《离散数学》教学大纲.docx
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《离散数学》教学大纲
《离散数学》课程教学大纲
课程编号:
课程中文名称:
离散数学
课程英文名称:
Discretemathematics
课程类型:
考查课
课程性质:
专业技术基础课
总学时:
54学时理论授课学时:
46学时实验(实践)学时:
8学时
学分:
3分
适用对象:
信息管理与信息系统、信息工程本科
先修课程:
高等数学线性代数
一、编写说明
(一)制定大纲的依据
依据我系信息管理与信息系统、信息工程专业学科体系和特色化人才培养目标的要求,制定编写了该教学大纲,在内容上突出了《离散数学》课程的基本理论、基本知识和基本技能,反映现代科学技术的发展趋势,体现了我系的特色化人才培养模式。
(二)课程简介
离散数学,是现代数学的一个重要分支,是以研究离散量的结构和相互间的关系为主要目标,其研究对象一般是有限个或可数个元素。
《离散数学》内容主要包括:
数理逻辑中命题演算、谓词演算等形式逻辑的推理规律;集合的概念、运算及应用,集合内元素间的关系以及集合之间的关系,无限集的特性;抽象代数的基本理论和应用,格与布尔代数图论学科的基本概念、欧拉图、哈密尔顿图、最小路径算法、中国邮路问题、树及平面图的基本理论;
通过该课程可以培养学生的抽象思维和慎密的概括能力,该课程主要适用于自动控制、电子工程、管理科学等有关专业,是计算机专业的必修课。
(三)课程性质、目的和任务
《离散数学》课程是为计算机科学与技术专业的学生开设的一门专业基础课程。
随着计算机科学的发展和计算机应用领域的日益广泛,迫切需要适当的数学工具来解决计算机科学各个领域中提出的有关离散量的理论问题,离散数学就是适应这种需要而建立的,它综合了计算机科学中所用到的研究离散量的各个数学课题,并进行系统、全面的论述,从而为研究计算机科学及相关学科提供了有利的理论基础和工具。
是学习后续专业课程不可缺少的数学工具,如:
高级语言、数据结构、编译原理、操作系统、可计算性理论、人工智能、形式语言与自动机、信息管理与检索以及开关理论等,离散数学也是研究自动控制、管理科学、电子工程等的重要工具。
教学的目的是进一步提高学生的抽象思维和逻辑推理能力,为从事计算机的应用提供必要的描述工具和理论基础。
并为后续课程的学习打下良好的基础。
(四)与其他课程的联系
除要求学生具有矩阵和矩阵运算方面的一些知识外,离散数学基本上是一门体系独立自行封闭的基础数学课程,但由于它内容抽象,理论性较强,因此它需要学生先期有较好的数学思维的训练。
最好将此课程安排在高等数学和线性代数课程之后。
本课程为“数据结构”、“数据库原理”、“操作系统”、“编译原理”、“人工智能”等许多其它专业基础课奠定必要的数学基础。
(五)对先修课的要求
《线性代数》:
为本课程提供矩阵和矩阵运算方面的准备;
《高等数学》:
为本课程提供必要的数学知识。
二、大纲内容
(一)教学基本要求
“离散数学”课程共分为四个部分,分别是数理逻辑、集合论、代数系统、图论。
在教学过程中除讲清楚各部分的基本内容外,还应使学生在以下几方面得到培养和训练。
1.有效地掌握该门课程中的所有概念。
通过讲课和布置一定数量的习题使学生能够使用所学的概念对许多问题作出正确的判断。
2.通过课程中许多定理的证明过程复习概念,了解证明的思路,学会证明的方法,并使学生掌握定理的内容和结果。
3.通过介绍各种做题的方法,启发学生独立思维的能力。
创造性的提出自己解决问题的方法,提高学生解决问题的能力。
4.通过该门课程的学习使学生掌握逻辑思维和逻辑推理的能力,培养学生正规的逻辑思维方式。
(二)教学重点和难点
1.数理逻辑
重点:
命题逻辑和谓词逻辑的推理
难点:
命题逻辑和谓词逻辑的推理
2.集合论与函数
重点:
关系及其运算、等价关系与偏序关系、数学归纳法
难点:
集合的基数代数结构
3.重点:
代数系统的概念、群及其性质
难点:
群
4.图论
重点:
树及其性质
难点:
Hamilton图、图的匹配问题
(三)教学方法与手段
教学方法:
1.全面推行“发现式”教学法
2.探索离散数学的思维方式和证明问题的独特方法
3.疑难知识点
4.综合教学的各个环节实现因材施教的目标
5.加强创新意识与应用能力的培养
实验方式:
离散数学中涉及到的一些概念、理论和方法被大量地应用于数字电路、编译原理、数据结构、操作系统、数据库系统、算法的分析与设计、人工智能、计算机网络等专业课程中。
教师授课过程中有针对性地提出实验示例,学生课后验证。
教学手段:
采用课件和板书相结合的方法。
计算机辅助离散数学课程教学能够课堂容量增大,提高课堂教学效率,改善课堂教学效果。
随着信息化程度的加快,学生对新知识的需求增多,授课中面临知识量增加与学时不足的局面,适当利用计算机辅助教学,可以使讲解更加直观、清晰,具有吸引力。
采用交互式教学,可以鼓励学生的创新意识,突破传统的教与学观念的束缚,从只在低层面上的认识、记忆、理解升华到较高层次的问题分析、求解、综合和创新。
学生可以主动学习,循序渐进,让学生在实践中得到发展。
本课程将通过大量的习题和练习,掌握离散数学的几个部分的基本理论,加强逻辑推理与抽象思维能力的训练,为以后的学习打下良好的基础。
(四)教学建议与说明
教学要求的层次
⑴熟练掌握:
要求学生能够全面、深入理解和熟练掌握所学内容,并能够用其知识分析、设计和解答相关的应用问题。
⑵掌握:
要求学生能够较好地理解和掌握,并且能够做简单的分析。
⑶了解:
要求学生能够一般地了解所学内容。
以下是本课程所应该包括的教学内容,教学时数的安排,在具体的教学中,可以根据实际情况做适当的调整。
(五)教学内容、目标与学时分配
第1章命题逻辑(10学时)
1、教学目标:
1.理解命题和逻辑联结词的基本概念;
2.掌握公式分类和真值表构造。
3.理解命题等值关系式;
4.掌握公式的析取范式和合取范式;
5.了解联结词的完备集。
6.掌握重要的重言蕴涵式;
7.理解推理的形式结构和自然推理系统
。
2、教学内容
1.1命题符号化及连接词
1.1.1命题与真值
1.1.2命题的分类
1.1.3简单命题符号化
1.1.4联结词与复合命题
基本要求:
掌握命题、逻辑联结词等概念能够将命题符号化
教学重点:
命题与5种常用联结词,复合命题的符号化
教学难点:
将复合命题符号化
教学设计:
采用课堂教授,主要使用多媒体课件,部分内容及例题用黑板解释。
1.2命题公式及其赋值
1.2.1命题变项与合式公式
1.2.2合式公式的层次
1.2.3公式的赋值与公式的类型
1.2.4真值表的构造
基本要求:
掌握命题的合式公式、命题的赋值能够判断一公式为合式公式;掌握由联结词构
成的公式及真值表;熟练掌握求给定公式真值表的方法。
教学重点:
命题公式,公式的层次,公式的赋值,公式的类型,构造真值表
教学难点:
通过真值表判断命题公式的类型
教学设计:
采用课堂教授,主要使用多媒体课件,部分内容及例题用黑板解释。
1.1命题符号化及连接词
1.1.1命题与真值
1.1.2命题的分类
1.1.3简单命题符号化
1.1.4联结词与复合命题
基本要求:
掌握命题、逻辑联结词等概念能够将命题符号化
教学重点:
命题与5种常用联结词,复合命题的符号化
教学难点:
将复合命题符号化
教学设计:
采用课堂教授,主要使用多媒体课件,部分内容及例题用黑板解释。
1.3等值演算
1.3.1等值式与基本的等值式
1.3.2等值演算——由已知的等值式推演出新的等值式的过程
1.3.3置换规则
1.3.4等值演算的应用举例(证明公式的等值、判断公式的类型、解判定问题)
基本要求:
通过数据结构的具体实例,了解数据、数据元素、数据对象、数据结构的含义;了解集合、线性结构、树结构和图结构的特点;掌握数据的逻辑结构、物理(存储)结构、顺序映像和链式映像的含义。
教学重点:
等值式的定义,基本等值式及置换规则进行等值演算和联结词的优先顺序
教学难点:
命题的等值演算
教学设计:
采用课堂教授,主要使用多媒体课件,部分内容及例题用黑板解释。
1.4联接词全功能集
1.4.1.主要内容联结词的全功能集。
1.4.2.基本概念和知识点真值函数的概念;联结词的完备集概念。
1.4.3.问题与应用(能力要求)了解一些常用的联结词的完备集。
教学要求:
理解真值函数、了解联结词全功能集
教学重点:
真值函数联结词的全功能集
教学难点:
真值函数联结词的全功能集
教学设计:
本节以课堂教学为主,并结合课堂练习与讨论,课后练习及答疑等手段使学生较好的掌握本章的重点和难点。
1.5对偶与范式
1.5.1对偶原理
1.5.2析取范式与合取范式
1.5.2.1基本概念
1.5.2.2命题公式的范式
1.5.2.3求公式的范式举例
1.5.3主析取范式与主合取范式
1.5.3.1、极小项与极大项
1.5.3.2、主析取范式与主合取范式
1.5.3.3、命题公式A的主析取范式与主合取范式
1.5.3.4、用等值演算法求公式的主范式的步骤
1.5.4主范式的用途——与真值表相同
(1)求公式的成真成假赋值
(2)判断公式的类型(3)判断两个公式是否等值
基本要求:
掌握对偶式、析取范式、合取范式、极大项、极小项、主析取范式、主合取范式的概念和性质,掌握求各种范式的方法;能够用等值演算法和真值表法求命题公式的主析取范式和主合取范式。
了解一个命题的主析取范式和主合取范式的关系------如何从一种主范式立即写出另一种主范式。
教学重点:
对偶式、析取范式、合取范式、极大项、极小项、主析取范式、主合取范式的概念和性质,掌握求各种范式的方法。
教学难点:
求与已知命题等值的主析取范式和主合取范式,从一种主范式立即写出另一种主范式。
教学设计:
采用课堂教授,主要使用多媒体课件,部分内容及例题用黑板解释。
1.6推理理论
1.6.1推理及证明的概念
1.6.2推理的形式结构及证明方法
1.6.2.1、推理的正确与错误
1.6.2.2、推理的形式结构(多种形式)
1.6.2.3、判断推理是否正确的方法(多种)
1.6.2.4、推理定律
1.6.3推理的构造证明方法
1.6.3.1、直接证明法
1.6.3.2、附加前提证明法
1.6.3.3、归谬法(或称反证法)
教学重点:
①推理的不同方法,如真值表法、等值演算法、主析取范式法等。
②各条推理规则的内容及名称③在P系统中构造证明的直接证明法、附加前提证明法、归谬法。
教学难点:
掌握推理定律和推理规则并能够灵活运用
教学设计:
采用课堂教授,主要使用多媒体课件,部分内容及例题用黑板解释。
3、本章小结:
学习第一章要注意以下几点:
(1)弄清命题与陈述句的关系。
(2)弄清由6种基本联结词联结的复合命题的逻辑关系及其真值。
特别是要弄清蕴含式”PQ“的逻辑关系及其真值。
(3)记住常用的蕴含式和等价式,这是学好命题逻辑的关键问题。
(4)会准确地求出给定公式的主析取范式和主合取范式。
掌握主析取范式与真值表、成真赋值、主合取范式的关系。
(5)会用多种方法判断公式的类型及判断两个公式是否等价。
(6)会用等价变换法将一个联结词集中的公式等价地化为另一个联结词全功能集中的公式。
(7)掌握推理和判断推理是否正确的方法。
第2章一阶逻辑(授课6学时)
1、教学目标:
1、掌握谓词、全称量词、存在量词等概念学会使用它们符号化一些命题,并能够构成一些较复杂的命题。
2、掌握谓词公式的概念,并能够判定给定公式是否为谓词的合适公式
3、掌握约束变量、自由变量的概念,并能够正确的使用换名规则
4、掌握永真公式、永假公式可满足公式等概念。
5、掌握谓词公式的等价蕴含等概念,熟记基本的等价式、蕴含式会证明更复杂的等价式蕴含式。
6、掌握前束范式的概念,并能够将一谓词公式化成与之等价的前束范式;
7、掌握谓词演算的推理理论,并能够正确使用推理规则进行有效推理并能够判断一推理过程是否正确。
2、教学内容
2.1一阶逻辑的基本概念
2.1.1谓词逻辑命题符号化的三个基本要素:
个体词、谓词、量词
2.1.2一阶逻辑中命题符号化
2.1.3n元谓词(n≥2)的符号化
基本要求:
准确地将给定命题在F中符号化;
教学重点:
个体词、谓词、量词、一阶逻辑命题符号化
教学难点:
一阶逻辑命题符号化。
教学设计:
采用课堂教授,主要使用多媒体课件,部分内容及例题用黑板解释。
2.2一阶逻辑合式公式及其解释
2.2.1一阶语言F与合式公式
2.2.2封闭的公式(简称闭式)
2.2.3解释与公式的分类
2.2.4主要定理
基本要求:
深刻理解永真式、矛盾式、可满足式的概念及相互之间的关系;记住闭式的性质并能应用它;对于给定的解释会判断公式的真值,或判定真值不确定(即仍不是命题)。
教学重点:
合式公式、一阶逻辑公式的类型,闭式的主要特征
教学难点:
一阶逻辑公式的类型,闭式的主要特征
教学设计:
采用课堂教授,主要使用多媒体课件,部分内容及例题用黑板解释。
2.3谓词逻辑等值演算与推理
2.3.1等值式与前束范式
2.3.2主要定理量词否定等值式量词辖域收缩与扩张等值式量词分分配等值式
2.3.3前束范式
基本要求:
1、深刻理解并记住重要等值式,并能熟练地应用它们;
2、熟练地使用置换规则、换名规则、代替规则;
3、准确地求出给定公式的前束范式;
4、正确地使用UI,UG,EG,EI规则,特别要注意它们之间的关系;
5、对给定的推理,正确地构造出它的证明。
教学重点:
重要的等值式、前束范式与公式的前束范式、谓词逻辑推理理论。
教学难点:
重要的等值式。
教学设计:
采用课堂教授,主要使用多媒体课件,部分内容及例题用黑板解释。
3、本章小结:
学习第本章要注意以下几点:
(1)同一个命题在不同个体域内可能有不同的符号化形式,同时也可能有不同的真值,因而在将一个命题符号化之前,必须弄清个体域。
(2)在将命题符号化时,要特别注意量词与联结词的搭配。
经常的情况是全称量词与蕴含词搭配,存在量词与合取词搭配。
因此有下面两种形式的公式:
(x)(A(x)B(x))①
(x)(A(x)B(x))②
而(x)(A(x)B(x))③
(x)(A(x)B(x))④
③与①,④与②的含义完全不同。
(3)记住主要的等价式。
会用约束变元和自由变元换名规则进行等价演算,求出给定公式的前束范式。
(4)在谓词演算的推理证明中,要特别注意US,UG,ES,EG规则成立的条件。
第3章集合的基本概念和运算(授课4学时)
1、教学目标:
1、熟练掌握集合的两种表示法;
2、能够判别元素是否属于给定的集合;
3、能够判别两个集合之间是否存在包含、相等、真包含等关系;
4、熟练掌握集合的基本运算(普通运算和广义运算);
5、掌握证明集合等式或者包含关系的基本方法。
2、教学内容
3.1集合的基本概念
3.1.1集合的定义与集合的表示法
3.1.2元素与集合、集合与集合
3.1.3空集、全集、幂集
基本要求:
掌握集合、元素、自己、真子集、全集、幂集的概念。
了解两个集合间相等关系包含关系的定义与性质,能够用定义证明两个集合相等,熟悉常用的集合表示方法
重点:
集合的概念与集合的关系
难点:
幂集集合的关系
教学设计:
采用课堂教授,主要使用多媒体课件,部分内容及例题用黑板解释。
3.2集合的基本运算
3.2.1集合的基本运算
3.2.2集合的运算律
基本要求:
掌握集合之间的包含、相等、真包含等关系;集合的基本运算(幂集运算,普通运算和广义运算)
重点:
集合的运算定律
难点:
集合的运算定律
教学设计:
采用课堂教授,主要使用多媒体课件,部分内容及例题用黑板解释。
3.3集合中元素的计数
3.3.1有穷集合
3.3.2文氏图法
3.3.3公式法——包含排斥原理
基本要求:
掌握有穷集合的计数方法
重点:
文氏图法公式法——包含排斥原理
难点:
文氏图法公式法——包含排斥原理
教学设计:
采用课堂教授,主要使用多媒体课件,部分内容及例题用黑板解释。
3.3有穷集合
3.3.1有穷集合
3.3.2文氏图法
3.3.3公式法——包含排斥原理
基本要求:
掌握有穷集合的计数方法
重点:
文氏图法公式法——包含排斥原理
难点:
文氏图法公式法——包含排斥原理
教学设计:
采用课堂教授,主要使用多媒体课件,部分内容及例题用黑板解释。
氏图法公式法:
——包含排斥原理
3、本章小结:
本章学习要注意下面几点:
能够正确的表示集合,会画文氏图;能够判断元素是否属于集合;能够判断集合之间的关系;能够进行集合之间的运算和对有穷集合计数
第4章二元关系和函数(授课8学时)
1、教学目标:
1.基本概念要清楚;
(1)熟练掌握关系的三种表示法;
(2)能够判定关系的性质(等价关系或偏序关系);
(3)掌握含有关系运算的集合等式;
(4)掌握等价关系、等价类、商集、划分、哈斯图、偏序集等概念;
2.以下基本运算要熟练:
(1)AB,domR,ranR,fldR,R1,RS,Rn,r(R),s(R),t(R);
(2)求等价类和商集A/R;
(3)给定A的划分,求出所对应的等价关系;
2)求偏序集中的极大元、极小元、最大元、最小元、上界、下界、上确界、下确
界。
3.掌握基本的证明方法:
证明涉及关系运算的集合等式、证明关系的性质、证明关系是等价关系或偏序关系。
4.给定f,A,B,判别f是否为从A到B的函数;
5.判别函数f:
AB的性质(单射、满射、双射);
6.熟练计算函数的值、像、复合以及反函数;
7.证明函数f:
AB的性质(单射、满射、双射);
8.给定集合A,B,构造双射函数f:
AB。
2、教学内容
4.1集合的笛卡尔积与二元关系
4.1.1有序对与笛卡尔积
4.1.2二元关系
基本要求:
掌握序偶与笛卡尔积的基本概念,并能够计算集合的笛卡尔积;掌握关系、二元关系、空关系、全域关系、相等关系、逆关系、复合关系的的概念,关系的表述方法。
重点:
集合的笛卡尔积、二元关系的定义关系图,关系的表示方法
难点:
集合的笛卡尔积、二元关系的定义关系图
教学设计:
采用课堂教授,主要使用多媒体课件,部分内容及例题用黑板解释。
4.2关系的运算与性质
4.2.1关系的定义域与值域
4.2.2关系的性质
基本要求:
掌握关系、二元关系、空关系、全域关系、相等关系、逆关系、复合关系的的性质,能够判定关系的性质(等价关系或偏序关系)
重点:
关系的定义域、值域、逆、右复合、限制、像、幂的计算方法;判断关系五种性质的方法,并能对关系的自反、对称、反对称、传递性给出证明
难点:
对关系的自反、对称、反对称、传递性给出证明
教学设计:
采用课堂教授,主要使用多媒体课件,部分内容及例题用黑板解释。
4.3关系的闭包、等价关系和偏序关系
4.3.1关系的闭包
4.3.2等价关系和划分
4.3.3偏序关系与偏序集
基本要求:
掌握关系的闭包运算;掌握集合的划分、等价关系、等价类和商集的概念,了解等价关系和划分的内在联系;掌握相容关系、相容类、偏序关系、偏序集、全序关系、全序集的概念以及偏序集中的特殊元素的定义。
;能够画出哈斯图,并根据图讨论偏序集的某些性质。
重点:
重点:
等价关系、等价类、商集、划分的概念,以及等价关系与划分的对应性质⑧偏序关系、偏序集、哈斯图、偏序集中的特定元素等概念④集合A上关系R的自反闭包、对称闭包和传递闭包⑤关系运算的集合恒等式或者包含式
难点:
关系的闭包运算;等价关系、等价类;偏序关系、偏序集、哈斯图
教学设计:
采用课堂教授,主要使用多媒体课件,部分内容及例题用黑板解释。
4.4函数
4.4.1函数的定义和性质
4.4.2函数的复合
4.4.3反函数
基本要求:
给定f,A,B,判别f是否为从A到B的函数;判别函数f:
AB的性质(单射、满射、双射);熟练计算函数的值、像、复合以及反函数;证明函数f:
AB的性质(单射、满射、双射);给定集合A,B,构造双射函数f:
AB。
重点:
函数的概念,会判断给定集合是否为函数、是否为从A到B的函数;计算函数的值、像、完全原像以及BA;单射、满射、双射的性质、构造从A到B的双射函数;复合函数、双射函数的反函数。
难点:
复合函数、双射函数的反函数
教学设计:
采用课堂教授,主要使用多媒体课件,部分内容及例题用黑板解释。
3、本章小结
1.能正确地使用集合表达式、关系矩阵和关系图表示给定的二元关系。
2.给定A上的关系R(可能是集合表达式,也可能是关系矩阵或关系图),能判别R的性质。
3.给定关系R和S,求RS;给定A上的关系R,求Rn,r(R),s(R),t(R)。
4.给定A上的等价关系R,求所有的等价类和商集A/R,或者求与R相对应的划分,以及给定A的划分,求对应的等价关系。
5.给定A上的偏序关系,画出偏序集的哈斯图;给定偏序集的哈斯图,求A和≤的集合表达式。
6.确定偏序集的极大元、极小元、最大元、最小元、最大下界和最小上界。
7.给定集合A,B和f,判别f是否为A到B的函数,如果是,说明是否为入射、满射、双射。
第5章代数系统的一般性质(授课5学时)
1、教学目标:
1、判断给定集合和运算能否构成代数系统;
2、判断给定二元运算的性质和特异元素;
3、了解同类型和同种代数系统的概念;
4、了解子代数的基本概念。
5、深刻理解和掌握代数系统的基本概念和运算
2、教学内容
5.1二元运算及其性质
5.1.1二元运算的定义
1、主要运算律
2、特异元素:
单位元、零元和逆元
3、惟一性定理
基本要求:
了解二元运算的概念,掌握二元运算定律
重点:
代数运算的概念;代数运算的表示方法;二元运算定律特异元素
难点:
二元运算定律特异元素
教学设计:
采用课堂教授,主要使用多媒体课件,部分内容及例题用黑板解释。
5.2代数系统及其子代数和代数系统的同构
5.2.1代数系统
5.2.2子代数
5.2.3代数系统的同态
5.2.4代数系统的同构
基本要求:
了解子代数的基本概念,掌握代数系统的同态与同构
重点:
数系统的概念,同类型的代数系统,子代数的概念
难点:
代数系统的同构
教学设计:
采用课堂教授,主要使用多媒体课件,部分内容及例题用黑板解释。
3、本章小结:
通过本章的学习应该达到下面的基本要求:
给定结合与运算的解析表达式写出运算的运算表;给定集合和运算,判别该集合对运算是否封闭,给定二元运算说明运算是否满足交换律、结合律、分配律、和吸收率。
给定二元运算能够求出该运算的幺元、零元、幂元等。
能够判断一个映射是否为同态映射,如果是要求能够判断是否为单射、满射和同构。
第6章几个典型的代数系统(授课7学时)
1、教学目标:
掌握半群和独异点的概念及性质;群的定义及性质;了解子群的概念,子群判定定理;陪集的概念,拉格朗日定理;正规子群的概念,正规子群的性质及判定;掌握群的同态概念;循环群的概念,循环群的性质,应用相关定理;置换群的概念,置换群的性质。
环的概念及性质;域的概念及性质。
2、教学内容
6.1半群与群
6.1.1半群独异点和群的一般概念
6.1.2元素的阶
6.1.3群的性质
6.1.4子群
基本
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