版高考数学大一轮复习备考讲义浙江专用第一章 集合与命题12word版含答案.docx

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版高考数学大一轮复习备考讲义浙江专用第一章集合与命题12word版含答案

§1.2　命题及其关系、充分条件与必要条件

最新考纲

考情考向分析

1.了解原命题和原命题的逆命题、否命题、逆否命题的含义，及其相互之间的关系.

2.理解命题的必要条件、充分条件、充要条件的意义，能判断并证明命题成立的充分条件、必要条件、充要条件.

命题的真假判断和充分必要条件的判定是考查的主要形式，多与集合、函数、不等式、立体几何中的线面关系相交汇，考查学生的推理能力，题型为选择、填空题，低档难度.

1.命题

用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句叫做命题，其中判断为真的语句叫做真命题，判断为假的语句叫做假命题.

2.四种命题及其相互关系

（1）四种命题间的相互关系

（2）四种命题的真假关系

①两个命题互为逆否命题，它们具有相同的真假性；

②两个命题为互逆命题或互否命题，它们的真假性没有关系.

3.充分条件、必要条件与充要条件的概念

若p⇒q，则p是q的充分条件，q是p的必要条件

p是q的充分不必要条件

p⇒q且q⇏p

p是q的必要不充分条件

p⇏q且q⇒p

p是q的充要条件

p⇔q

p是q的既不充分也不必要条件

p⇏q且q⇏p

知识拓展

从集合的角度理解充分条件与必要条件

若p以集合A的形式出现，q以集合B的形式出现，即A＝{x|p（x）}，B＝{x|q（x）}，则关于充分条件、必要条件又可以叙述为：

（1）若A⊆B，则p是q的充分条件；

（2）若A⊇B，则p是q的必要条件；

（3）若A＝B，则p是q的充要条件；

（4）若AB，则p是q的充分不必要条件；

（5）若AB，则p是q的必要不充分条件；

（6）若A⊈B且A⊉B，则p是q的既不充分也不必要条件.

题组一　思考辨析

1.判断下列结论是否正确（请在括号中打“√”或“×”）

（1）“对顶角相等”是命题.（　√　）

（2）命题“若p，则q”的否命题是“若p，则綈q”.（　×　）

（3）当q是p的必要条件时，p是q的充分条件.（　√　）

（4）当p是q的充要条件时，也可说成q成立当且仅当p成立.（　√　）

（5）若p是q的充分不必要条件，则綈p是綈q的必要不充分条件.（　√　）

题组二　教材改编

2.[P8T3]下列命题是真命题的是（　　）

A.矩形的对角线相等

B.若a＞b，c＞d，则ac＞bd

C.若整数a是素数，则a是奇数

D.命题“若x2＞0，则x＞1”的逆否命题

答案　A

3.[P12T2

（2）]“x－3＝0”是“（x－3）（x－4）＝0”的____________条件.（填“充分不必要”“必要不充分”“充要”“既不充分也不必要”）

答案　充分不必要

题组三　易错自纠

4.命题“若x2>y2，则x>y”的逆否命题是（　　）

A.若x

C.若x>y，则x2>y2D.若x≥y，则x2≥y2

答案　B

解析　根据原命题和其逆否命题的条件和结论的关系，得命题“若x2>y2，则x>y”的逆否命题是“若x≤y，则x2≤y2”.

5.（2013·浙江）已知函数f（x）＝Acos（ωx＋φ）（A>0，ω>0，φ∈R），则“f（x）是奇函数”是“φ＝”的（　　）

A.充分不必要条件

B.必要不充分条件

C.充分必要条件

D.既不充分也不必要条件

答案　B

解析　φ＝⇒f（x）＝Acos＝－Asinωx为奇函数，

∴“f（x）是奇函数”是“φ＝”的必要条件.

又f（x）＝Acos（ωx＋φ）是奇函数⇒f（0）＝0⇒φ

＝＋kπ（k∈Z）⇏φ＝.

∴“f（x）是奇函数”不是“φ＝”的充分条件.

6.已知集合A＝，B＝{x|－1

答案　（2，＋∞）

解析　A＝＝{x|－1

∵x∈B成立的一个充分不必要条件是x∈A，

∴AB，

∴m＋1>3，即m>2.

题型一　命题及其关系

1.下列命题是真命题的是（　　）

A.若＝，则x＝y

B.若x2＝1，则x＝1

C.若x＝y，则＝

D.若x＜y，则x2＜y2

答案　A

2.某食品的广告词为“幸福的人们都拥有”，这句话的等价命题是（　　）

A.不拥有的人们会幸福

B.幸福的人们不都拥有

C.拥有的人们不幸福

D.不拥有的人们不幸福

答案　D

3.（2017·温州模拟）下列命题：

①“若a2

②“全等三角形的面积相等”的逆命题；

③“若a>1，则ax2－2ax＋a＋3>0的解集为R”的逆否命题；

④“若x（x≠0）为有理数，则x为无理数”的逆否命题.

其中正确的命题是（　　）

A.③④B.①③

C.①②D.②④

答案　A

解析　对于①，否命题为“若a2≥b2，则a≥b”，为假命题；对于②，逆命题为“面积相等的三角形是全等三角形”，为假命题；对于③，当a>1时，Δ＝－12a<0，原命题正确，从而其逆否命题正确，故③正确；对于④，原命题正确，从而其逆否命题正确，故④正确.故选A.

4.设m∈R，命题“若m＞0，则方程x2＋x－m＝0有实根”的逆否命题是____________.

答案　若方程x2＋x－m＝0没有实根，则m≤0

思维升华　

（1）写一个命题的其他三种命题时，需注意：

①对于不是“若p，则q”形式的命题，需先改写；

②若命题有大前提，写其他三种命题时需保留大前提.

（2）判断一个命题为真命题，要给出推理证明；判断一个命题是假命题，只需举出反例即可.

（3）根据“原命题与逆否命题同真同假，逆命题与否命题同真同假”这一性质，当一个命题直接判断不易进行时，可转化为判断其等价命题的真假.

题型二　充分必要条件的判定

典例

（1）（2017·浙江）已知等差数列{an}的公差为d，前n项和为Sn，则“d＞0”是“S4＋S6＞2S5”的（　　）

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

答案　C

解析　∵S4＋S6＞2S5⇔S4＋S4＋a5＋a6＞2（S4＋a5）⇔a6＞a5⇔a5＋d＞a5⇔d＞0，

∴“d＞0”是“S4＋S6＞2S5”的充要条件.

（2）已知条件p：

x>1或x<－3，条件q：

5x－6>x2，则綈p是綈q的（　　）

A.充分不必要条件

B.必要不充分条件

C.充要条件

D.既不充分也不必要条件

答案　A

解析　由5x－6>x2，得2

2

所以q⇒p，p⇏q，所以綈p⇒綈q，綈q⇏綈p，

所以綈p是綈q的充分不必要条件，故选A.

思维升华充分条件、必要条件的三种判定方法

（1）定义法：

根据p⇒q，q⇒p进行判断，适用于定义、定理判断性问题.

（2）集合法：

根据p，q成立的对象的集合之间的包含关系进行判断，多适用于命题中涉及字母范围的推断问题.

（3）等价转化法：

根据一个命题与其逆否命题的等价性，把判断的命题转化为其逆否命题进行判断，适用于条件和结论带有否定性词语的命题.

跟踪训练

（1）王安石在《游褒禅山记》中写道“世之奇伟、瑰怪，非常之观，常在于险远，而人之所罕至焉，故非有志者不能至也”，请问“有志”是到达“奇伟、瑰怪，非常之观”的（　　）

A.充要条件

B.既不充分也不必要条件

C.充分不必要条件

D.必要不充分条件

答案　D

解析　非有志者不能至，是必要条件；但“有志”也不一定“能至”，不是充分条件.

（2）（2018届温州一模）已知α，β∈R，则“α＞β”是“cosα＞cosβ”的（　　）

A.充要条件

B.充分不必要条件

C.必要不充分条件

D.既不充分也不必要条件

答案　D

解析　因为当α＝＞β＝时，cosα＞cosβ不成立；

当cos＞cos时，α＞β不成立，所以“α＞β”是“cosα＞cosβ”的既不充分也不必要条件，故选D.

题型三　充分必要条件的应用

典例已知P＝{x|x2－8x－20≤0}，非空集合S＝{x|1－m≤x≤1＋m}.若x∈P是x∈S的必要条件，求m的取值范围.

解　由x2－8x－20≤0，得－2≤x≤10，

∴P＝{x|－2≤x≤10}.

由x∈P是x∈S的必要条件，知S⊆P.

则

∴当0≤m≤3时，x∈P是x∈S的必要条件，即所求m的取值范围是[0,3].

引申探究

若本例条件不变，问是否存在实数m，使x∈P是x∈S的充要条件.

解　若x∈P是x∈S的充要条件，则P＝S，

∴方程组无解，

即不存在实数m，使x∈P是x∈S的充要条件.

思维升华充分条件、必要条件的应用，一般表现在参数问题的求解上.解题时需注意：

（1）把充分条件、必要条件或充要条件转化为集合之间的关系，然后根据集合之间的关系列出关于参数的不等式（或不等式组）求解.

（2）要注意区间端点值的检验.

跟踪训练

（1）设p：

|2x＋1|0）；q：

>0.若p是q的充分不必要条件，则实数m的取值范围为__________.

答案　（0,2]

解析　由|2x＋1|0），

得－m<2x＋1

∴－

由>0，得x<或x>1.

∵p是q的充分不必要条件，又m>0，

∴≤，

∴0

（2）设n∈N*，一元二次方程x2－4x＋n＝0有整数根的充要条件是n＝________.

答案　3或4

解析　由Δ＝16－4n≥0，得n≤4，

又n∈N*，则n＝1,2,3,4.

当n＝1,2时，方程没有整数根；

当n＝3时，方程有整数根1,3，

当n＝4时，方程有整数根2.综上可知，n＝3或4.

等价转化思想在充要条件中的应用

典例已知p：

≤2，q：

x2－2x＋1－m2≤0（m＞0），綈p是綈q的必要不充分条件，则实数m的取值范围为________.

思想方法指导等价转化思想是指在解题中将一些复杂的、生疏的问题转化成简单的、熟悉的问题.本题中既有对题目中条件的化简，又有充分必要条件和集合间关系的转化.

解析　∵綈p是綈q的必要不充分条件，

∴q是p的必要不充分条件.

即p是q的充分不必要条件，

由x2－2x＋1－m2≤0（m＞0），

得1－m≤x≤1＋m（m＞0）.

∴q对应的集合为{x|1－m≤x≤1＋m，m＞0}.

设M＝{x|1－m≤x≤1＋m，m＞0}.

又由≤2，得－2≤x≤10，

∴p对应的集合为{x|－2≤x≤10}.

设N＝{x|－2≤x≤10}.

由p是q的充分不必要条件知，NM，

∴或

解得m≥9.

∴实数m的取值范围为[9，＋∞）.

答案　[9，＋∞）

1.命题“若函数f（x）＝ex－mx在[0，＋∞）上是减函数，则m>1”的否命题是（　　）

A.若函数f（x）＝ex－mx在[0，＋∞）上不是减函数，则m≤1

B.若函数f（x）＝ex－mx在[0，＋∞）上是减函数，则m≤1

C.若m>1，则函数f（x）＝ex－mx在[0，＋∞）上是减函数

D.若m≤1，则函数f（x）＝ex－mx在[0，＋∞）上不是减函数

答案　A

解析　“若p，则q”形式的命题的否命题是对条件和结论同时否定，故选A.

2.命题“若a＞－3，则a＞－6”以及它的逆命题、否命题、逆否命题中假命题的个数为（　　）

A.1B.2

C.3D.4

答案　B

解析　原命题正确，从而其逆否命题也正确；其逆命题为“若a＞－6，则a＞－3”是假命题，从而其否命题也是假命题.因此4个命题中有2个假命题.

3.（2018届浙江名校协作体考试）已知a＝（cosα，sinα），b＝（cos（－α），sin（－α））