素的集合叫做空集,记为Φ
规定:
空集是任何集合的子集,空集是任何非空集合的真子集。
三、集合的运算
1.交集的定义:
一般地,由所有属于A且属于B的元素所组成的集合,
叫做A,B的交集.
记作A∩B(读作〞A交B〞),即A∩B={x|x∈A,且x∈B}.
2、并集的定义:
一般地,由所有属于集合A或属于集合B的元素所组成
的集合,叫做A,B的并集。
记作:
A∪B(读作〞A并B〞),即A∪B={x|x
∈A,或x∈B}.
3、交集与并集的性质:
A∩A=A,A∩φ=φ,A∩B=B∩A,A∪A=A,
A∪φ=A,A∪B=B∪A.
4、全集与补集
〔1〕补集:
设S是一个集合,A是S的一个子集〔即〕,由S中所有不
属于A的元素组成的集合,叫做S中子集A的补集〔或余集〕
〔2〕全集:
如果集合S含有我们所要研究的各个集合的全部元素,这个
集合就可以看作一个全集。
通常用U来表示。
四、函数的有关概念
1.函数的概念:
设A、B是非空的数集,如果按照某个确定的对应关系f,
使对于集合A中的任意一个数x,在集合B中都有唯一确定的数f(x)和它对应,那么就称f:
A→B为从集合A到集合B的一个函数.记作:
y=f(x),x
∈A.其中,x叫做自变量,x的取值X围A叫做函数的定义域;与x的值相对应的y值叫做函数值,函数值的集合{f(x)|x∈A}叫做函数的值域.注意:
如果只给出解析式y=f(x),而没有指明它的定义域,那么函数的定义域即是指能使这个式子有意义的实数的集合;函数的定义域、值域要写成集合或区间的形式.
定义域补充
能使函数式有意义的实数x的集合称为函数的定义域,求函数的定义域时列
不等式组的主要依据是:
(1)分式的分母不等于零;
(2)偶次方根的被开方数不小于零;(3)对数式的真数必须大于零;(4)指数、对数式的底必须大于零
且不等于1.(5)如果函数是由一些根本函数通过四那么运算结合而成的.那么,它的定义域是使各局部都有意义的x的值组成的集合.〔6〕指数为零底不可以等于零(6)实际问题中的函数的定义域还要保证实际问题有意义.
-2-
(又注意:
求出不等式组的解集即为函数的定义域。
)
构成函数的三要素:
定义域、对应关系和值域
注意:
〔1〕构成函数三个要素是定义域、对应关系和值域.由于值域是由定
义域和对应关系决定的,所以,如果两个函数的定义域和对应关系完全一致,
即称这两个函数相等〔或为同一函数〕〔2〕两个函数相等当且仅当它们的定
义域和对应关系完全一致,而与表示自变量和函数值的字母无关。
一样函数
的判断方法:
①表达式一样;②定义域一致(两点必须同时具备)(见课本
21页相关例2)
值域补充
(1)、函数的值域取决于定义域和对应法那么,不管采取什么方法求函数的值域
都应先考虑其定义域.
(2).应熟悉掌握一次函数、二次函数、指数、对数函
数及各三角函数的值域,它是求解复杂函数值域的根底。
3.函数图象知识归纳
(1)定义:
在平面直角坐标系中,以函数y=f(x),(x∈A)中的x为横坐标,
函数值y为纵坐标的点P(x,y)的集合C,叫做函数y=f(x),(x∈A)的图象.
集合C上每一点的坐标(x,y)均满足函数关系y=f(x),反过来,以满足y=f(x)
的每一组有序实数对x、y为坐标的点(x,y),均在C上.即记为C={P(x,y)
|y=f(x),x∈A},图象C一般的是一条光滑的连续曲线(或直线),也可能
是由与任意平行与Y轴的直线最多只有一个交点的假设干条曲线或离散点组
成。
(2)画法
A、描点法:
根据函数解析式和定义域,求出x,y的一些对应值并列表,以(x,y)
为坐标在坐标系内描出相应的点P(x,y),最后用平滑的曲线将这些点连接
起来.
B、图象变换法〔请参考必修4三角函数〕
常用变换方法有三种,即平移变换、伸缩变换和对称变换
(3)作用:
1、直观的看出函数的性质;2、利用数形结合的方法分析解题的思路。
提高
解题的速度。
发现解题中的错误。
4.了解区间的概念
〔1〕区间的分类:
开区间、闭区间、半开半闭区间;〔2〕无穷区间;〔3〕区间
的数轴表示.
5.什么叫做映射
一般地,设A、B是两个非空的集合,如果按某一个确定的对应法那么f,使对
于集合A中的任意一个元素x,在集合B中都有唯一确定的元素y与之对应,
那么就称对应f:
A→B为从集合A到集合B的一个映射。
记作“f:
A→B〞
给定一个集合A到B的映射,如果a∈A,b∈B.且元素a和元素b对应,那么,
我们把元素b叫做元素a的象,元素a叫做元素b的原象
说明:
函数是一种特殊的映射,映射是一种特殊的对应,①集合A、B及对应
-3-
法那么f是确定的;②对应法那么有“方向性〞,即强调从集合A到集合B的对应,
它与从B到A的对应关系一般是不同的;③对于映射f:
A→B来说,那么应满足:
〔Ⅰ〕集合A中的每一个元素,在集合B中都有象,并且象是唯一的;〔Ⅱ〕
集合A中不同的元素,在集合B中对应的象可以是同一个;〔Ⅲ〕不要求集合
B中的每一个元素在集合A中都有原象。
常用的函数表示法及各自的优点:
1函数图象既可以是连续的曲线,也可以是直线、折线、离散的点等等,注意
判断一个图形是否是函数图象的依据;2解析法:
必须注明函数的定义域;3图
象法:
描点法作图要注意:
确定函数的定义域;化简函数的解析式;观察函数
的特征;4列表法:
选取的自变量要有代表性,应能反映定义域的特征.
解析法:
便于算出函数值。
列表法:
便于查出函数值。
图象法:
便于量出函数
值.
补充一:
分段函数〔参见课本P24-25〕
在定义域的不同局部上有不同的解析表达式的函数。
在不同的X围里求函数值
时必须把自变量代入相应的表达式。
分段函数的解析式不能写成几个不同的方
程,而就写函数值几种不同的表达式并用一个左大括号括起来,并分别注明各
局部的自变量的取值情况.〔1〕分段函数是一个函数,不要把它误认为是几个
函数;〔2〕分段函数的定义域是各段定义域的并集,值域是各段值域的并集.
补充二:
复合函数
如果y=f(u),(u∈M),u=g(x),(x∈A),那么y=f[g(x)]=F(x),(x∈A)称为f、g
的复合函数。
例如:
y=2sinxy=2cos(2x+1)
7.函数单调性
〔1〕.增函数
设函数y=f(x)的定义域为I,如果对于定义域I内的某个区间D内的任意两个
自变量a,b,当a
数。
区间D称为y=f(x)的单调增区间〔睇清楚课本单调区间的概念〕
如果对于区间D上的任意两个自变量的值a,b,当a
那么就说f(x)在这个区间上是减函数.区间D称为y=f(x)的单调减区间.
注意:
1函数的单调性是在定义域内的某个区间上的性质,是函数的局部性质;
2必须是对于区间D内的任意两个自变量a,b;当a
〔2〕图象的特点
如果函数y=f(x)在某个区间是增函数或减函数,那么说函数y=f(x)在这一区间上具有(严格的)单调性,在单调区间上增函数的图象从左到右是上升的,减
函数的图象从左到右是下降的.
(3).函数单调区间与单调性的判定方法
(A)定义法:
任取a,b∈D,且a
式分解和配方〕;4定号〔即判断差f(a)-f(b)的正负〕;5下结论〔指出函
数f(x)在给定的区间D上的单调性〕.
(B)图象法(从图象上看升降)_
-4-
(C)复合函数的单调性
复合函数f[g(x)]的单调性与构成它的函数u=g(x),y=f(u)的单调性密切相关
注意:
1、函数的单调区间只能是其定义域的子区间,不能把单调性一样的区
间和在一起写成其并集.2、还记得我们在选修里学习简单易行的导数法判定
单调性吗?
8.函数的奇偶性
〔1〕偶函数
一般地,对于函数f(x)的定义域内的任意一个x,都有f(-x)=f(x),那么f(x)
就叫做偶函数.〔2〕.奇函数
一般地,对于函数f(x)的定义域内的任意一个x,都有f(-x)=—f(x),那么
f(x)就叫做奇函数.
注意:
1、函数是奇函数或是偶函数称为函数的奇偶性,函数的奇偶性是函数
的整体性质;函数可能没有奇偶性,也可能既是奇函数又是偶函数。
2、由函数的奇偶性定义可知,函数具有奇偶性的一个必要条件是,对于定义
域内的任意一个x,那么-x也一定是定义域内的一个自变量〔即定义域关于原点对称〕.
3、具有奇偶性的函数的图象的特征
偶函数的图象关于y轴对称;奇函数的图象关于原点对称.
总结:
利用定义判断函数奇偶性的格式步骤:
1首先确定函数的定义域,并判
断其定义域是否关于原点对称;2确定f(-x)与f(x)的关系;3作出相应结
论:
假设f(-x)=f(x)或f(-x)-f(x)=0,那么f(x)是偶函数;假设f(-x)=
-f(x)或f(-x)+f(x)=0,那么f(x)是奇函数.
注意:
函数定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的必要条件.首先看函数的
定义域是否关于原点对称,假设不对称那么函数是非奇非偶函数.假设对称,
(1)再根据定义判定;
(2)有时判定f(-x)=±f(x)比拟困难,可考虑根据是否有f(-x)
±f(x)=0或f(x)/f(-x)=±1来判定;(3)利用定理,或借助函数的图象判定.
9、函数的解析表达式
〔1〕.函数的解析式是函数的一种表示方法,要求两个变量之间的函数关系时,
一是要求出它们之间的对应法那么,二是要求出函数的定义域.
〔2〕.求函数的解析式的主要方法有:
待定系数法、换元法、消参法等,如果
函数解析式的构造时,可用待定系数法;复合函数f[g(x)]的表达式
时,可用换元法,这时要注意元的取值X围;当表达式较简单时,也可用
凑配法;假设抽象函数表达式,那么常用解方程组消参的方法求出f(x)
10.函数最大〔小〕值〔定义见课本p36页〕
〔1〕、利用二次函数的性质〔配方法〕求函数的最大〔小〕值.〔2〕、利
用图象求函数的最大〔小〕值〔3〕、利用函数单调性的判断函数的最大〔小〕
值:
如果函数y=f(x)在区间[a,b]上单调递增,在区间[b,c]上单调递减那么
函数y=f(x)在x=b处有最大值f(b);如果函数y=f(x)在区间[a,b]上单调递
减,在区间[b,c]上单调递增那么函数y=f(x)在x=b处有最小值f(b);
-5-
第二章根本初等函数
一、指数函数
〔一〕指数与指数幂的运算
n,那么x叫做a的n次方根〔nthroot〕,
1.根式的概念:
一般地,如果xa
其中n>1,且n∈N
*.
当n是奇数时,正数的n次方根是一个正数,负数的n次方根是一个负数.此
时,a的n次方根用符号na表示.式子na叫做根式〔radical〕,这里n叫
做根指数〔radicalexponent〕,a叫做被开方数〔radicand〕.
当n是偶数时,正数的n次方根有两个,这两个数互为相反数.此时,正
数a的正的n次方根用符号na表示,负的n次方根用符号-
na表示.正
的n次方根与负的n次方根可以合并成±na〔a>0〕.由此可得:
负数没有
偶次方根;0的任何次方根都是0,记作n00。
nn,当n是偶数时,
注意:
当n是奇数时,aa
2.分数指数幂
正数的分数指数幂的意义,规定:
nn
a
|a|
a
a
(a
(a
0)
0)
mm
,11(0,,,1)
nm
*n*naamnN
na(a0,
m,nN,1)an
m
nm
an
a
0的正分数指数幂等于0,0的负分数指数幂没有意义
指出:
规定了分数指数幂的意义后,指数的概念就从整数指数推广到了有
理数指数,那么整数指数幂的运算性质也同样可以推广到有理数指数幂.
3.实数指数幂的运算性质
〔1〕
r
a·
rars
a(a0,r,sR);〔2〕
rsars
((a0,r,sR);
a)
〔3〕
raa
rs
((a0,r,sR).
ab)
〔二〕指数函数及其性质
x且叫做指数函数1、指数函数的概念:
一般地,函数ya(a0,a1)
〔exponentialfunction〕,其中x是自变量,函数的定义域为R.
注意:
指数函数的底数的取值X围,底数不能是负数、零和1.
2、指数函数的图象和性质
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