江西省宜春市奉新一中学年高二下学期第一次.docx
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江西省宜春市奉新一中学年高二下学期第一次
2016-2017学年江西省宜春市奉新一中高二(下)第一次月考数学试卷(文科)
一、选择题:
本大题共12小题,每小题5分,共60分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
1.在极坐标系中,曲线ρ=4cosθ围成的图形面积为( )
A.πB.4C.4πD.16
2.在极坐标系中,已知点P(2,
),则过点P且平行于极轴的直线的方程是( )
A.ρsinθ=1B.ρsinθ=
C.ρcosθ=1D.ρcosθ=
3.如图,在复平面内,复数z1,z2对应的向量分别是
,
,则|z1+z2|=( )
A.2B.3C.2
D.3
4.不等式x2﹣|x|﹣2<0的解集是( )
A.{x|﹣2<x<2}B.{x|x<﹣2或x>2}C.{x|﹣1<x<1}D.{x|x<﹣1或x>1}
5.不等式|x|•(1﹣2x)>0的解集是( )
A.
B.(﹣∞,0)∪
C.
D.
6.不等式3≤|5﹣2x|<9的解集为( )
A.[﹣2,1)∪[4,7)B.(﹣2,1]∪(4,7]C.(﹣2,﹣1]∪[4,7)D.(﹣2,1]∪[4,7)
7.与参数方程为
(t为参数)等价的普通方程为( )
A.x2+
=1B.x2+
=1(0≤x≤1)
C.x2+
=1(0≤y≤2)D.x2+
=1(0≤x≤1,0≤y≤2)
8.若复数z=a2﹣1+(a+1)i(a∈R)是纯虚数,则
的虚部为( )
A.﹣
B.﹣
C.
D.
9.用反证法证明命题:
“若a,b∈N,ab能被3整除,那么a,b中至少有一个能被3整除”时,假设应为( )
A.a,b都能被3整除B.a,b都不能被3整除
C.a,b不都能被3整除D.a不能被3整除
10.如a
+b
>a
+b
,则a,b必须满足的条件是( )
A.a>b>0B.a<b<0
C.a>bD.a≥0,b≥0,且a≠b
11.在平面几何中有如下结论:
正三角形ABC的内切圆面积为S1,外接圆面积为S2,则
=
,推广到空间可以得到类似结论,已知正四面体P﹣ABC的内切球体积为V1,外接球体积为V2,则
=( )
A.
B.
C.
D.
12.将自然数0,1,2,…按照如下形式进行摆列:
根据以上规律判定,从2016到2018的箭头方向是( )
A.
B.
C.
D.
二、填空题:
本大题共4小题,每小题5分,共20分
13.设平面上的伸缩变换的坐标表达式为
,则在这一坐标变换下正弦曲线y=sinx的方程变为 .
14.在极坐标系中,设P是直线l:
ρ(cosθ+sinθ)=4上任一点,Q是圆C:
ρ2=4ρcosθ﹣3上任一点,则|PQ|的最小值是 .
15.已知直线l:
(t为参数且t∈R)与曲线C:
(α是参数且α∈[0,2π)),则直线l与曲线C的交点坐标为 .
16.以下三个命题:
①若|a﹣b|<1,则|a|<|b|+1;
②若a,b∈R,则|a+b|﹣2|a|≤|a﹣b|;
③若|x|<2,|y|>3,则
,
其中正确命题的序号是 .
三、解答题:
本大题共6小题,共70分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.
17.在直角坐标系xOy中,以O为极点,x正半轴为极轴建立极坐标系,曲线C的极坐标方程为ρcos(
)=1,M,N分别为C与x轴,y轴的交点.
(1)写出C的直角坐标方程,并求M,N的极坐标;
(2)设MN的中点为P,求直线OP的极坐标方程.
18.已知复数z=bi(b∈R),
是实数,i是虚数单位.
(1)求复数z;
(2)若复数(m+z)2所表示的点在第一象限,求实数m的取值范围.
19.在直角坐标系xOy中,过点
作倾斜角为α的直线L与曲线C:
x2+y2=1相交于不同的两点M,N.
(1)若以坐标原点为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系,写出C的极坐标方程和直线L的参数方程;
(2)求
的取值范围.
20.设不等式|2x﹣1|<1的解集为M,且a∈M,b∈M.
(1)试比较ab+1与a+b的大小.
(2)设max{A}表示数集A中的最大数,且
,求证:
h>2.
21.设函数f(x)=|x﹣1|+|2x﹣1|.
(Ⅰ)求不等式f(x)≥2的解集;
(Ⅱ)若∀x∈R,不等式f(x)≥a|x|恒成立,求实数a的取值范围.
22.已知b=a3+
,a∈[0,1].证明:
(1)b≥1﹣a+a2.
(2)
<b≤
.
2016-2017学年江西省宜春市奉新一中高二(下)第一次月考数学试卷(文科)
参考答案与试题解析
一、选择题:
本大题共12小题,每小题5分,共60分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
1.在极坐标系中,曲线ρ=4cosθ围成的图形面积为( )
A.πB.4C.4πD.16
【考点】Q8:
点的极坐标和直角坐标的互化.
【分析】先将原极坐标方程两边同乘以ρ后化成直角坐标方程,再利用直角坐标方程进行求解圆的面积即可.
【解答】解:
将原极坐标方程为ρ=4cosθ,化成:
ρ2=4ρcosθ,其直角坐标方程为:
∴x2+y2=4x,是一个半径为2的圆,其面积为4π.
故选C.
2.在极坐标系中,已知点P(2,
),则过点P且平行于极轴的直线的方程是( )
A.ρsinθ=1B.ρsinθ=
C.ρcosθ=1D.ρcosθ=
【考点】Q8:
点的极坐标和直角坐标的互化;Q4:
简单曲线的极坐标方程.
【分析】求出点P(2,
)的直角坐标,可得此点到极轴的距离为1,从而求得所求直线的极坐标方程.
【解答】解:
∵点P(2,
)的直角坐标为(
,1),此点到x轴的距离为1,
故经过此点到x轴的距离为1的直线的方程是y=1,
故过点P且平行于极轴的直线的方程是ρsinθ=1,
故选A.
3.如图,在复平面内,复数z1,z2对应的向量分别是
,
,则|z1+z2|=( )
A.2B.3C.2
D.3
【考点】A8:
复数求模.
【分析】利用复数的几何意义和复数的模的计算公式即可得出.
【解答】解:
由图可知:
=(﹣2,﹣1),
=(0,1).
∴z1=﹣2﹣i,z2=i.
∴z1+z2=﹣2﹣i+i=﹣2.
∴|z1+z2|=2.
故选:
A
4.不等式x2﹣|x|﹣2<0的解集是( )
A.{x|﹣2<x<2}B.{x|x<﹣2或x>2}C.{x|﹣1<x<1}D.{x|x<﹣1或x>1}
【考点】74:
一元二次不等式的解法.
【分析】把原不等式中的x2变为|x|2,则不等式变为关于|x|的一元二次不等式,求出解集得到关于x的绝对值不等式,解出绝对值不等式即可得到x的解集.
【解答】解:
原不等式化为|x|2﹣|x|﹣2<0
因式分解得(|x|﹣2)(|x|+1)<0
因为|x|+1>0,所以|x|﹣2<0即|x|<2
解得:
﹣2<x<2.
故选A
5.不等式|x|•(1﹣2x)>0的解集是( )
A.
B.(﹣∞,0)∪
C.
D.
【考点】7E:
其他不等式的解法.
【分析】将不等式等价变形为1﹣2x>0且x≠0然后求解集.
【解答】解:
不等式变形为1﹣2x>0且x≠0,解得x<
且x≠0,所以不等式的解集为(﹣∞,0)∪(0,
);
故选B.
6.不等式3≤|5﹣2x|<9的解集为( )
A.[﹣2,1)∪[4,7)B.(﹣2,1]∪(4,7]C.(﹣2,﹣1]∪[4,7)D.(﹣2,1]∪[4,7)
【考点】R5:
绝对值不等式的解法.
【分析】由原不等式得3≤2x﹣5<9①,或﹣9<2x﹣5≤﹣3②,分别求出①和②的解集,取并集即得所求.
【解答】解:
∵3≤|5﹣2x|<9,∴3≤2x﹣5<9①,或﹣9<2x﹣5≤﹣3②.
解①得4≤x<7,解②得﹣2<x≤1.
故不等式的解集为(﹣2,1]∪[4,7),
故选D.
7.与参数方程为
(t为参数)等价的普通方程为( )
A.x2+
=1B.x2+
=1(0≤x≤1)
C.x2+
=1(0≤y≤2)D.x2+
=1(0≤x≤1,0≤y≤2)
【考点】QH:
参数方程化成普通方程.
【分析】先由参数方程求出参数t得取值范围,进而求出x、y的取值范围,再通过变形平方即可消去参数t.
【解答】解:
由参数方程为
,
∴
,解得0≤t≤1,从而得0≤x≤1,0≤y≤2;
将参数方程中参数消去得x2+
=1.
因此与参数方程为
等价的普通方程为
.
故选D.
8.若复数z=a2﹣1+(a+1)i(a∈R)是纯虚数,则
的虚部为( )
A.﹣
B.﹣
C.
D.
【考点】A5:
复数代数形式的乘除运算;A2:
复数的基本概念.
【分析】由已知中复数z=a2﹣1+(a+1)i(a∈R)是纯虚数,根据其虚部不为0,实部为0,可以构造关于a的方程组,解方程求出a值,进而可得
,再由复数除法的运算法则,将复数化为a+bi(a,b∈R)的形式,即可得到
的虚部.
【解答】解:
∵复数z=a2﹣1+(a+1)i(a∈R)是纯虚数,
∴a2﹣1=0,且a+1≠0
故a=1
则Z=2i
∴
=
=
﹣
i
故
的虚部为
故选A
9.用反证法证明命题:
“若a,b∈N,ab能被3整除,那么a,b中至少有一个能被3整除”时,假设应为( )
A.a,b都能被3整除B.a,b都不能被3整除
C.a,b不都能被3整除D.a不能被3整除
【考点】R9:
反证法与放缩法.
【分析】“a,b中至少有一个能被3整除”的反面是:
“a,b都不能被3整除”,故应假设a,b都不能被3整除.
【解答】解:
反证法证明命题时,应假设命题的反面成立.“a,b中至少有一个能被3整除”的反面是:
“a,b都不能被3整除”,故应假设a,b都不能被3整除,
故选B.
10.如a
+b
>a
+b
,则a,b必须满足的条件是( )
A.a>b>0B.a<b<0
C.a>bD.a≥0,b≥0,且a≠b
【考点】72:
不等式比较大小.
【分析】通过作差、利用根式的意义即可得出.
【解答】解:
a
+b
﹣(a
+b
)=(a﹣b)
=
,
又a
+b
>a
+b
,
则a,b必须满足的条件是a,b≥0,a≠b.
故选:
D.
11.在平面几何中有如下结论:
正三角形ABC的内切圆面积为S1,外接圆面积为S2,则
=
,推广到空间可以得到类似结论,已知正四面体P﹣ABC的内切球体积为V1,外接球体积为V2,则
=( )
A.
B.
C.
D.
【考点】F3:
类比推理.
【分析】平面图形类比空间图形,二维类比三维得到,类比平面几何的结论,确定正四面体的外接球和内切球的半径之比,即可求得结论.
【解答】解:
从平面图形类比空间图形,从二维类比三维,
如图,设正四面体的棱长为a,则AE=
,DE=
设OA=R,OE=r,则
∴R=
,r=
∴正四面体的外接球和内切球的半径之比是3:
1
故正四面体P﹣ABC的内切球体积为V1,外接球体积为V2之比等于
故选C
12.将自然数0,1,2,…按照如下形式进行摆列:
根据以上规律判定,从2016到2018的箭头方向是( )
A.
B.
C.
D.
【考点】F1:
归纳推理.
【分析】这是一
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- 江西省 宜春市 奉新 一中 学年 下学 第一次