《变量之间的关系》单元复习教案 公开课2.docx
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《变量之间的关系》单元复习教案公开课2
第四章变量之间的关系
回忆与思考
●教学目标
〔一〕教学知识点
1.回忆总结表示变量之间关系的方法.
2.学会用变量之间关系的各种形式分析变量之间的关系,并作出预测.
〔二〕能力训练要求
1.从常量的世界走入变量的世界,开始接触一种新的思维方式——用运动变化的观点去认识数学对象,开展符号感和抽象思维.
2.开展有条理的思考和进行表达的能力.
〔三〕情感与价值观要求
能从运动变化的角度解释生活中的数学现象,体验成就感,获得学习的快乐,开展对数学更高层次的认识.
●教学重点
1.进一步体会变量与变量之间关系的实例,并且试着用表格、图象和关系式来表示它们之间的关系.
2.根据各种表示变量之间关系的方法,对变量之间的关系进行分析,从而作出预测.
●教学难点
能读懂表格、关系式、图象所表示的信息,还能用表格、关系式、图象刻画一些具体情境中变量之间的关系.
●教学方法
讨论交流法
使学生在充分思考和交流讨论的根底上,逐渐建立本章的知识体系.
●教学过程
Ⅰ.提出问题,开拓思维
[师]首先我们看上节课留的作业,课本试一试:
分析反映变量之间关系的图,想象一个适合它的实际情境.
图
我想,同学们一定想好了一个合情合理的情境.
[生]我是这样想的:
如果横轴和纵轴分别代表时间和离家的距离,那么这个图可表示为:
小明从学校回家,行走了一段后,停下来在街心公园看了一会儿爷爷们下棋,然后又开始往家走,直到回家.
[师]这位同学的描述是不是合情合理呢?
[生]是的.老师我是这样描述的:
如果横轴和纵轴分别代表时间和汽车的速度,那么这个图可以表示为一辆汽车从高速公路下来,先逐渐降低速度后,匀速行驶了一段时间,然后逐渐减速,到了目的地停下来.
[生]老师,我是把横轴和纵轴分别代表时间和汽车油箱里油量,那么这个图可以表示为一辆汽车装满油后,行驶在公路上,行驶一段后,司机到路边的饭店吃饭,休息,随后,开车向省城开去,快到省城的时候,油箱里的油用完.
[生]如果把横轴和纵轴分别代表时间和飞机行驶的高度,那么这个图就可以表示为:
南方航空公司的一架飞机从一定的飞行高度慢慢下降一个高度,然后在这一高度飞行了一段时间后,快到机场时,开始降落,最后降落在机场.
……
[师]同学们的想象很丰富.看来,我们已经进入一个变量的世界.今天,我们就在这个五彩缤纷的世界里把第六章的内容回忆一下,通过思考、讨论、交流生活中的问题,构建本章的结构图.
Ⅱ.回忆与思考,构建本章的框架图
[师]大家请看课本的回忆与思考中的三个问题,我们先独立思考,然后在小组内交流、讨论,最后我们以组为单位在全班交流.
〔学生在交流、讨论时,教师可参与到同学们中间去,和同学们以朋友的身份交流.同学们答复以下问题时,关注学生运用自己的语言解释答案的过程〕.
[生]在烧水的过程中,水的温度随时间的变化而变化.
[生]家里的电表上的数字,随时间的变化而变化.
[生]燃烧的蜡烛的高度,随燃烧时间的变化而变化.
[生]一杯开水的温度,随放凉时间的增大,水变得越来越凉.
[生]铅球运发动掷出铅球的球的高度随掷出去的时间的变化而变化.
[生]我们星期一早上升旗,上升的国旗的高度随时间的变化而变化.
……
[师]大家举的例子都很好,能和生活紧密相联,能用变化的眼光欣赏我们眼前所发生的一切.我们可以用什么方法表示变量之间的关系呢?
举例说明.
[生]表示变量之间的关系可用表格、图象、关系式来表示.例如:
一棵小树苗,刚栽下去时树高为2.1米,我想看一下树高是如何随每年时间的变化而变化的,我用表格的方法表示它每年来高度的变化.列表如下:
时间〔年〕
1年后
2年后
3年后
4年后
5年后
小树高度〔米〕
2.1+0.3
2.1+0.6
2.1+0.9
2.1+1.2
2.1+1.5
也可用关系式来表示小树的高h〔米〕与x年后时间的关系,根据表格我们可以发现:
h=2.1+0.3x.
用图象更能直观地表示出小树的高度h随时间x变化的情况.如图6-23.
图
[生]从这个同学举的例子及其表示变量之间关系的方法分析、预测10年后树高的情况.
例如:
从表格中,我们可以读出小树每年长高0.3米,所以10年后小树的高度就是2.1+0.3×10=5.1〔米〕.
从关系式h=2.1+0.3x求10年后的树高只需把x=10输入到关系式中,就可输出h的值,即h=2.1+0.3×10=5.1〔米〕
从图象中,我们可以读出h随x增大,而呈逐渐上升的趋势,我们把这种趋势延长下去,然后过横轴上表示10的点作垂线交图象于一个点,过此点作横轴的平行线,交纵轴于一点,这点的读数,便是10年后小树的树高.
[师]我相信同学们还有很多的例子要讲给大家,下面还请同学们在小组内交流、讨论,同时试着建立本章的结构框架图.
[师生共析]本章的框架图如下:
Ⅲ.深化,应用
[例1]某书店将一周的售书情况记录如下:
星期
一
二
三
四
五
六
日
收入/元
750
800
850
900
950
1000
1050
〔1〕上表反映的是哪两个变量之间的关系?
〔2〕画折线图表示两个变量之间的关系.
[分析]读懂表格,并用图象表示变量之间的关系.
解:
〔1〕上表反映的是收入和星期数之间的关系.
〔2〕用折线图表示两个变量之间的关系如下:
图
出示投影片〔§4.4B〕
[例2]海拔高度每增加1000米,温度下降6℃,某地地面温度为32℃.计算海拔高度分别为1000米、2000米、3000米、4000米时相应的温度值.
分析:
根据题意,先找到变量之间的关系式,特别注意单位.
解:
某地地面温度为32℃,每增加1000米,即1千米,温度下降6℃,设海拔高度为h千米时相应温度为t℃,根据题意可知t=32-6h.
当h=1000米=1千米时,t=32-6×1=26℃;
当h=2000米=2千米时,t=32-6×2=20℃;
当h=3000米=3千米时,t=32-6×3=14℃;
当h=4000米=4千米时,t=32-6×4=8℃.
出示投影片〔§4.4C〕
[例3]图6-25是某厂一年的收入变化的图象,根据图象答复:
在这一年中,
图
〔1〕什么时候收入最高?
什么时候收入最低?
最高收入和最低收入各为多少?
〔2〕6月份收入是多少?
〔3〕哪个月的收入为4百万元?
〔4〕哪段时间的收入不断增加?
〔5〕哪段时间的收入不断减少?
[分析]此题要求同学能读懂图象所反映出来的信息.
解:
〔1〕由图象可知,12月份的收入最高;为5百万;8月份的收入最低,为1百万;
〔2〕6月份的收入为2百万元;
〔3〕1月份收入为4百万元;
〔4〕从8月份到12月份收入不断增加;
〔5〕从1月份到7月份收入不断减少.
出示投影片〔§4.4D〕
[例4]某贮水池开始贮水,每时进水20米3,设贮水量为V〔米3〕,贮水时间为t〔时〕
〔1〕V与t之间的关系式是什么?
〔2〕用表格表示当t从2变化到8时〔每次增加1〕,相应的V值?
〔3〕假设贮水池最大贮水量为1000米3,那么需多长时间能贮满水?
〔4〕当t逐渐增加时,V怎样变化?
说说你的理由.
[分析]考查关系式和表格表示变量之间关系的方法,以及从关系式中,一个变量的值,可以求出另一个变量的值.
解:
〔1〕V=20t;
〔2〕
时间/时
2
3
4
5
6
7
8
水量/米3
40
60
80
100
120
140
160
〔3〕把V=1000米3输入关系式,得1000=20t,解,得t=50时.
〔4〕当t逐渐增加时,V也在逐渐增加,因为V是t的正整数倍.
Ⅳ.课时小结
回忆一章的内容,主要包括:
1.通过丰富的现实情境引入变量与变量之间的关系的讨论,并通过对变量之间关系的分析解决问题,进行预测.
2.在探索和经历表示变量之间关系的过程中,获得对表格、关系式、图象等表示方法的体验.并能读懂它们所表示的信息,并能用它们刻画一些具体情境中变量之间的关系.
3.能用语言大致描述表格、关系式和图象所表示的关系.
也就是说,我们学习了这一章后,从常量的世界进入了变量的世界,开始接触一种新的思维方式.
Ⅴ.课后作业
1.课本复习题
●板书设计
§4.4回忆与思考
一、
二、例题讲解
三、课时小结
1.7平方差公式
(二)
●教学目标
(一)教学知识点
1.了解平方差公式的几何背景.
2.会用面积法推导平方差公式,并能运用公式进行简单的运算.
3.体会符号运算对证明猜想的作用.
(二)能力训练要求
1.用符号运算证明猜想,提高解决问题的能力.
2.培养学生观察、归纳、概括等能力.
(三)情感与价值观要求
1.在拼图游戏中对平方差公式有一个直观的几何解释,体验学习数学的乐趣.
2.体验符号运算对猜想的作用,享受数学符号表示运算规律的简捷美.
●教学重点
平方差公式的几何解释和广泛的应用.
●教学难点
准确地运用平方差公式进行简单运算,培养根本的运算技能.
●教学方法
启发——探究相结合
●教具准备
一块大正方形纸板,剪刀.
投影片四张
第一张:
想一想,记作(§1.7.2A)
第二张:
例3,记作(§1.7.2B)
第三张:
例4,记作(§1.7.2C)
第四张:
补充练习,记作(§1.7.2D)
●教学过程
Ⅰ.创设问题情景,引入新课
[师]同学们,请把自己准备好的正方形纸板拿出来,设它的边长为a.
这个正方形的面积是多少?
[生]a2.
[师]请你用手中的剪刀从这个正方形纸板上,剪下一个边长为b的小正方形(如图1-23).现在我们就有了一个新的图形(如上图阴影局部),你能表示出阴影局部的面积吗?
图1-23
[生]剪去一个边长为b的小正方形,余以以下列图形的面积,即阴影局部的面积为(a2-b2).
[师]你能用阴影局部的图形拼成一个长方形吗?
同学们可在小组内交流讨论.
(教师可巡视同学们拼图的情况,了解同学们拼图的想法)
[生]老师,我们拼出来啦.
[师]讲给大伙听一听.
[生]我是把剩下的图形(即上图阴影局部)先剪成两个长方形(沿上图虚线剪开),我们可以注意到,上面的大长方形宽是(a-b),长是a;下面的小长方形长是(a-b),宽是b.我们可以将两个长方形拼成一个更大长方形,是由于大长方形的宽和小长方形的长都是(a-b),我们可以将这两个边重合,这样就拼成了一个如图1-24所示的图形(阴影局部),它的长和宽分别为(a+b),(a-b),面积为(a+b)(a-b).
图1-24
[师]比较上面两个图形中阴影局部的面积,你发现了什么?
[生]这两局部面积应该是相等的,即(a+b)(a-b)=a2-b2.
[生]这恰好是我们上节课学过的平方差公式.
[生]我明白了.上一节课,我们用多项式与多项式相乘的法那么验证了平方差公式.今天,我们又通过拼图游戏给出平方差公式的一个几何解释,太妙了.
[生]用拼图来验证平方差公式很直观,一剪一拼,利用面积相等就可推证.
[师]由此我们对平方差公式有了更多的认识.这节课我们来继续学习平方差公式,也许你会发现它更“神奇〞的作用.
Ⅱ.讲授新课
[师]出示投影片(§1.7.2A)
想一想:
(1)计算以下各组算式,并观察它们的特点
(2)从以上的过程中,你发现了什么规律?
(3)请你用字母表示这一规律,你能说明它的正确性吗?
[生]
(1)中算式算出来的结果如下
[生]从上面的算式可以发现,一个自然数的平方比它相邻两数的积大1.
[师]是不是大于1的所有自然数都有这个特点呢?
[生]我猜想是.我又找了几个例子如:
[师]你能用字母表示这一规律吗?
[生]设这个自然数为a,与它相邻的两个自然数为a-1,a+1,那么有(a+1)(a-1)=a2-1.
[生]这个结论是正确的,用平方差公式即可说明.
[生]可是,我有一个疑问,a必须是一个自然数,还必须大于2吗?
(同学们惊讶,然后讨论)
[生]a可以代表任意一个数.
[师]很好!
同学们能大胆提出问题,又勇于解决问题,值得提倡.
[生]老师,我还有个问题,这个结论反映了数字之间的一种关系.在平时有什么用途呢?
(陷入沉思)
[生]例如:
计算29×31很麻烦,我们就可以转化为(30-1)(30+1)=302-1=900-1=899.
[师]确实如此.我们在做一些数的运算时,如果能一直有这样“巧夺天工〞的方法,太好了.
我们不妨再做几个类似的练习.
出示投影片(§1.7.2B)
[例3]用平方差公式计算:
(1)103×97
(2)118×122
[师]我们可以发现,直接运算上面的算式很麻烦.但注意观察就会发现新的微妙.
[生]我发现了,103=100+3,97=100-3,因此103×97=(100+3)(100-3)=10000-9=9991.太简便了!
[生]我观察也发现了第
(2)题的“微妙〞.
118=120-2,122=120+2
118×122=(120-2)(120+2)=1202-4=14400-4=14396.
[生]遇到类似这样的题,我们就不用笔算,口算就能得出.
[师]我们再来看一个例题(出示投影片§1.7.2C).
[例4]计算:
(1)a2(a+b)(a-b)+a2b2;
(2)(2x-5)(2x+5)-2x(2x-3).
分析:
上面两个小题,是整式的混合运算,平方差公式的应用,能使运算简便;还需注意的是运算顺序以及结果一定要化简.
解:
(1)a2(a+b)(a-b)+a2b2
=a2(a2-b2)+a2b2
=a4-a2b2+a2b2
=a4
(2)(2x-5)(2x+5)-2x(2x-3)
=(2x)2-52-(4x2-6x)
=4x2-25-4x2+6x
=6x-25
注意:
在
(2)小题中,2x与2x-3的积算出来后,要放到括号里,因为它们是一个整体.
[例5]公式的逆用
(1)(x+y)2-(x-y)2
(2)252-242
分析:
逆用平方差公式可以使运算简便.
解:
(1)(x+y)2-(x-y)2
=[(x+y)+(x-y)][(x+y)-(x-y)]
=2x·2y
=4xy
(2)252-242
=(25+24)(25-24)
=49
Ⅲ.随堂练习
1.(课本P32)计算
(1)704×696
(2)(x+2y)(x-2y)+(x+1)(x-1)
(3)x(x-1)-(x-
)(x+
)
(可让学生先在练习本上完成,教师巡视作业中的错误,或同桌互查互纠)
解:
(1)704×696=(700+4)(700-4)
=490000-16=489984
(2)(x+2y)(x-2y)+(x+1)(x-1)
=(x2-4y2)+(x2-1)
=x2-4y2+x2-1
=2x2-4y2-1
(3)x(x-1)-(x-
)(x+
)
=(x2-x)-[x2-(
)2]
=x2-x-x2+
=
-x
2.(补充练习)
出示投影片(§1.7.2D)
解方程:
(2x+1)(2x-1)+3(x+2)(x-2)=(7x+1)(x-1)
(先由学生试着完成)
解:
(2x+1)(2x-1)+3(x+2)(x-2)
=(7x+1)(x-1)
(2x)2-1+3(x2-4)=7x2-6x-1
4x2-1+3x2-12=7x2-6x-1
6x=12x=2
Ⅳ.课时小结
[师]同学们这节课一定有不少体会和收获.
[生]我能用拼图对平方差公式进行几何解释.也就是说对平方差公式的理解又多了一个层面.
[生]平方差公式不仅在计算整式时,可以使运算简便,而且数的运算如果也能恰当地用了平方差公式,也非常神奇.
[生]我觉得这节课我印象最深的是犯错误的地方.例如a(a+1)-(a+b)(a-b)一定要先算乘法,同时减号后面的积(a+b)(a-b),算出来一定先放在括号里,然后再去括号.就不容易犯错误了.
……
Ⅴ.课后作业
课本习题1.12.
Ⅵ.活动与探究
计算:
19902-19892+19882-19872+…+22-1.
[过程]先做乘方运算,再做减法,那么计算繁琐,观察算式特点,考虑逆用平方差公式.
[结果]原式=(19902-19892)+(19882-19872)+…+(22-1)
=(1990+1989)(1990-1989)+(1988+1987)(1988-1987)+…+(2+1)(2-1)
=1990+1989+1988+1987+…+2+1
=
=1981045
●板书设计
§1.7.2平方差公式
(二)
一、平方差公式的几何解释:
二、想一想
特例——归纳——建立猜想——用符号表示——给出证明
即(a+1)(a-1)=a2-1
三、例题讲解:
例3例4
四、练习
●备课资料
参考练习
1.选择题
(1)在以下多项式的乘法中,不能用平方差公式计算的是()
A.(-a-b)(a-b)B.(c2-d2)(d2+c2)
C.(x3-y3)(x3+y3)D.(m-n)(-m+n)
(2)用平方差公式计算(x-1)(x+1)(x2+1)结果正确的选项是()
A.x4-1B.x4+1
C.(x-1)4D.(x+1)4
(3)以下各式中,结果是a2-36b2的是()
A.(-6b+a)(-6b-a)B.(-6b+a)(6b-a)
C.(a+4b)(a-4b)D.(-6b-a)(6b-a)
2.填空题
(4)(5x+3y)·()=25x2-9y2
(5)(-0.2x-0.4y)()=0.16y2-0.04x2
(6)(-
x-11y)()=-
x2+121y2
(7)假设(-7m+A)(4n+B)=16n2-49m2,那么A=,B=.
3.计算
(8)(2x2+3y)(3y-2x2).
(9)(p-5)(p-2)(p+2)(p+5).
(10)(x2y+4)(x2y-4)-(x2y+2)·(x2y-3).
4.求值
(11)(上海市中考题)x2-2x=2,将下式先化简,再求值
(x-1)2+(x+3)(x-3)+(x-3)(x-1)
5.探索规律
(12)(北京市中考)观察以下顺序排列的等式:
9×0+1=1
9×1+2=11
9×2+3=21
9×3+4=31
9×4+5=41
……
猜想:
第n个等式(n为正整数)应为.
答案:
1.
(1)D
(2)A(3)D
2.(4)(5x-3y)(5)(0.2x-0.4y)
(6)(
x-11y)(7)A=4n,B=7m
3.(8)9y2-4x4(9)p4-29p2+100
(10)x2y-10
4.(11)原式=3(x2-2x)-5=3×2-5=1
5.(12)9×(n-1)+n=(n-1)×10+1(n为正整数).
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