届北京各区高三二模数学分类汇编立体几何含答案.docx
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届北京各区高三二模数学分类汇编立体几何含答案
2020北京各区高三二模数学分类汇编一立体几何
1.(2020?
海淀二模)已知三条不同的直线
l,m,n和两个不同的平面
F列四个命题中正确的为
(A)若m〃,
n〃,贝Um//n
(B)若l//m,m,则l//
(C)若1〃,
l//,贝U//
(D)若l//,i,贝U
2.(2020?
海淀二模)
某三棱锥的三视图如图所示,如果网格纸上小正方形的边长为
么该三棱锥的体积为
(A)2
(B)
4
3
3
(C)2
(D)
4
1,那
3.(2020?
海淀二模)如图,正方体ABCDABGD的棱长为2,点O为底面ABCD的中心,点P在侧面BBGC的
边界及其内部运动•若D1OOP,则△D1C1P面积的最大值为
(A)迹(B)症
55
7.(2020?
丰台高三二模)如图所示,一个三棱锥的主视图和左视图均为等边三角形,俯视图为等腰直角三角
形,则该棱锥的体积为
(A)2
(B)2三
9.
(2020?
密云高三二模)某三棱锥的三视图如图所示,则该三棱锥中最长的棱长为
A.JB-2C•:
J:
D-
10.(2020?
西城高三(下)6月模拟)佩香囊是端午节传统习俗之一.香囊内通常填
充一些中草药,有清香、驱虫、开窍的功效.因地方习俗的差异,香囊常用丝布做成各种不同的形状,形形色色,玲珑夺目,图1的YABCD由六个正三角形构成•将它
沿虚线折起来,可得图2所示的六面体形状的香囊.那么在图2这个六面体中,棱AB与CD所在直线的位置关系为
(A)平行(B)相交
(C)异面且垂直
(D)异面且不垂直
11.(2020?
东城高三二模)设,,是三个不同的平面,m,n是两条不同的直线,给出下列三个结论:
①若m
n,贝Um/n;
②若m
m,则//;
③若,,则//
其中,正确结论的序号为•
注:
本题给出的结论中,有多个符合题目要求。
全部选对得5分,不选或有错选得0分,其他得3分。
12.(2020?
西城高三二模)在四棱锥PABCD中,底面ABCD是正方形,PA底面ABCD,PAAB4,
E,F,H分别是棱PB,BC,PD的中点,对于平面EFH截四棱锥PABCD所得的截面多边形,有以下三个结论:
1截面的面积等于46;
2截面是一个五边形;
3截面只与四棱锥PABCD四条侧棱中的三条相交.
其中,所有正确结论的序号是.
1,那么该四棱锥的体积
13.(2020潮阳高三二模)某四棱锥的三视图如图所示,如果网格纸上小正方形的边长为
is-
(第门题用I〉
15.(2020?
海淀二模)(本小题共14分)
AD的中点.PE底面ABCD,点F是棱PC的中点,平面BEF与棱PD相交于点G.
14.(2020?
西城高三(下)6月模拟)某几何体的三视图如图所示,则该几何体的表
16.(2020?
西城高三二模)(本小题满分14分)
如图,在几何体ABCDEF中,底面ABCD是边长为2的正方形,DE平面ABCD,DEIIBF,且
DE2BF2.
(I)求证:
平面BCFII平面ADE;
(H)求钝二面角DAEF的余弦值.
17.(2020?
东城高三二模)(本小题14分)
如图①,四边形ABCD中,AD//BC,CDBC,BCCD1,AD2,E为AD中点.
将ABE沿BE折起到ABE的位置,如图②
(I)求证:
平面AEB平面A1ED;
(D)若AED90°,求AQ与平面ABD所成角的正弦值
图②
18.(2020?
朝阳高三二模)(本小题14分)
如图,在五面体ABCDEF中,面ABCD是正方形,ADDE,AD4,DEEF2且EDC
3
(I)求证:
AD平面CDEF;
(II)求直线BD与平面ADE所成角的正弦值;
(III)设M是CF的中点,棱AB上是否存在点G,使得MG//平面ADE?
若存在,求线段AG的长;若不存在,说明理由.
19.(2020?
西城高三(下)6月模拟)(本小题满分14分)
如图,在三棱柱ABCAB1C1中,CC1底面ABC,AC(I)求证:
BC1P平面AB1D;
(n)求直线BC与平面AB1D所成角的正弦值.
20.(2020?
昌平高三二模)(本小题14分)
亡中点,
如图,在四棱锥F_ABCD中,刃丄平面歴CD,FA-AD=CD=2,SC=3,PC=2-75,£为
,求证:
四边形占上厂二是直角梯形,并求直线宀亡与平面匚所成角的正弦值
从①匚二一匚匚:
②57■平面巴匚这两个条件中选一个,补充在上面问题中,并完成解答;
注:
如果选择多个条件分别解答,按第一个解答计分
21.(2020?
丰台高三二模)(本小题共14分)
22.
如图,四边形ABCD为正方形,
(I)求证:
PB平面ABCD;
MAHPB,MA
BC,ABPB,MA1,ABPB2.
(n)求直线PC与平面PDM所成角的正弦值
(2020?
房山高三二模)
(本小题14分)
如图,
在三棱柱ABC
中,
A1B1C1中,BCC1B1是边长为2的正方形,平面ABC
平面
BCC1B1,AB1,
AB
BC,点e为棱
AA的中点.
求证:
BC1
平面
A1B1C'
求直线BCi与平面BiCE所成角的正弦值・
23.(2020?
密云高三二模)(本小题满分14分)
如图,直三棱柱-■■-中,一-••「,二是棱的中点,二匸.
(I)证明:
I▼;
(n)求二面角-I,-~--''r.的大小.
Ci
第16题图
3]
2020北京各区高三二模数学分类汇编一立体几何
参考答案
I.D2.A3.C4.C5.D6.C7.A8.C9.D10.B
II.①②12.②③13.1214.4厉+4
15.(本小题共14分)
1
(I)证明:
因为E为AD中点,所以DE丄AD1.
2
又因为BC1,所以DEBC.
在梯形ABCD中,DE//BC,
所以四边形BCDE为平行四边形.
所以BE//CD.
又因为BE平面PCD,且CD平面PCD,
所以BE//平面PCD.
因为BE平面BEF,平面BEFI平面PCDFG,
所以BE//FG.
(H)解:
(解法1)因为PE平面ABCD,且AE,BE平面ABCD,
所以PEAE,且PEBE.
因为四边形BCDE为平行四边形,ADC90,
所以AEBE.
以E为坐标原点,如图建立空间直角坐标系Exyz.
则E(0,0,0),A(1,0,0),B(0,1,0),C(1,1,0),D(1,0,0).
设P(0,0,m)(m0),
uunuuu
所以CP(1,1,m),AB(1,1,0).
所以m.2.
则P(0,0,2),F(
UUUUUT
所以EB(0,1,0),EF
设平面BEF的法向量为n(x,y,z),
uuu
nEB0,则uuu
nEF0.
y0,
即112门
xyz0.
222
令x2,则z1,所以n(2,0,1).
uuu__
LuuuPBn42近
所以cosPB,n-tuuu厂鶯厂——.
|PB||n|73433
所以直线PB与平面BEF的所成角的正弦值为—.
3
(n)(解法2)
连结EC,
因为AE//BC且AEBC,所以四边形ABCE为平行四边形
所以AB//CE.
因为PC与AB所成角为-,所以PC与CE所成角为—.
44
即PCE
4
因为PE平面ABCD,且CE平面ABCD,
所以PECE.
又因为EDC—,所以平行四边形BCDE是矩形.
2
所以在等腰直角三角形PEC中,PECE2.
因为PE平面ABCD,且AE,BE平面ABCD,
所以PEAE,且PEBE.
又因为AEBE,
以E为坐标原点,如图建立空间直角坐标系Exyz
则E(0,0,0),B(0,1,0),P(0,0,.2),C(1,1,0),F(-^2).
222
uunuur
uun-
PB(0,1,2).
所以EB(0,1,0),EF(
uuu
EB0,uuu
EF0.
y0,
丄z0.
2
2,则z
1,所以
(、2,0,1).
所以
cos
uuu
PB,n
uuu
PBn
Luu
IPB||n|
所以直线
PB与平面BEF的所成角的正弦值为—
3
16.
解:
(本小题满分14分)
(I)因为DE//BF,DE平面ADE,BF平面ADE,
所以BF〃平面ADE.
同理,得BC//平面ADE.
又因为BCIBFB,BC平面BCF,BF
平面
BCF,
所以平面BCF//平面ADE.
(H)由DE平面ABCD,底面ABCD为正方形,
得DA,DC,DE两两垂直,故分另U以DA,DC,DE
为x轴,
y轴,z轴,如图建立空间直角坐标
系,
则D(0,0,0),E(0,0,2),F(2,2,1),A(2,0,0),
uuiunr
所以AE(2,0,2),AF
(0,2,1).
设平面AEF的法向量
n(x,y,z),
uuu
由AEn0,
iuurAFn
2x2z0,
°,得2yz0,
(2,1,
2).
11分
平面DAE的法向量m
(0,1,0).
设钝二面角
DAEF的平面角为
则Icos
|cos
mn
m,n|||
|m||n|
所以cos
即钝二面角DAE
F的余弦值为
14分
17.(本小题14分)
(I)证明:
因为四边形
ABCD中,AD//
BCCDBC
BC
1,AD2,E为AD中点,
所以BEAD.
故图②中,BEAE,
BEDE.
又因为AEIDEE,
A1E,DE平面ADE,
所以BE平面ADE.
又因为BE平面AEB,
所以平面AEB
平面ADE
6分
(n)解:
由
AED90°得AE
DE
又aebe,
BEDE,
因此,建立如图所示的空间直角坐标系
E
xyz.
由AECD
DE1,
得A(o,o,1),
B(1,0,0),C(1,1,0),
D(0,1,0),
uuu
AB(1,0,1)
uuur
,AD(0,1,1),
设平面ABD的法向量为n(x,y,z),
uuu
则nUAB0即xz0令z1得xnAD0,yz0,
1,y1,
所以n
(1,1,1)是平面ABD的一个法向量.
UUU又AC
(1,1,1),
设直线
AC与平面A.BD所成角为
uuu
uuu|nAC|所以sin|cosn,AC|uuu
|n||AC|
1
33
14分
18.(本小题14分)
解:
(I)因为ABCD是正方形,
所以ADACD.
又因为ADAde,DEi平面CDEF,
CDi平面CDEF,CDIDE=D,
所以ADA平面CDEF.
(n)由(I)知,ADa平面CDEF,
所以平面ABCDA平面CDEF.
过点E作EOACD,垂足为O,
则OEa平面ABCD•
在平面ABCD内,过O作OHaCD,
则OEaOH•
如图建立空间直角坐标系O-xyz,
因为AD=4,DE=EF=2,且?
EDC-,所以DO=1,OE=3.
3
则A(4,-1,0),B(4,3,0),C(0,3,0),D(0,-1,0),E(0,0,.3),
uuitun-tut
所以AD=(-4,0,0),AE=(-4,1,.3),BD=(-4,-4,0).
设平面ADE的一个法向量为n=(x,y,z),
令y.3,则x0,z1,于是n=(0,3,-1).
设直线BD与平面ADE所成角为q,
uuu--
|n>BD|436
utur==-
|n||BD|2'4.24
遁
所以直线BD与平面ADE所成角的正弦值为4.10分
(川)棱AB上存在点G,使得MG//平面ADE,此时AG=3•理由如下:
因为DC//AB,DC?
平面ABFE,ABi平面ABFE,
所以DC//平面ABFE•
因为DCi平面DCFE,平面DCFEI平面ABFE=EF,
所以DC//EF•
由(n)知,平面ADE的一个法向量为n=(0,3,-1).
Cl
由三棱柱_■'-,得-'_宀2分
又因为匸是儿二的中点,
所以『「'4分
又因为‘■平面_-,工上二平面-■-,
所以'平面-_6分
(n)因为上丄底面■,-■-->,
所以厂二,匚三,1两两垂直,故分别以工,二,二为轴,
标系,7分
则6叽叭颈鸠叭越2□叭耳W2.2:
),皿切,
轴,三轴,如图建立空间直角坐
所以画Y-2,2,2),宛■①一2问,更・卩,一2,0),
设平面』-丄的法向量―--,
-2r十2$十0,
由画n=D羽上三J得]j-V=
11分
设直线FQ与平面•'上丄所成的角为E,
76
所以直线与平面-'L--所成角的正弦值为14分
20.(本小题满分14分)
因为匸上—平面,二「二,
所以三二_一=,三〔口...1分
因为一匸」二==丄
因为’:
厂,
所以「二丄匸二1..4分
因为,
所以/J1-平面二巳二:
..6分
所以匚匚丄-1.
因为-二丄57,
所以-二;「三「..7分
所以四边形是直角梯形
解2;选择②
因为_匸」:
丄平面丄二
所以砂丄且□,肘丄CD.
..1分
因为一匚工二一二工=J二=二,所以-I--■-.
因为」:
・'•,
所以------.
所以匚匸丄5二.4分
因为’「「厂二匚
所以U—平面己匕;.
所以匚匚丄.口.
.6分
因为占1'平面J,上I二平面」二匚-I-,平面U-平面-J-'三:
亠-
所以-二
所以四边形亠匸」是直角梯形.
.7分
过3作丄二的垂线交三二于点-1-
因为三二丄平面丄」
所以—
.8分
如图建立空间直角坐标系「°
.9分
则1:
1■11■'11'1■1:
因为亡为上上中点,
所以」「
五二0_扌」丄丽二(22.-2),PD=(0r2-2)
所以」^.10分
设平面二匸的法向量为〉[-.■■■<,则
$尸匚=0,厲+,
=即|_2y-2z=0.
令尸=1,则云二1,兀二0.
于是■'ir:
.
设直线上己与平面F匸匸所成的角为二,
.11分
.12分
所以
wmit匸|cos(»,j4£)|=p———r
^AE-卜"1幻恵
———=
72x2百
2
所以直线止E与平面匸〔匸所成角的正弦值为<■
.14分
(I)因为
MA
BC
MA//
PB,
所以
PB
BC,
因为
AB
PB,
ABIBC
B,
所以
PB
平面
ABCD.…
5分
(n)因为
PB
平面
ABCD,
21.(本小题共14分)
证明:
AB平面ABCD,AD平面ABCD,所以PBAB,PBAD.
因为四边形ABCD为正方形,
所以ABBC.
如图建立空间直角坐标系Bxyz.
则P(0,0,2),M(2,0,1),C(0,2,0),D(2,2,0),
uuruuuuuur
PC(0,2,2),PD(2,2,2),PM(2,0,1).
设平面PDM的法向量为u(x,y,z),
uuu
uPD0,2x2y2z0,
则uuu-即
uPM0,2xz0.
令z2,则x1,y1.于是u(1,1,2).
平面PDM的法向量为u(1,1,2).
设直线PC与平面PDM所成的角为
22.(本小题14分)
解:
(I)t平面ABC平面bcc1b1,平面ABCI平面BCC1B1BC
又ABBC,
A,B1//AB,
•AR平面BCC1B1,
BC1平面BCC1B1,
A3BC1?
'BC1平面A1B1C
(有前面的•••,•••才得分)
令x1,得n(1,1,1)
23.(本小题满分14分)
(I)证明:
在直三棱柱-'r-\中,侧面i为矩形.
因为'--"一|工」,二是棱4%的中点,
所以二匚匚和二二二均为等腰直角三角形.
所以―;-:
r'.1/-;-.
因此r'…,即「「.
因为丄二一匸匕,工r」-,
所以■'I平面BCD
因为三二二平面BCD
所以•二一/」
(n)解:
因为-〔—平面」二匚,土二二平面」亡匚,三二二平面」二匚,
所以--,「匚丄一二
又因为■■,所以三二—平面<.
因为二二二平面•厂’,所以三匚丄上匚
以「为原点建立空间直角坐标系,如图所示.
不妨设匸匚=1,
则rI,「丨*,y:
所以「[.I一,[:
_—,[「_,J'一二-设平面.4「一的法向量丹匸•「二,
-2=09
得*
-z-\-y-2z=0
令x=1,则-J'':
I.'j.
设平面T_丄的法向量茁㈡「二,
令x=1,则“|丨:
',.
因为二面角-亠-为锐角,
___7L
所以二面角的大小为二.
6
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