动量守恒定律的典型例题.docx

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动量守恒定律的典型例题

动量守恒定律的典范例题之老阳三干创作

创作时间：

二零二一年六月三十日

【例1】把一支枪固定在小车上,小车放在光滑的水平桌面上．枪发射出一颗子弹．对此过程,下列说法中正确的有哪些？

[]

A．枪和子弹组成的系统动量守恒

B．枪和车组成的系统动量守恒

C．车、枪和子弹组成的系统动量守恒

D．车、枪和子弹组成的系统近似动量守恒,因为子弹和枪筒之间有摩擦力．且摩擦力的冲量甚小

【分析】本题涉及如何选择系统,并判断系统是否动量守恒．物体间存在相互作用力是构成系统的需要条件,据此,本题中所涉及的桌子、小车、枪和子弹符合构成系统的条件．不单如此,这些物体都跟地球有相互作用力．如果仅依据有相互作用就该纳入系统,那么推延下去只有把整个宇宙包括进去才华算是一个完整的体系,显然这对分析、解决一些具体问题是没有意义的．选择体系的目的在于应用动量守恒定律去分析和解决问题,这样在选择物体构成体系的时候,除物体间有相互作用之外,还必需考虑“由于物体的相互作用而改变了物体的动量”的条件．桌子和小车之间虽有相互作用力,但桌子的动量并没有发生变动．不应纳入系统内,小车、枪和子弹由于相互作用而改变了各自的动量,所以这三者构成了系统．分析系统是否动量守恒,则应区分内力和外力．对选定的系统来说,重力和桌面的弹力是外力,由于其合力为零所以系统动量守恒．子弹与枪筒之间的摩擦力是系统的内力,只能影响子弹和枪各自的动量,不能改变系统的总动量．所以D的因果论述是毛病的．

【解】正确的是C．

【例2】一个质量M=1kg的鸟在空中v0=6m/s沿水平方向飞行,离空中高度h=20m,忽被一颗质量m=20g沿水平方向同向飞来的子弹击中,子弹速度v=300m/s,击中后子弹留在鸟体内,鸟立即死去,g=10m/s2．求：

鸟被击中后经几多时间落地；鸟落地处离被击中处的水平距离．

【分析】子弹击中鸟的过程,水平方向动量守恒,接着两者一起作平抛运动.

【解】把子弹和鸟作为一个系统,水平方向动量守恒．设击中后的共同速度为u,取v0的方向为正方向,则由

Mv0＋mv＝（m＋M）u,

得

击中后,鸟带着子弹作平抛运动,运动时间为

鸟落地处离击中处水平距离为

S＝ut＝11.76×2m＝23.52m．

【例3】一列车沿平直轨道以速度v0匀速前进,途中最后一节质量为m的车箱突然脱钩,若前部列车的质量为M,脱钩后牵引力不变,且每一部份所受摩擦力均正比于它的重力,则当最后一节车箱滑行停止的时刻,前部列车的速度为[]

【分析】列车原来做匀速直线运动,牵引力F即是摩擦力f,f=k（m＋M）g（k为比例系数）,因此,整个列车所受的合外力即是零．尾部车箱脱钩后,每一部份所受摩擦力仍正比于它们的重力．因此,如果把整个列车作为研究对象,脱钩前后所受合外力始终为零,在尾部车箱停止前的任何一个瞬间,整个列车（前部+尾部）的动量应该守恒．考虑刚脱钩和尾部车箱刚停止这两个瞬间,由

（m+M）v0=0+Mv

得此时前部列车的速度为

【答】B．

【说明】上述求解是根据列车受力的特点,恰本地选取研究对象,巧妙地运用了动量守恒定律,显得非常简单．如果把每一部份作为研究对象,就需用牛顿第二定律等规律求解．有兴趣的同学,请自行研究比力．

【例4】质量m1=10g的小球在光滑的水平桌面上以v1=30cm/s的速率向右运动,恰好遇上在同一条直线上向左运动的另一个小球．第二个小球的质量为m2=50g,速率v2=10cm/s．碰撞后,小球m2恰好停止．那么,碰撞后小球m1的速度是多年夜,方向如何？

【分析】取相互作用的两个小球为研究的系统.由于桌面光滑,在水平方向上系统不受外力．在竖直方向上,系统受重力和桌面的弹力,其合力为零．故两球碰撞的过程动量守恒．

【解】设向右的方向为正方向,则各速度的正、负号分别为

v1=30cm/s,v2=10cm/s,v'2=0.

据动量守恒定律有

mlvl+m2v2=m1v'1+m2v'2．

解得v'1=-20cm/s.

即碰撞后球m1的速度年夜小为20cm/s,方向向左．

【说明】通过此例总结运用动量守恒定律解题的要点如下．

（1）确定研究对象．对象应是相互作用的物体系．

（2）分析系统所受的内力和外力,着重确认系统所受到的合外力是否为零,或合外力的冲量是否可以忽略不计．

（3）选取正方向,并将系统内的物体始、末状态的动量冠以正、负号,以暗示动量的方向．

（4）分别列出系统内各物体运动变动前（始状态）和运动变动后（末状态）的动量之和．

（5）根据动量守恒定律建立方程,解方程求得未知量．

【例5】甲、乙两小孩各乘一辆冰车在水平冰面上游戏．甲和他的冰车的总质量共为M=30kg,乙和他的冰车的总质量也是30kg．游戏时,甲推着一质量为m=15km的箱子,和他一起以年夜小为v0=2m/s的速度滑行．乙以同样年夜小的速度迎面滑来．为了防止相撞,甲突然将箱子沿冰面推给乙,箱子到乙处时乙迅速把它抓住．若不计冰面的摩擦力,求甲至少要以多年夜的速度（相对空中）将箱子推出,才华防止和乙相碰．

【分析】甲推出箱子和乙抓住箱子是两个动量守恒的过程,可运用动量守恒求解．甲把箱于推出后,甲的运动有三种可能：

一是继续向前,方向不变；一是静止；一是方向改变,向后发展．按题意要求．是确定甲推箱子给乙,防止跟乙相碰的最小速度．上述三种情况中,以第一种情况甲推出箱子的速度最小,第二、第三种情况则需要以更年夜的速度推出箱子才华实现．

【解】设甲推出的箱子速度为v,推出后甲的速度酿成v1,取v0方向为正方向,据动量守恒有

（M＋m）v0＝Mv1＋mv．

（1）

乙抓住箱子的过程,动量守恒,则

Mv＋mv0=（M＋m）v2.

（2）

甲、乙两冰车防止相撞的条件是v2≥v1,取

v2=v1．（3）

联立

（1）、

（2）、（3）式,并代入数据解得

v=5.2m/s．

【说明】本题仅依据两个动量守恒的过程建立的方程还能求解,关键是正确找出临界条件,并据此建立第三个等式才华求解．

【例6】两辆质量相同的小车A和B,置于光滑水平面上,一人站在A车上,两车均静止．若这个人从A车跳到B车上,接着又跳回A车,仍与A车坚持相对静止,则此时A车的速率[]

A．即是零B．小于B车的速率

C．年夜于B车的速率D．即是B车的速率

【分析】设人的质量为m0,车的质量为m．取A、B两车和人这一系统为研究对象,人在两车间往返跳跃的过程中,整个系统水平方向不受外力作用,动量守恒．取开始时人站在A车上和后来又相对A车静止时这两个时刻考察系统的动量,则

0＝（m0＋m）vA＋mvB,

可见,两车反向运动,A车的速率小于B车的速率．

【答】B．

【说明】本题中两车相互作用前后动量在一直线上,但两者动量方向即速度方向均不甚明确,因此没有事先规定正方向,而是从一般的动

【例7】甲、乙两船在平静的湖面上以相同的速度匀速航行,且甲船在前乙船在后．从甲船上以相对甲船的速度v,水平向后方的乙船上抛一沙袋,其质量为m．设甲船和沙袋总质量为M,乙船的质量也为M．问抛掷沙袋后,甲、乙两船的速度变动几多？

【分析】由题意可知,沙袋从甲船抛出落到乙船上,先后呈现了两个相互作用的过程,即沙袋跟甲船和沙袋跟乙船的相互作用过程．在这两个过程中的系统,沿水平方向的合外力为零,因此,两个系统的动量都守恒．值得注意的是,题目中给定的速度选择了分歧的参照系．船速是相对空中参照系,而抛出的沙袋的速度v是相对抛出时的甲船参照系．

【解】取甲船初速度V的方向为正方向,则沙袋的速度应取负值．统一选取空中参照系,则

沙袋抛出前,沙袋与甲船的总动量为MV．

沙袋抛出后,甲船的动量为（M-m）v甲',沙袋的动量为m（v甲'-v）．

根据动量守恒定律有

MV=（M-m）v甲'＋m（v甲'-v）．

（1）

取沙袋和乙船为研究对象,在其相互作用过程中有

MV＋m（v甲'-v）＝（M+m）v乙'．

（2）

联立（l）、

（2）式解得

则甲、乙两船的速度变动分别为

【例8】小型迫击炮在总质量为1000kg的船上发射,炮弹的质量为2kg．若炮弹飞离炮口时相对空中的速度为600m/s,且速度跟水平面成45°角,求发射炮弹后小船后退的速度？

【分析】取炮弹和小船组成的系统为研究对象,在发射炮弹的过程中,炮弹和炮身（炮和船视为固定在一起）的作用力为内力．系统受到的外力有炮弹和船的重力、水对船的浮力．在船静止的情况下,重力和浮力相等,但在发射炮弹时,浮力要年夜于重力．因此,在垂直方向上,系统所受到的合外力不为零,但在水平方向上系统不受外力（不计水的阻力）,故在该方向上动量守恒．

【解】发射炮弹前,总质量为1000kg的船静止,则总动量Mv=0．

发射炮弹后,炮弹在水平方向的动量为mv1'cos45°,船后退的动量为（M-m）v2'．

据动量守恒定律有

0=mv1'cos45°＋（M-m）v2'．

取炮弹的水平速度方向为正方向,代入已知数据解得

【例9】两块厚度相同的木块A和B,并列紧靠着放在光滑的水平面上,其质量分别为mA=2.0kg,mB=0.90kg．它们的下底面光滑,上概况粗拙．另有质量mC=0.10kg的铅块C（其长度可略去不计）以vC=10m/s的速度恰好水平地滑到A的上概况（见图）,由于摩擦,铅块最后停在本块B上,测得B、C的共同速度为v=0.50m/s,求

木块A的速度和铅块C离开A时的速度．

【分析】C滑上A时,由于B与A紧靠在一起,将推动B一起运动．取C与A、B这一系统为研究对象,水平方向不受外力,动量守恒．滑上后,C在A的摩擦力作用下作匀减速运动,（A＋B）在C的摩擦力作用下作匀加速运动．待C滑出A后,C继续减速,B在C的摩擦力作用下继续作加速运动,于是A与B分离,直至C最后停于B上．

【解】设C离开A时的速度为vC,此时A、B的共同速度为vA,对C刚要滑上A和C刚离开A这两个瞬间,由动量守恒定律知

mCvC=（mA+mB）vA+mCv'C

（1）

以后,物体C离开A,与B发生相互作用．从此时起,物体A不再加速,物体B将继续加速一段时间,于是B与A分离．当C相对静止于物体B上时,C与B的速度分别由v'C和vA变动到共同速度v．因此,可改选C与B为研究对象,对C刚滑上B和C、B相对静止时的这两个瞬间,由动量守恒定律知

mCv'C+mBvA=（mB+mC）v

（2）

由（l）式得mCv'C=mCvC-（mA＋mB）vA

代入

（2）式mCv'C-（mA+mC）vA+mBvA=（mB+mC）v．

得木块A的速度

所以铅块C离开A时的速度

【说明】应用动量守恒定律时,必需明确研究对象,即是哪一个系统的动量守恒．另外需明确考察的是系统在哪两个瞬间的动量．如果我们始终以（C＋A＋B）这一系统为研究对象,并考察C刚要滑上A和C刚离开A,以及C、B刚相对静止这三个瞬间,由于水平方向不受外力,则由动量守恒定律知

mCvC=（mA+mB）vA+mCv'C=mAvA+（mB+mC）v．

同样可得

【例10】在静止的湖面上有一质量M=100kg的小船,船上站立质量m=50kg的人,船主L=6m,最初人和船静止．当人从船头走到船尾（如图）,船后退多年夜距离？

（忽略水的阻力）

[分析]有的学生对这一问题是这样解答的．由船和人组成的系统,当忽略水的阻力时,水平方向动量守恒．取人前进的方向为正方向,设t时间内

这一结果是毛病的,其原因是在列动量守恒方程时,船后退的速度

考系的速度代入同一公式中肯定要犯错．

【解】选地球为参考系,人在船上行走,相对地球的平均速度为

为

【例11】一浮吊质量M=2×104kg,由岸上吊起一质量m=2×103kg的货物后,再将吊杆OA从与竖直方向间夹角θ=60°转到θ'=30°,设吊杆长L=8m,水的阻力不计,求浮吊在水平方向移动的距离？

向哪边移动？

【分析】对浮吊和货物组成的系统,在吊杆转动过程中水平方向不受外力,动量守恒．当货物随吊杆转动远离码头时,浮吊将向岸边靠拢,犹如人在船上向前走时船会后退一样,所以可应用动量守恒求解．

【解】设浮吊和货物在水平方向都作匀速运动,浮吊向右的速度为v,货物相对浮吊向左的速度为u,则货物相对河岸的速度为（v-u）．由

0＝Mv＋m（v-u）,

吊杆从方位角θ转到θ'需时

所以浮吊向岸边移动的距离

【说明】当吊杆从方位角θ转到θ'时,浮吊便向岸边移动一定的距离,这个距离与吊杆转动的速度,也就是货物移动的速度无关.但为了应用动量守恒定律,必需先假设浮吊和货物移动为某个速度.

【例12】如图所示,一排人站在沿x轴的水平轨道旁,原点O两侧的人的序号都记为n（n=1,2,3…）．每人只有一个沙袋,x＞0一侧的每个沙袋质量m=14kg,x<0一侧的每个沙袋质量为m'=10kg．一质量为M=48kg的小车以某初速度从原点动身向正x方向滑行．不计轨道阻力．当车每经过一人身旁时,这人就把沙袋以水平速度v朝与车相反的方向沿车面扔到车上,v的年夜小即是扔此袋之前的瞬间车速年夜小的2n倍（n是这人的序号数）．（l）空车动身后,车上聚积了几个沙袋时车就反向滑行？

（2）车上最终有年夜小沙袋共几多个？

【分析】因为扔到车上的沙袋的水平速度与车行方向相反,两者相互作用后一起运动时,总动量的方向（即一起运动的方向）必与原来动量较年夜的物体的动量方向相同．当经过第n个人时,扔上去的沙袋的动量年夜于车及车上沙袋的动量时,车就会反向运动．车向负x方向运动时、当扔上去的沙袋的动量与车及车上沙袋的动量等值反向时,车将停止运动．

【解】

（1）设小车朝正x方向滑行过程中,当车上已有（n-1）个沙袋时的车速为vn-1,则车与沙袋的动量年夜小为

p1＝［M＋（n－l）m]vn-1．

车经过第n个人时,扔出的沙袋速度年夜小为2nvn-1,其动量年夜小为

p2=2nmvn-1,

当满足条件p2＞p1时,车就反向滑行．于是由

2nmvn-1＞［M＋（n-l）m]vn-1,

得

取n=3,即车上聚积3个沙袋时车就反向运动．

（2）设车向负x方向滑行过程中,当第（n—1）个人扔出沙袋后的车速为v'n-1,其动量年夜小为

p'1＝［M＋3m＋（n-l）m'］v'n-1．

车经过第n个人时,扔出沙袋的速度年夜小为2nv'n-1,其动量年夜小为

当满足条件P'2=P'1时,车就停止．于是由

［M＋3m＋（n-l）m']vn-1＝2nm'v'n-1,

得

所以车停止时车上共有沙袋数为

N=3＋8=11（个）．

【说明】本题依据的物理事理是很显然的,由于构思新颖,使很多同学难以从具体问题中笼统出简化的物理模型,以致感到十分棘手．因此,学习中必需注重打好基础和提高分析问题的能力．

【例13】一个静止的质量为M的原子核,放射出一个质量为m的粒子,粒子离开原子核时相对核的速度为v0,原子核剩余部份的速率即是[]

【分析】取整个原子核为研究对象.由于放射过程极为长久,放射过程中其他外力的冲量均可不计,系统的动量守恒．放射前的瞬间,系统的动量p1=0,放射出粒子的这一瞬间,设剩余部份对地的反冲速度为v',并规定粒子运动方向为正方向,则粒子的对地速度v=v0-v',系统的动量

p2=mv-（M-m）v'=m（v0-v'）-（M-m）v'．

由p1=p2,即

0=m（v0-v）-（M-m）v'=mv0-Mv'．

【答】C．

【说明】本题最容易错选成B、D．前者是没有注意到动量守恒定律中的速度必需统一相对空中,误写成

0=mv0-（M-m）v'．

后者是已规定了正方向后,但计算矢量和时没有注意正负,误写成

0=m（v0-v'）＋（M-m）v'．

对矢量性较熟悉的读者,也可不用事先规定正方向,而根据解题结果加以判断,如本题中,粒子对地速度可暗示为v=v0＋v',由系统的动量守恒,

0=mv+（M-m）v'=m（v0＋v'）＋（M-m）v'．

暗示核的反冲速度与粒于运动速度方向相反．

创作时间：

二零二一年六月三十日