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导数公式：

专升本高等数学公式大全

（tgx）'=sec2x（ctgx）'=-csc2x（secx）'=secx⋅tgx

（arcsinx）'=1

1-x2

1-x2

（arccosx）'=-1

（cscx）'=-cscx⋅ctgx

（ax）'=axlna

（arctgx）'

=1

1+x2

（loga

x）'=

1

xlna

（arcctgx）'=-

1

1+x2

基本积分表：

三角函数的有理式积分：

⎰tgxdx=-lncosx+C

⎰ctgxdx=lnsinx+C

dx

⎰

cos2xdx

=⎰sec2xdx=tgx+C

⎰secxdx=lnsecx+tgx+C

⎰sin2x

=⎰csc2xdx=-ctgx+C

⎰cscxdx=lncscx-ctgx+C

dx=1arctgx+C

⎰secx⋅tgxdx=secx+C

⎰cscx⋅ctgxdx=-cscx+C

⎰a2+x2a

dx=1

a

lnx-a+C

⎰axdx=

ax

+

C

lna

⎰x2-a2

⎰

dx

a2-x2

2ax+a

=1lna+x+C

x2±a2

2aa-x

⎰shxdx=chx+C

⎰chxdx=shx+C

a2-x2

⎰

dx=arcsinx+C

a

⎰dx=ln（x+

x2±a2）+C

2

n

In=⎰sin

0

2

0

x

2

x2+a2

xdx=⎰cosn

xdx=

n-1

na2

In-2

x2+a2

⎰dx=

x2-a2

⎰dx=

+

2

-

x

2

x2-a2

a2

2

x

2

a2-x2

a2

ln（x+

x2+a2

x2-a2

lnx+

x

）+C

+C

a2-x2

⎰dx=

+

arcsin+C

2a

sinx=

2u1+u2

，cosx=

1-u2

，

1+u2

u=tgx，

2

dx=

2du1+u2

一些初等函数：

两个重要极限：

ex-e-x

双曲正弦:

shx=

limsinx=1

2x→0x

双曲余弦:

chx=

ex+e-x

lim（1+1）x=e=2.718281828459045...

双曲正切:

thx=

2

shx=

chx

ex-e-x

ex+e-x

x→∞x

arshx=ln（x+

archx=±ln（x+

x2+1）

x2-1）

arthx=1ln1+x

21-x

三角函数公式：

·诱导公式：

函数角A

sin

cos

tg

ctg

-α

-sinα

cosα

-tgα

-ctgα

90°-α

cosα

sinα

ctgα

tgα

90°+α

cosα

-sinα

-ctgα

-tgα

180°-α

sinα

-cosα

-tgα

-ctgα

180°+α

-sinα

-cosα

tgα

ctgα

270°-α

-cosα

-sinα

ctgα

tgα

270°+α

-cosα

sinα

-ctgα

-tgα

360°-α

-sinα

cosα

-tgα

-ctgα

360°+α

sinα

cosα

tgα

ctgα

cos

·和差角公式：

·和差化积公式：

sin（±）=sincos±cossin

cos（±）=coscossinsin

tg（±）=tg±tg

1tg⋅tg

sin+sin=2sin+

2

sin

sin-sin=2cos+

2

+

-

2

-

2

-

ctg（±）=

ctg⋅ctg1

cos+cos=2cos

cos

22

ctg±ctg

cos-cos=2sin+

sin

2

-

2

·倍角公式：

sin2=2sincos

cos2=2cos2-1=1-2sin2=cos2-sin2

ctg2-1

sin3=3sin-4sin3

cos3=4cos3-3cos

ctg2=

tg2=

2ctg2tg

tg3=

3tg-tg3

1-3tg2

1-tg2

·半角公式：

sin=±

2

tg=±

1-cos2

1-cos=1-cos=

sin

cos=±

2

ctg=±

1+cos2

1+cos=1+cos=

sin

21+cos

sin

1+cos

21-cos

sin

1-cos

·正弦定理：

a

sinA

=b

sinB

=c

sinC

=2R

·余弦定理：

c2=a2+b2-2abcosC

·反三角函数性质：

arcsinx=

-arccosx

2

arctgx=

-arcctgx

2

高阶导数公式——莱布尼兹（Leibniz）公式：

（uv）=∑Cuv

n

（n）k（n-k）（k）

n

k=0

=u（n）v+nu（n-1）v'+n（n-1）u（n-2）v'++n（n-1）（n-k+1）u（n-k）v（k）++uv（n）

2!

k!

中值定理与导数应用：

拉格朗日中值定理：

f（b）-f（a）=f'（）（b-a）

f（b）-f（a）f'（）

柯西中值定理：

F（b）-

=

F（a）

F'（）

当F（x）=x时，柯西中值定理就是拉格朗日中值定理。

曲率：

弧微分公式：

ds=1+y'2dx,其中y'=tg

平均曲率：

K=

∆∆:

从M点到M'点，切线斜率的倾角变化量；∆s：

MM'弧长。

.

∆s

M点的曲率：

K=lim∆=

∆s→0∆s

d=.

y'

（1+y'2）3

ds

直线：

K=0;

半径为a的圆：

K=1.

a

定积分的近似计算：

b

矩形法：

⎰f（x）≈

a

b

梯形法：

⎰f（x）≈

a

b-an

b-an

（y0+y1++yn-1）

1

[2（y0+yn）+y1++yn-1]

b

抛物线法：

⎰f（x）≈

a

b-a

3n

[（y0+yn）+2（y2+y4++yn-2）+4（y1+y3++yn-1）]

定积分应用相关公式：

功：

W=F⋅s

水压力：

F=p⋅A

引力：

F=km1m2,k为引力系数r2

1b

函数的平均值：

y=b-a⎰f（x）dx

a

均方根：

1

b

⎰f2（t）dt

b-aa

空间解析几何和向量代数：

（x-x）2+（y-y）2+（z-z）2

21

21

21

AB

空间2点的距离：

d=M1M2=

向量在轴上的投影：

PrjuAB=

⋅cos,是AB与u轴的夹角。

1

Prju（a+a

）=Prja

+

Prja

1

2

2

a⋅

b=a⋅bcos=axbx+ayby+azbz,是一个数量,

a2+a2+a2⋅b2+b2+b2

xyz

xyz

两向量之间的夹角：

cos=

axbx+ayby+azbz

i

c=a⨯=a

jk

aa,c=a⋅

.例：

线速度：

v=w⨯r.

bxyz

bxbybz

bsin

axayaz

向量的混合积：

[abc]=（a⨯b）⋅c=bxby

cxcy

bz=a⨯b⋅ccos,为锐角时

cz

代表平行六面体的体积。

平面的方程：

0000000

1、点法式：

A（x-x）+B（y-y）+C（z-z）=0，其中n={A,B,C},M（x,y,z）

2、一般方程：

Ax+By+Cz+D=0

3xyz

、截距世方程：

++=1

Ax0+By0+Cz0+D

A2+B2+C2

abc

平面外任意一点到该平面的距离：

d=

⎧x=x0+mt

⎩

x-x0y-y0

z-z0⎪

空间直线的方程：

=

mn

=p=t,其中s={m,n,p};参数方程：

⎨y=y0+nt

0

二次曲面：

x

2

2

1、椭球面：

+

a

x2

yz2

2

+=

b2c21

y2

⎪z=z

+

pt

2、抛物面：

+

2p2q

3、双曲面：

=z（,

p,q同号）

x2

单叶双曲面：

a2

x2

双叶双曲面：

a2

+

y2

b2

-y2

b2

-

z2

c2

+z2

c2

=1

=（1马鞍面）

多元函数微分法及应用

全微分：

dz=∂zdx+∂zdydu=∂udx+∂udy+∂udz

∂x∂y∂x∂y∂z

全微分的近似计算：

∆z≈dz=fx（x,y）∆x+fy（x,y）∆y

多元复合函数的求导法：

z=f[u（t）,v（t）]

dz=∂z⋅∂u+∂z⋅∂v

dt∂u∂t∂v∂t

z=f[u（x,y）,v（x,y）]

∂z=

∂z⋅∂u+∂z⋅∂v

∂x

当u=u（x,y），v=v（x,y）时，

∂u∂x

∂v∂x

du=∂udx+∂udydv=∂vdx+∂vdy

∂x∂y∂x∂y

隐函数的求导公式：

隐函数F（x,y）=0，

dy=-Fx，

dxFy

d2y

dx2

=∂（-Fx）＋∂

∂xFy∂y

（-Fx）⋅dyFydx

隐函数F（x,y,z）=0，∂z=-Fx，

∂z=-Fy

∂xFz∂yFz

⎧F（x,y,u,v）=0

∂（F,G）

FuFv

⎨

隐函数方程组：

⎩G（x,y,u,v）=0

J=∂（u,v）=

=

GuGv

∂F

∂u

∂G

∂u

∂F

∂v

∂G

∂v

∂u=-1⋅∂（F,G）∂v=-1⋅∂（F,G）

∂xJ

∂（x,v）

∂xJ

∂（u,x）

∂u=-1⋅∂（F,G）∂v=-1⋅∂（F,G）

∂yJ

∂（y,v）

∂yJ

∂（u,y）

微分法在几何上的应用：

⎧x=（t）

空间曲线⎪y=（t）在点M（x,y,z）

x-x0

=y-y0

=z-z0

⎨

⎩

⎪z=（t）

000

处的切线方程：

（t0）

'（t0）

'（t0）

'

在点M处的法平面方程：

'（t0）（x-x0）+'（t0）（y-y0）+'（t0）（z-z0）=0

y

⎧⎪F（x,y,z）=0

Fy

FzFz

FxFxFy

若空间曲线方程为：

⎨

⎪⎩G（x,y,z）

=0,则切向量T={G

GzGz

G,G}

x

x

G

y

曲面F（x,y,z）=0上一点M（x0,y0,z0），则：

1、过此点的法向量：

n={F（x,y,z）,F（x,y,z

）,F（x,y,z）}

x000

y000

z000

2、过此点的切平面方程：

Fx（x0,y0,z0）（x-x0）+Fy（x0,y0,z0）（y-y0）+Fz（x0,y0,z0）（z-z0）=0

3、过此点的法线方程：

x-x0

=y-y0

=z-z0

方向导数与梯度：

Fx（x0,y0,z0）

Fy（x0,y0,z0）

Fz（x0,y0,z0）

函数z=f（x,y）在一点p（x,y）沿任一方向l的方向导数为∂f=∂fcos+∂fsin

：

∂l∂x∂y

其中为x轴到方向l的转角。

函数z=f（x,y）在一点p（x,y）的梯度：

gradf（x,y）=∂fi+∂fj

∂f

∂x∂y

它与方向导数的关系是：

∂l

=gradf（x,y）⋅e，其中e=cos⋅i+sin⋅j，为l方向上的

单位向量。

∴∂f是gradf（x,y）在l上的投影。

∂l

多元函数的极值及其求法：

设fx（x0,y0）=fy（x0,y0）=0，令：

fxx（x0,y0）=A,

fxy（x0,y0）=B,

fyy（x0,y0）=C

⎧

AC-B2>0

⎧A<0,（x0,y0）为极大值

⎩00

⎪

⎪时，⎨A>0,（x,y）为极小值

则：

⎨AC-B2<0时，无极值

⎪

⎪AC-B2=0时,

⎪⎩

不确定

重积分及其应用：

⎰⎰f（x,y）dxdy=⎰⎰f（rcos,rsin）rdrd

DD'

曲面z=f（x,y）的面积A=⎰⎰

D

M

⎰⎰x（x,y）d

dxdy

1+ç∂x⎪+ç∂y⎪

⎛∂z⎫2

⎛∂z⎫2

⎝⎭

⎝⎭

M

⎰⎰y（x,y）d

平面薄片的重心：

x=x=D,y=y=D

M⎰⎰（x,y）d

D

M⎰⎰（x,y）d

D

平面薄片的转动惯量：

对于x轴Ix=⎰⎰y2（x,y）d,

D

对于y轴Iy=⎰⎰x2（x,y）d

D

平面薄片（位于xoy平面）对z轴上质点M（0,0,a）,（a>0）的引力：

F={Fx,Fy,Fz}，其中

Fx=f⎰⎰

（x,y）xd

，

3

Fy=f⎰⎰

（x,y）yd

，

3

Fz=-fa⎰⎰

（x,y）xd

3

D（x2+y2+a2）2

柱面坐标和球面坐标：

⎧x=rcos

⎨

柱面坐标：

⎪y=rsin,

D（x2+y2+a2）2

⎰⎰⎰f（x,y,z）dxdydz=⎰⎰⎰F（r,,z）rdrddz,

D（x2+y2+a2）2

⎩

⎪z=zΩΩ

其中：

F（r,,z）=f（rcos,rsin,z）

⎧x=rsincos

⎨

球面坐标：

⎪y=rsinsin，dv=rd⋅rsin⋅d⋅dr=r2sindrdd

⎩

⎪z=rcos

2

r（,）

⎰⎰⎰f（x,y,z）dxdydz=⎰⎰⎰F（r,,）r2sindrdd=⎰d⎰d⎰F（r,,）r2sindr

ΩΩ000

重心：

x=1⎰⎰⎰xdv,y=1⎰⎰⎰ydv,z=1⎰⎰⎰zdv，其中M=x=⎰⎰⎰dv

MΩMΩMΩΩ

转动惯量：

Ix=⎰⎰⎰（y2+z2）dv，

Ω

Iy=⎰⎰⎰（x2+z2）dv，

Ω

Iz=⎰⎰⎰（x2+y2）dv

Ω

曲线积分：

第一类曲线积分（对弧长的曲线积分）：

⎧x=（t）

设f（x,y）在L上连续，L的参数方程为：

⎨,

（≤t≤）,则：

⎩y=（t）

⎧x=t

⎰f（x,y）ds=⎰f[（t）,（t）]'2（t）+'2（t）dt（<）特殊情况：

⎨

L⎩y=（t）

第二类曲线积分（对坐标的曲线积分）：

⎧x=（t）

设L的参数方程为⎨y=，则：

⎩（t）

⎰P（x,y）dx+Q（x,y）dy=⎰{P[（t）,（t）]'（t）+Q[（t）,（t）]'（t）}dt

L

两类曲线积分之间的关系：

⎰Pdx+Qdy=⎰（Pcos+Qcos）ds，其中和分别为

LL

L上积分起止点处切向量的方向角。

格林公式：

⎰⎰（∂Q-∂P）dxdy=⎰Pdx+Qdy格林公式：

⎰⎰（∂Q-∂P）dxdy=⎰Pdx+Qdy

D∂x∂yLD∂x∂yL

当P=-y,Q=x∂Q-∂P=2时，得到D的面积：

A=⎰⎰dxdy=1⎰xdy-ydx

，即：

∂x∂y

D2L

·平面上曲线积分与路径无关的条件：

1、G是一个单连通区域；

2、P（x,y），Q（x,y）在G内具有一阶连续偏导数，且∂Q＝∂P。

注意奇点，如（0,0），应

∂x∂y

减去对此奇点的积分，注意方向相反！

·二元函数的全微分求积：

在∂Q＝∂P时，Pdx+Qdy才是二元函数u（x,y）的全微分，其中：

∂x

u（x,y）=

∂y

（x,y）

⎰P（x,y）dx+Q（x,y）dy，通常设x0=y0=0。

（x0,y0）

曲面积分：

⎰⎰⎰⎰xy

对面积的曲面积分：

∑

f（x,y,z）ds=

Dxy

f[x,y,z（x,y）]

1+z2（x,y）+z2（x,y）dxdy

对坐标的曲面积分：

⎰⎰P（x,y,z）dydz+Q（x,y,z）dzdx+R（x,y,z）dxdy，其中：

∑

⎰⎰R（x,y,z）dxdy=±⎰⎰R[x,y,z（x,y）]dxdy，取曲面的上侧时取正号；

∑Dxy

⎰⎰P（x,y,z）dydz=±⎰⎰P[x（y,z）,y,z]dydz，取曲面的前侧时取正号；

∑Dyz

⎰⎰Q（x,y,z）dzdx=±⎰⎰Q[x,y（z,x）,z]dzdx，取曲面的右侧时取正号。

∑Dzx

两类曲面积分之间的关系：

⎰⎰Pdydz+Qdzdx+Rdxdy=⎰⎰（Pcos+Qcos+Rcos）ds

∑∑

高斯公式：

⎰⎰⎰（∂P+∂Q+∂R）dv=⎰⎰Pdydz+Qdzdx+Rdxdy=⎰⎰（Pcos+Qcos+Rcos）ds

Ω∂x∂y∂z∑∑

高斯公式的物理意义——通量与散度：

散度：

div=∂P+∂Q+∂R,即：

单位体积内所产生的流体质量，若div<0,则为消失...

∂x∂y∂z

通量：

A⋅nds=Ads=（Pcos+Qcos+Rcos）ds，

òòòònòò

∑∑∑

因此，高斯公式又可写成：

divAdv=Ads

òòòòòn

Ω∑

斯托克斯公式——曲线积分与曲面积分的关系：

⎰⎰（∂R-∂Q）dydz+（∂P-∂R）dzdx+（∂Q-∂P）dxdy=⎰Pdx+Qdy+Rdz

∑∂y∂z

∂z∂x

dydz

dzdx

∂x

⎰⎰

dxdy

∂y

cos

Γ

cos

cos

⎰⎰

上式左端又可写成：

∂∂

∑∂x∂y

与路径无关的条件∂R=∂Q，∂P=∂R，∂Q=∂P

：

i

∂

j

∂

∂y∂z∂z∂x∂x∂y

k

∂

∂x

∂y

∂z

P

Q

R

PQ

空间曲线积分

∂=∂

∂z∑∂x

RP

∂∂

∂y∂z

QR

旋度：

rotA=

向量场A沿有向闭曲线Γ的环流量：

⎰Pdx+Qdy+Rdz=⎰A⋅tds

ΓΓ

常数项级数：

等比数列：

1+q+q2

++q

n-1

=1-qn

1-q

等差数列：

1+2+3++n=（n+1）n

2

调和级数：

1+1+1++1是发散的

23n

级数审敛法：

1、正项级数的审敛法——根植审敛法（柯西判别法）

⎧<1时，级数收敛设：

=limnu，则⎪>1时，级数发散

n→∞n

⎨

⎩