西城区高三二模数学理试题及答案.docx
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西城区高三二模数学理试题及答案
北京市西城区2015年高三二模试卷
数学(理科)2015.5
本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分,第Ⅰ卷1至2页,第Ⅱ卷3至6页,共150分.考试时长120分钟.考生务必将答案答在答题纸上,在试卷上作答无效。
考试结束后,将本试卷和答题纸一并交回。
第I卷(选择题共40分)
1.设集合
,集合
,则A
B=()
A.(-1‚3)B.(1‚3] C.[1‚3)D.(-1‚3]
2.已知平面向量
,
,则实数k=()
A.4 B.-4 C.8 D.-8
3.设命题p:
函数
在R上为增函数;命题q:
函数
为奇函数.则下列命题中真命题是()
4.执行如图所示的程序框图,若输入的
,则输出的s属于()
A.{1‚2}
B.{1‚3}
C.{2‚3}
D.{1‚3‚9}
5.某生产厂商更新设备,已知在未来x年内,此设备所花费的各种费用总和y(万元)与x
满足函数关系
,若欲使此设备的年平均花费最低,则此设备的使用年限x为()
A.3 B.4 C.5 D.6
6.数列
为等差数列,满足
,则数列
前21项的和等于()
A.
B.21 C.42 D.84
7.若“x>1”是“不等式2x>a-x成立”的必要而不充分条件,则实数a的取值范围是()
A.a>3 B.a<3 C.a>4 D.a<4
8.在长方体
,点M为AB1的中点,点P为对角线AC1上的动点,点Q为底面ABCD上的动点(点P,Q可以重合),则MP+PQ的最
小值为()
第Ⅱ卷(非选择题共110分)
二、填空题:
本小题共6小题,每小题5分,共30分.
9.复数
=____
10.双曲线C:
的离心率为 ;渐近线的方程为 .
11.已知角
的终边经过点(-3,4),则cos
= ;cos2
= .
12.如图,P为
O外一点,PA是切线,A为切点,割线PBC与
O相交于点B、C,
且PC=2PA,D为线段PC的中点,AD的延长线交
O于点E.
若PB=
,则PA= ;AD·DE= .
13.现有6人要排成一排照相,其中甲与乙两人不相邻,且甲不站在两端,则不同的排法有
种.(用数字作答)
14.如图,正方形ABCD的边长为2,O为AD的中点,射线OP从OA出发,绕着点O顺
时针方向旋转至OD,在旋转的过程中,记
,OP所经过的在正方
形ABCD内的区域(阴影部分)的面积S=f(x),那么对于函数f(x)有以下三个结论:
①
;
②任意
,都有
③任意
其中所有正确结论的序号是 .
三、解答题:
本大题共6小题,共80分.
解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.
15.(本小题满分13分)
在锐角△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,已知a=
,b=3,
.
(Ⅰ)求角A的大小;
(Ⅱ)求△ABC的面积.
16.(本小题满分13分)
某厂商调查甲、乙两种不同型号电视机在10个卖场的销售量(单位:
台),并根据这
10个卖场的销售情况,得到如图所示的茎叶图.
为了鼓励卖场,在同型号电视机的销售中,该厂商将销售量高于数据平均数的卖场命名
为该型号电视机的“星级卖场”.
(Ⅰ)当a=b=3时,记甲型号电视机的“星级卖场”数量为m,乙型号电视机的“星级卖场”数量为n,比较m,n的大小关系;
(Ⅱ)在这10个卖场中,随机选取2个卖场,记X为其中甲型号电视机的“星级卖场”
的个数,求X的分布列和数学期望.
(Ⅲ)若a=1,记乙型号电视机销售量的方差为s2,根据茎叶图推断b为何值时,s2达
到最小值.(只需写出结论)
17.(本小题满分14分)
如图1,在边长为4的菱形ABCD中,
于点E,将△ADE沿DE
折起到
的位置,使
,如图2.
⑴求证:
平面BCDE;
⑵求二面角
的余弦值;
⑶判断在线段EB上是否存在一点P,使平面
?
若存在,求出
的
值;若不存在,说明理由.
图1图2
18.(本小题满分13分)
已知函数
,其中a
R.
⑴当
时,求f(x)的单调区间;
⑵当a>0时,证明:
存在实数m>0,使得对于任意的实数x,都有|f(x)|≤m成立.
19.(本小题满分14分)
设
分别为椭圆E:
的左、右焦点,点A为椭圆E的左顶点,
点B为椭圆E的上顶点,且|AB|=2.
⑴若椭圆E的离心率为
,求椭圆E的方程;
⑵设P为椭圆E上一点,且在第一象限内,直线
与y轴相交于点Q,若以PQ为
直径的圆经过点F1,证明:
20.(本小题满分13分)
无穷数列P:
,满足
,对于数列P,记
,其中
表示集合
中最小的数.
(Ⅰ)若数列P:
1‚3‚4‚7‚…,写出
;
(Ⅱ)若
,求数列P前n项的和;
(Ⅲ)已知
=46,求
的值.
北京市西城区2015年高三二模试卷参考答案及评分标准
高三数学(理科)2015.5
一、选择题:
本大题共8小题,每小题5分,共40分.
1.B2.D3.D4.A
5.B6.B7.A8.C
二、填空题:
本大题共6小题,每小题5分,共30分.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
注:
第10,11,12题第一问2分,第二问3分;第14题多选、漏选或错选均不得分.
三、解答题:
本大题共6小题,共80分.其他正确解答过程,请参照评分标准给分.
15.(本小题满分13分)
(Ⅰ)解:
在
中,由正弦定理
,………………2分
得
,即
,………………3分
又因为
,
解得
,………………5分
因为
为锐角三角形,
所以
.………………6分
(Ⅱ)解:
在
中,由余弦定理
,………………8分
得
,即
,
解得
或
.………………10分
当
时,因为
,
所以角
为钝角,不符合题意,舍去.………………11分
当
时,因为
,且
,
,
所以
为锐角三角形,符合题意.
所以
的面积
.………………13分
16.(本小题满分13分)
(Ⅰ)解:
根据茎叶图,
得甲组数据的平均数为
,………1分
乙组数据的平均数为
.…………2分
由茎叶图,知甲型号电视机的“星级卖场”的个数
,………………3分
乙型号电视机的“星级卖场”的个数
,
所以
.………………4分
(Ⅱ)解:
由题意,
的所有可能取值为0,1,2,………………5分
且
,
,
,…………8分
所以
的分布列为:
0
1
2
………………9分
所以
.………………10分
(Ⅲ)解:
当b=0时,
达到最小值.………………13分
17.(本小题满分14分)
(Ⅰ)证明:
因为
所以
………………1分
又因为
,
所以
平面
,………………2分
所以
.………………3分
又因为
所以
平面
.………………4分
(Ⅱ)解:
因为
平面
,
,所以
两两垂直,以
分别为
轴、
轴和
轴,如图建立空间直角坐标系,………………5分
易知
则
,
,
,
,
所以
.
平面
的一个法向量为
,………………6分
设平面
的法向量为
由
,
得
令
得
.………………8分
所以
.
由图,得二面角
的为钝二面角,
所以二面角
的余弦值为
.………………10分
(Ⅲ)结论:
在线段
上不存在一点
,使平面
平面
.………………11分
解:
假设在线段
上存在一点
,使平面
平面
.
设
(
),则
,……………12分
设平面
的法向量为
,
由
,
,得
令
,得所以
.………………13分
因为平面
平面
,
所以
,即
,
解得
.
因为
,
所以在线段
上不存在点
,使得平面
平面
.………………14分
18.(本小题满分13分)
(Ⅰ)解:
当
时,函数
,
其定义域为
.………………1分
求导,得
,………………4分
所以函数
在区间
,
,
上单调递减.………………5分
(Ⅱ)证明:
当
时,
的定义域为
.
求导,得
,………………6分
令
,解得
,
,………………7分
当
变化时,
与
的变化情况如下表:
+
0
0
+
↗
↘
↗
………………10分
所以函数
在
,
上单调递增,在
上单调递减.
又因为
,当
时,
;当
时,
,
所以当
时,
;当
时,
.………………12分
记
,其中
为两数
,
中最大的数,
综上,当
时,存在实数
,使得对任意的实数
,不等式
恒
成立.………………13分
19.(本小题满分14分)
(Ⅰ)解:
设
,
由题意,得
,且
,………………2分
解得
,
,
.………………4分
所以椭圆
的方程为
.………………5分
(Ⅱ)解:
由题意,得
,所以椭圆
的方程为
,
则
,
,
.设
,
由题意,知
,则直线
的斜率
,………………6分
直线
的斜率
,
所以直线
的方程为
,
当
时,
,即点
,
所以直线
的斜率为
,………………8分
因为以
为直径的圆经过点
,
所以
.
所以
,………………10分
化简,得
,
又因为
为椭
圆
上一点,且在第一象限内,
所以
,
,
,
由
,解得
,
,………………12分
所以
,………………13分
因为
,所以
,
所以
.………………14分
20.(本小题满分13分)
(Ⅰ)解:
,
,
,
,
.………………3分
(Ⅱ)解:
由题意,
,
,
,
,
因为
,且
,
所以
,且
.………………4分
同理,由
,且
,
得
,且
.
以此类推,得
,
;
;
,
;
因为
,
,
所以
,
,
,
,
………………6分
当
为奇数时,
.………………7分
当
为偶数时,
.
所以数列
前n项的和
………………8分
(Ⅲ)解法一:
考察符合
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