北师大版八年级下册《三角形地证明》培优提高.docx
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北师大版八年级下册《三角形地证明》培优提高
三角形的证明单元检测卷
1.(4分)(2013•钦州)等腰三角形的一个角是80°,则它顶角的度数是( )
A.
80°
B.
80°或20°
C.
80°或50°
D.
20°
2.(4分)下列命题的逆命题是真命题的是( )
A.
如果a>0,b>0,则a+b>0
B.
直角都相等
C.
两直线平行,同位角相等
D.
若a=6,则|a|=|b|
3.△ABC中,∠A:
∠B:
∠C=1:
2:
3,最小边BC=4cm,最长边AB的长是
A.
5cm
B.
6cm
C.
7cm
D.
8cm
4.(4分)如图,已知AE=CF,∠AFD=∠CEB,那么添加下列一个条件后,仍无法判定△ADF≌△CBE的是( )
A.
∠A=∠C
B.
AD=CB
C.
BE=DF
D.
AD∥BC
5.(4分)如图,在△ABC中,∠B=30°,BC的垂直平分线交AB于E,垂足为D.若ED=5,则CE的长为( )
A.
10
B.
8
C.
5
D.
2.5
6.如图,D为△ABC内一点,CD平分∠ACB,BE⊥CD,垂足为D,交AC于点E,∠A=∠ABE.若AC=5,BC=3,则BD的长为( )
A.
2.5
B.
1.5
C.
2
D.
1
7.(4分)如图,AB=AC,BE⊥AC于点E,CF⊥AB于点F,BE、CF相交于点D,则①△ABE≌△ACF;②△BDF≌△CDE;③点D在∠BAC的平分线上.以上结论正确的是( )
A.
①
B.
②
C.
①②
D.
①②③
8.(4分)如图所示,AB⊥BC,DC⊥BC,E是BC上一点,∠BAE=∠DEC=60°,AB=3,CE=4,则AD等于( )
A.
10
B.
12
C.
24
D.
48
9.如图所示,在△ABC中,AB=AC,D、E是△ABC内两点,AD平分∠BAC.∠EBC=∠E=60°,若BE=6,DE=2,则BC的长度是( )
A.
6
B.
8
C.
9
D.
10
10.(4分)(2013•遂宁)如图,在△ABC中,∠C=90°,∠B=30°,以A为圆心,任意长为半径画弧分别交AB、AC于点M和N,再分别以M、N为圆心,大于
MN的长为半径画弧,两弧交于点P,连结AP并延长交BC于点D,则下列说法中正确的个数是( )
①AD是∠BAC的平分线;②∠ADC=60°;③点D在AB的中垂线上;④S△DAC:
S△ABC=1:
3.
A.
1
B.
2
C.
3
D.
4
12.(4分)如图,在平面直角坐标系xOy中,A(0,2),B(0,6),动点C在直线y=x上.若以A、B、C三点为顶点的三角形是等腰三角形,则点C的个数是( )
A.
2
B.
3
C.
4
D.
5
13.(4分)如图,在等腰Rt△ABC中,∠C=90°,AC=8,F是AB边上的中点,点D,E分别在AC,BC边上运动,且保持AD=CE.连接DE,DF,EF.在此运动变化的过程中,下列结论:
①△DFE是等腰直角三角形;
②四边形CDFE不可能为正方形,
③DE长度的最小值为4;
④四边形CDFE的面积保持不变;
⑤△CDE面积的最大值为8.
其中正确的结论是( )
A.
①②③
B.
①④⑤
C.
①③④
D.
③④⑤
二、填空题(每小题4分,共24分)
14.(4分)用反证法证明命题“三角形中必有一个内角小于或等于60°”时,首先应假设这个三角形中 ___.
15.(4分)若(a﹣1)2+|b﹣2|=0,则以a、b为边长的等腰三角形的周长为 _ .
16.(4分)如图,在Rt△ABC中,∠ABC=90°,DE是AC的垂直平分线,交AC于点D,交BC于点E,∠BAE=20°,则∠C= _________ .
17.(4分)如图,在△ABC中,BI、CI分别平分∠ABC、∠ACF,DE过点I,且DE∥BC.BD=8cm,CE=5cm,则DE等于 _________ .
18.如图,圆柱形容器中,高为1.2m,底面周长为1m,在容器内壁离容器底部0.3m的点B处有一蚊子,此时一只壁虎正好在容器外壁,离容器上沿0.3m与蚊子相对的点A处,则壁虎捕捉蚊子的最短距离为 m.
19.如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,∠B=60°,点D是BC边上的点,CD=1,将△ABC沿直线AD翻折,使点C落在AB边上的点E处,若点P是直线AD上的动点,则△PEB的周长的最小值是 .
三、解答题(每小题7分,共14分)
20.(7分)如图,C是AB的中点,AD=BE,CD=CE.求证:
∠A=∠B.
21.(7分)如图,两条公路OA和OB相交于O点,在∠AOB的内部有工厂C和D,现要修建一个货站P,使货站P到两条公路OA、OB的距离相等,且到两工厂C、D的距离相等,用尺规作出货站P的位置.四、解答题(每小题10分,共40分)
22.(10分)在四边形ABCD中,AB∥CD,∠D=90°,∠DCA=30°,CA平分∠DCB,AD=4cm,求AB的长度?
23.(10分)如图,在△ABC中,∠C=90°,AD平分∠CAB,交CB于点D,过点D作DE⊥AB于点E.
(1)求证:
△ACD≌△AED;
(2)若∠B=30°,CD=1,求BD的长.
24.(10分)如图,把一个直角三角形ACB(∠ACB=90°)绕着顶点B顺时针旋转60°,使得点C旋转到AB边上的一点D,点A旋转到点E的位置.F,G分别是BD,BE上的点,BF=BG,延长CF与DG交于点H.
(1)求证:
CF=DG;
(2)求出∠FHG的度数.
25.(10分)已知:
如图,△ABC中,∠ABC=45°,DH垂直平分BC交AB于点D,BE平分∠ABC,且BE⊥AC于E,与CD相交于点F.
(1)求证:
BF=AC;
(2)求证:
.
五、解答题(每小题12分.共24分)
26.(12分)如图,在△ABC中,D是BC是中点,过点D的直线GF交AC于点F,交AC的平行线BG于点G,DE⊥DF交AB于点E,连接EG、EF.
(1)求证:
BG=CF;
(2)求证:
EG=EF;
(3)请你判断BE+CF与EF的大小关系,并证明你的结论.
27.(12分)△ABC中,AB=AC,点D为射线BC上一个动点(不与B、C重合),以AD为一边向AD的左侧作△ADE,使AD=AE,∠DAE=∠BAC,过点E作BC的平行线,交直线AB于点F,连接BE.
(1)如图1,若∠BAC=∠DAE=60°,则△BEF是 _________ 三角形;
(2)若∠BAC=∠DAE≠60°
①如图2,当点D在线段BC上移动,判断△BEF的形状并证明;
②当点D在线段BC的延长线上移动,△BEF是什么三角形?
请直接写出结论并画出相应的图形.
北师大版八年级下册《第1章三角形的证明》2014年单元检测卷A
(一)
参考答案与试题解析
一、选择题(每小题4分,共48分)
1.(4分)(2013•钦州)等腰三角形的一个角是80°,则它顶角的度数是( )
A.
80°
B.
80°或20°
C.
80°或50°
D.
20°
考点:
等腰三角形的性质.4270583
专题:
分类讨论.
分析:
分80°角是顶角与底角两种情况讨论求解.
解答:
解:
①80°角是顶角时,三角形的顶角为80°,
②80°角是底角时,顶角为180°﹣80°×2=20°,
综上所述,该等腰三角形顶角的度数为80°或20°.
故选B.
点评:
本题考查了等腰三角形两底角相等的性质,难点在于要分情况讨论求解.
2.(4分)下列命题的逆命题是真命题的是( )
A.
如果a>0,b>0,则a+b>0
B.
直角都相等
C.
两直线平行,同位角相等
D.
若a=6,则|a|=|b|
考点:
命题与定理.4270583
分析:
先写出每个命题的逆命题,再进行判断即可.
解答:
解;A.如果a>0,b>0,则a+b>0:
如果a+b>0,则a>0,b>0,是假命题;
B.直角都相等的逆命题是相等的角是直角,是假命题;
C.两直线平行,同位角相等的逆命题是同位角相等,两直线平行,是真命题;
D.若a=6,则|a|=|b|的逆命题是若|a|=|b|,则a=6,是假命题.
故选:
C.
点评:
此题考查了命题与定理,两个命题中,如果第一个命题的条件是第二个命题的结论,而第一个命题的结论又是第二个命题的条件,那么这两个命题叫做互逆命题.其中一个命题称为另一个命题的逆命题.正确的命题叫真命题,错误的命题叫做假命题.判断命题的真假关键是要熟悉课本中的性质定理.
3.(4分)△ABC中,∠A:
∠B:
∠C=1:
2:
3,最小边BC=4cm,最长边AB的长是( )
A.
5cm
B.
6cm
C.
7cm
D.
8cm
考点:
含30度角的直角三角形.4270583
分析:
三个内角的比以及三角形的内角和定理,得出各个角的度数.以及直角三角形中角30°所对的直角边是斜边的一半.
解答:
解:
根据三个内角的比以及三角形的内角和定理,得直角三角形中的最小内角是30°,根据30°所对的直角边是斜边的一半,得最长边是最小边的2倍,即8,故选D.
点评:
此题主要是运用了直角三角形中角30°所对的直角边是斜边的一半.
4.(4分)(2013•安顺)如图,已知AE=CF,∠AFD=∠CEB,那么添加下列一个条件后,仍无法判定△ADF≌△CBE的是( )
A.
∠A=∠C
B.
AD=CB
C.
BE=DF
D.
AD∥BC
考点:
全等三角形的判定.4270583
分析:
求出AF=CE,再根据全等三角形的判定定理判断即可.
解答:
解:
∵AE=CF,
∴AE+EF=CF+EF,
∴AF=CE,
A、∵在△ADF和△CBE中
∴△ADF≌△CBE(ASA),正确,故本选项错误;
B、根据AD=CB,AF=CE,∠AFD=∠CEB不能推出△ADF≌△CBE,错误,故本选项正确;
C、∵在△ADF和△CBE中
∴△ADF≌△CBE(SAS),正确,故本选项错误;
D、∵AD∥BC,
∴∠A=∠C,
∵在△ADF和△CBE中
∴△ADF≌△CBE(ASA),正确,故本选项错误;
故选B.
点评:
本题考查了平行线性质,全等三角形的判定的应用,注意:
全等三角形的判定定理有SAS,ASA,AAS,SSS.
5.(4分)(2012•河池)如图,在△ABC中,∠B=30°,BC的垂直平分线交AB于E,垂足为D.若ED=5,则CE的长为( )
A.
10
B.
8
C.
5
D.
2.5
考点:
线段垂直平分线的性质;含30度角的直角三角形.4270583
分析:
根据线段垂直平分线性质得出BE=CE,根据含30度角的直角三角形性质求出BE的长,即可求出CE长.
解答:
解:
∵DE是线段BC的垂直平分线,
∴BE=CE,∠BDE=90°(线段垂直平分线的性质),
∵∠B=30°,
∴BE=2DE=2×5=10(直角三角形的性质),
∴CE=BE=10.
故选A.
点评:
本题考查了含30度角的直角三角形性质和线段垂直平分线性质的应用,关键是得到BE=CE和求出BE长,题目比较典型,难度适中.
6.(4分)(2013•邯郸一模)如图,D为△ABC内一点,CD平分∠ACB,BE⊥CD,垂足为D,交AC于点E,∠A=∠ABE.若AC=5,BC=3,则BD的长为( )
A.
2.5
B.
1.5
C.
2
D.
1
考点:
等腰三角形的判定与性质.4270583
分析:
由已知条件判定△BEC的等腰三角形,且BC=CE;由等角对等边判定AE=BE,则易求BD=
BE=
AE=
(AC﹣BC).
解答:
解:
如图,∵CD平分∠ACB,BE⊥CD,
∴BC=CE.
又∵∠A=∠ABE,
∴AE=BE.
∴BD=
BE=
AE=
(AC﹣BC).
∵AC=5,BC=3,
∴BD=
(5﹣3)=1.
故选D.
点评:
本题考查了等腰三角形的判定与性质.注意等腰三角形“三合一”性质的运用.
7.(4分)如图,AB=AC,BE⊥AC于点E,CF⊥AB于点F,BE、CF相交于点D,则①△ABE≌△ACF;②△BDF≌△CDE;③点D在∠BAC的平分线上.以上结论正确的是( )
A.
①
B.
②
C.
①②
D.
①②③
考点:
全等三角形的判定与性质;角平分线的性质.4270583
专题:
常规题型.
分析:
从已知条件进行分析,首先可得△ABE≌△ACF得到角相等和边相等,运用这些结论,进而得到更多的结论,最好运用排除法对各个选项进行验证从而确定最终答案.
解答:
解:
∵BE⊥AC于E,CF⊥AB于F
∴∠AEB=∠AFC=90°,
∵AB=AC,∠A=∠A,
∴△ABE≌△ACF(①正确)
∴AE=AF,
∴BF=CE,
∵BE⊥AC于E,CF⊥AB于F,∠BDF=∠CDE,
∴△BDF≌△CDE(②正确)
∴DF=DE,
连接AD,
∵AE=AF,DE=DF,AD=AD,
∴△AED≌△AFD,
∴∠FAD=∠EAD,
即点D在∠BAC的平分线上(③正确)
故选D.
点评:
此题考查了角平分线的性质及全等三角形的判定方法等知识点,要求学生要灵活运用,做题时要由易到难,不重不漏.
8.(4分)如图所示,AB⊥BC,DC⊥BC,E是BC上一点,∠BAE=∠DEC=60°,AB=3,CE=4,则AD等于( )
A.
10
B.
12
C.
24
D.
48
考点:
勾股定理;含30度角的直角三角形.4270583
分析:
本题主要考查勾股定理运用,解答时要灵活运用直角三角形的性质.
解答:
解:
∵AB⊥BC,DC⊥BC,∠BAE=∠DEC=60°
∴∠AEB=∠CDE=30°
∵30°所对的直角边是斜边的一半
∴AE=6,DE=8
又∵∠AED=90°
根据勾股定理
∴AD=10.
故选A.
点评:
解决此类题目的关键是熟练掌握运用直角三角形两个锐角互余,30°所对的直角边是斜边的一半,勾股定理的性质.
9.(4分)如图所示,在△ABC中,AB=AC,D、E是△ABC内两点,AD平分∠BAC.∠EBC=∠E=60°,若BE=6,DE=2,则BC的长度是( )
A.
6
B.
8
C.
9
D.
10
考点:
等边三角形的判定与性质;等腰三角形的性质.4270583
分析:
作出辅助线后根据等腰三角形的性质得出BE=6,DE=2,进而得出△BEM为等边三角形,△EFD为等边三角形,从而得出BN的长,进而求出答案.
解答:
解:
延长ED交BC于M,延长AD交BC于N,作DF∥BC,
∵AB=AC,AD平分∠BAC,
∴AN⊥BC,BN=CN,
∵∠EBC=∠E=60°,
∴△BEM为等边三角形,
∴△EFD为等边三角形,
∵BE=6,DE=2,
∴DM=4,
∵△BEM为等边三角形,
∴∠EMB=60°,
∵AN⊥BC,
∴∠DNM=90°,
∴∠NDM=30°,
∴NM=2,
∴BN=4,
∴BC=2BN=8,
故选B.
点评:
此题主要考查了等腰三角形的性质和等边三角形的性质,能求出MN的长是解决问题的关键.
10.(4分)(2013•遂宁)如图,在△ABC中,∠C=90°,∠B=30°,以A为圆心,任意长为半径画弧分别交AB、AC于点M和N,再分别以M、N为圆心,大于
MN的长为半径画弧,两弧交于点P,连结AP并延长交BC于点D,则下列说法中正确的个数是( )
①AD是∠BAC的平分线;②∠ADC=60°;③点D在AB的中垂线上;④S△DAC:
S△ABC=1:
3.
A.
1
B.
2
C.
3
D.
4
考点:
角平分线的性质;线段垂直平分线的性质;作图—基本作图.4270583
专题:
压轴题.
分析:
①根据作图的过程可以判定AD是∠BAC的角平分线;
②利用角平分线的定义可以推知∠CAD=30°,则由直角三角形的性质来求∠ADC的度数;
③利用等角对等边可以证得△ADB的等腰三角形,由等腰三角形的“三合一”的性质可以证明点D在AB的中垂线上;
④利用30度角所对的直角边是斜边的一半、三角形的面积计算公式来求两个三角形的面积之比.
解答:
解:
①根据作图的过程可知,AD是∠BAC的平分线.
故①正确;
②如图,∵在△ABC中,∠C=90°,∠B=30°,
∴∠CAB=60°.
又∵AD是∠BAC的平分线,
∴∠1=∠2=
∠CAB=30°,
∴∠3=90°﹣∠2=60°,即∠ADC=60°.
故②正确;
③∵∠1=∠B=30°,
∴AD=BD,
∴点D在AB的中垂线上.
故③正确;
④∵如图,在直角△ACD中,∠2=30°,
∴CD=
AD,
∴BC=CD+BD=
AD+AD=
AD,S△DAC=
AC•CD=
AC•AD.
∴S△ABC=
AC•BC=
AC•
AD=
AC•AD,
∴S△DAC:
S△ABC=
AC•AD:
AC•AD=1:
3.
故④正确.
综上所述,正确的结论是:
①②③④,共有4个.
故选D.
点评:
本题考查了角平分线的性质、线段垂直平分线的性质以及作图﹣基本作图.解题时,需要熟悉等腰三角形的判定与性质.
12.(4分)(2013•龙岩)如图,在平面直角坐标系xOy中,A(0,2),B(0,6),动点C在直线y=x上.若以A、B、C三点为顶点的三角形是等腰三角形,则点C的个数是( )
A.
2
B.
3
C.
4
D.
5
考点:
等腰三角形的判定;坐标与图形性质.4270583
专题:
压轴题.
分析:
根据线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等可得AB的垂直平分线与直线y=x的交点为点C,再求出AB的长,以点A为圆心,以AB的长为半径画弧,与直线y=x的交点为点C,求出点B到直线y=x的距离可知以点B为圆心,以AB的长为半径画弧,与直线没有交点.
解答:
解:
如图,AB的垂直平分线与直线y=x相交于点C1,
∵A(0,2),B(0,6),
∴AB=6﹣2=4,
以点A为圆心,以AB的长为半径画弧,与直线y=x的交点为C2,C3,
∵OB=6,
∴点B到直线y=x的距离为6×
=3
,
∵3
>4,
∴以点B为圆心,以AB的长为半径画弧,与直线y=x没有交点,
所以,点C的个数是1+2=3.
故选B.
点评:
本题考查了等腰三角形的判定,坐标与图形性质,作出图形,利用数形结合的思想求解更形象直观.
13.(4分)(2009•重庆)如图,在等腰Rt△ABC中,∠C=90°,AC=8,F是AB边上的中点,点D,E分别在AC,BC边上运动,且保持AD=CE.连接DE,DF,EF.在此运动变化的过程中,下列结论:
①△DFE是等腰直角三角形;
②四边形CDFE不可能为正方形,
③DE长度的最小值为4;
④四边形CDFE的面积保持不变;
⑤△CDE面积的最大值为8.
其中正确的结论是( )
A.
①②③
B.
①④⑤
C.
①③④
D.
③④⑤
考点:
正方形的判定;全等三角形的判定与性质;等腰直角三角形.4270583
专题:
压轴题;动点型.
分析:
解此题的关键在于判断△DEF是否为等腰直角三角形,作常规辅助线连接CF,由SAS定理可证△CFE和△ADF全等,从而可证∠DFE=90°,DF=EF.所以△DEF是等腰直角三角形.可证①正确,②错误,再由割补法可知④是正确的;
判断③,⑤比较麻烦,因为△DEF是等腰直角三角形DE=
DF,当DF与BC垂直,即DF最小时,DE取最小值4
,故③错误,△CDE最大的面积等于四边形CDEF的面积减去△DEF的最小面积,由③可知⑤是正确的.故只有①④⑤正确.
解答:
解:
连接CF;
∵△ABC是等腰直角三角形,
∴∠FCB=∠A=45°,CF=AF=FB;
∵AD=CE,
∴△ADF≌△CEF;
∴EF=DF,∠CFE=∠AFD;
∵∠AFD+∠CFD=90°,
∴∠CFE+∠CFD=∠EFD=90°,
∴△EDF是等腰直角三角形.
因此①正确.
当D、E分别为AC、BC中点时,四边形CDFE是正方形.
因此②错误.
∵△ADF≌△CEF,
∴S△CEF=S△ADF∴S四边形CEFD=S△AFC,
因此④正确.
由于△DEF是等腰直角三角形,因此当DE最小时,DF也最小;
即当DF⊥AC时,DE最小,此时DF=
BC=4.
∴DE=
DF=4
;
因此③错误.
当△CDE面积最大时,由④知,此时△DEF的面积最小.
此时S△CDE=S四边形CEFD﹣S△DEF=S△AFC﹣S△DEF=16﹣8=8;
因此⑤正确.
故选B.
点评:
本题考查知识点较多,综合性强,能力要求全面,难度较大.但作为选择题可采用排除法等特有方法,使此题难度稍稍降低一些.
二、填空题(每小题4分,共24分)
14.(4分)用反证法证明命题“三角形中必有一个内角小于或等于60°”时,首先应假设这个三角形中 每一个内角都大于60° .
考点:
反证法.4270583
分析:
熟记反证法的步骤,直接填空即可.
解答:
解:
根据反证法的步骤,第一步应假设结论的反面成立,即三角形的每一个内角都大于60°.
故答案为:
每一个内角都大于60°.
点评:
此题主要考查了反证法,反证法的步骤是:
(1)假设结论不成立;
(2)从假设出
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