理 阶段质量检测八平面解析几何doc.docx

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理阶段质量检测八平面解析几何doc

阶段质量检测（八）　平面解析几何

（时间120分钟，满分150分）

第Ⅰ卷　（选择题，共50分）

一、选择题（本大题共10小题．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）

1．抛物线y2＝ax（a≠0）的焦点到其准线的距离是（　　）

A.　　　　　　　　　　B.C．|a|D．－

解析：

由已知焦点到准线的距离为p＝.

答案：

B

2．过点A（4，a）与B（5，b）的直线与直线y＝x＋m平行，则|AB|＝（　　）

A．6B.C．2D．不确定

解析：

由题知＝1，∴b－a＝1.

∴|AB|＝＝.

答案：

B

3．已知双曲线－＝1的离心率为e，抛物线x＝2py2的焦点为（e,0），则p的值为（　　）

A．2B．1C.D.

解析：

依题意得e＝2，抛物线方程为y2＝x，故＝2，得p＝.

答案：

D

4．若直线ax＋2by－2＝0（a＞0，b＞0）始终平分圆x2＋y2－4x－2y－8＝0的周长，则＋的最小值为（　　）

A．1B．5C．4D．3＋2

解析：

由（x－2）2＋（y－1）2＝13，得圆心（2,1），

∵直线平分圆的周长，即直线过圆心．

∴a＋b＝1.

∴＋＝（＋）（a＋b）＝3＋＋≥3＋2，

当且仅当＝，即a＝－1，b＝2－时取等号，

∴＋的最小值为3＋2.

答案：

D

5．△ABC的顶点A（－5,0），B（5,0），△ABC的内切圆圆心在直线x＝3上，则顶点C的轨迹方程是（　　）

A.－＝1B.－＝1

C.－＝1（x＞3）D.－＝1（x＞4）

解析：

如图|AD|＝|AE|＝8，|BF|＝|BE|＝2，|CD|＝|CF|，

所以|CA|－|CB|＝8－2＝6.

根据双曲线定义，所求轨迹是以A、B为焦点，实轴长为6的双曲线的右支，方程为－＝1（x＞3）．

答案：

C

6．双曲线－＝1（a>0，b>0）的一条渐近线方程为y＝x（e为双曲线离心率），则有（　　）

A．b＝2aB．b＝aC．a＝2bD．a＝b

解析：

由已知＝e，

∴＝×，∴c＝b，又a2＋b2＝c2，

∴a2＋b2＝5b2，∴a＝2b.

答案：

C

7．抛物线y＝－4x2上的一点M到焦点的距离为1，则点M的纵坐标是（　　）

A.B.C．－D．－

解析：

准线方程为y＝，

由定义知－yM＝1⇒yM＝－.

答案：

C

8．（2009·全国卷Ⅱ）双曲线－＝1的渐近线与圆（x－3）2＋y2＝r2（r>0）相切，则r＝（　　）

A.B．2C．3D．6

解析：

双曲线的渐近线方程为y＝±x即x±y＝0，圆心（3,0）到直线的距离d＝＝.

答案：

A

9．（2009·四川高考）已知双曲线－＝1（b>0）的左、右焦点分别为F1、F2，其一条渐近线方程为y＝x，点P（，y0）在该双曲线上，则

·

＝（　　）

A．－12B．－2C．0D．4

解析：

由渐近线方程y＝x得b＝，

点P（，y0）代入－＝1中得y0＝±1.

不妨设P（，1），∵F1（2,0），F2（－2,0），

∴

·

＝（2－，－1）·（－2－，－1）

＝3－4＋1＝0.

答案：

C

10．（2009·天津高考）设抛物线y2＝2x的焦点为F，过点M（，0）的直线与抛物线相交于A、B两点，与抛物线的准线相交于点C，|BF|＝2，则△BCF与△ACF的面积之比＝

（　　）

A.B.C.D.

解析：

如图过A、B作准线l：

x=—

的垂线，垂足分别为A1，B1，

由于F到直线AB的距离为定值．

∴＝.

又∵△B1BC∽△A1AC.

∴＝，

由拋物线定义＝＝.

由|BF|＝|BB1|＝2知xB＝，yB＝－，

∴AB：

y－0＝（x－）．

把x＝代入上式，求得yA＝2，xA＝2，

∴|AF|＝|AA1|＝.

故＝＝＝.

答案：

A

第Ⅱ卷　（非选择题，共100分）

二、填空题（本大题共5小题．请把正确答案填在题中横线上）

11．若双曲线－y2＝1的一个焦点为（2,0），则它的离心率为________．

解析：

由a2＋1＝4，∴a＝，

∴e＝＝.

答案：

12．已知点（x0，y0）在直线ax＋by＝0（a，b为常数）上，则的最小值为________．

解析：

可看作点（x0，y0）与点（a，b）的距离．而点（x0，y0）在直线ax＋by＝0上，所以的最小值为点（a，b）到直线ax＋by＝0的距离＝.

答案：

13．（2009·福建高考）过抛物线y2＝2px（p>0）的焦点F作倾斜角为45°的直线交抛物线于A、B两点，若线段AB的长为8，则p＝________.

解析：

由焦点弦|AB|＝得|AB|＝，

∴2p＝|AB|×，∴p＝2.

答案：

2

14．直线l的方程为y＝x＋3，在l上任取一点P，若过点P且以双曲线12x2－4y2＝3的焦点为椭圆的焦点作椭圆，那么具有最短长轴的椭圆方程为______________．

解析：

所求椭圆的焦点为F1（－1,0），F2（1,0）,2a＝|PF1|＋|PF2|.欲使2a最小，只需在直线l上找一点P，使|PF1|＋|PF2|最小，利用对称性可解．

答案：

＋＝1

15．过抛物线y2＝2px（p>0）的焦点F的直线l与抛物线在第一象限的交点为A，与抛物线准线的交点为B，点A在抛物线准线上的射影为C，若

＝

，

·

＝48，则抛物线的方程为______________．

解析：

设抛物线的准线与x轴的交点为D，依题意，F为线段AB的中点，

故|AF|＝|AC|＝2|FD|＝2p，

|AB|＝2|AF|＝2|AC|＝4p，

∴∠ABC＝30°，|

|＝2p，

·

＝4p·2p·cos30°＝48，

解得p＝2，

∴抛物线的方程为y2＝4x.

答案：

y2＝4x

三、解答题（本大题共6小题．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）

16．已知：

圆C：

x2＋y2－8y＋12＝0，直线l：

ax＋y＋2a＝0.

（1）当a为何值时，直线l与圆C相切；

（2）当直线l与圆C相交于A、B两点，且AB＝2时，求直线l的方程．

解：

将圆C的方程x2＋y2－8y＋12＝0配方得标准方程为x2＋（y－4）2＝4，则此圆的圆心为（0,4），半径为2.

（1）若直线l与圆C相切，则有＝2.

解得a＝－.

（2）过圆心C作CD⊥AB，则根据题意和圆的性质，

得

解得a＝－7，或a＝－1.

故所求直线方程为7x－y＋14＝0或x－y＋2＝0.

17．过点P（2,4）作两条互相垂直的直线l1、l2，若l1交x轴于A点，l2交y轴于B点，求线段AB的中点M的轨迹方程．

解：

设M的坐标为（x，y），则A、B两点的坐标分别是（2x,0），（0,2y），

连结PM，

∵l1⊥l2，∴2|PM|=|AB|.

而|PM|=

，

|AB|=

∴2

.

化简，得x+2y-5=0即为所求的轨迹方程．

18．（2010·南通模拟）已知动圆过定点F（0,2），且与定直线L：

y＝－2相切．

（1）求动圆圆心的轨迹C的方程；

（2）若AB是轨迹C的动弦，且AB过F（0,2），分别以A、B为切点作轨迹C的切线，设两切线交点为Q，证明：

AQ⊥BQ.

解：

（1）依题意，圆心的轨迹是以F（0,2）为焦点，L：

y＝－2为准线的抛物线．

因为抛物线焦点到准线距离等于4，

所以圆心的轨迹是x2＝8y.

（2）证明：

因为直线AB与x轴不垂直，

设AB：

y＝kx＋2.

A（x1，y1），B（x2，y2）．

由

可得x2－8kx－16＝0，x1＋x2＝8k，x1x2＝－16.

抛物线方程为y＝x2，求导得y′＝x.

所以过抛物线上A、B两点的切线斜率分别是k1＝x1，k2＝x2，k1k2＝x1·x2＝x1·x2＝－1.

所以AQ⊥BQ.

19．给定抛物线C：

y2＝4x，F是C的焦点，过点F的直线l与C相交于A，B两点，记O为坐标原点．

（1）求

·

的值；

（2）设

＝λ

，当△OAB的面积S∈[2，]时，求λ的取值范围．

解：

（1）根据抛物线的方程可得焦点F（1,0），

设直线l的方程为x＝my＋1，

将其与C的方程联立，消去x可得y2－4my－4＝0.

设A，B点的坐标分别为（x1，y1），（x2，y2）（y1>0>y2），

则y1y2＝－4.

因为y＝4x1，y＝4x2，

所以x1x2＝yy＝1，

故

·

＝x1x2＋y1y2＝－3.

（2）因为

＝λ

，

所以（1－x1，－y1）＝λ（x2－1，y2），

即

又y＝4x1，③

y＝4x2，④

由②③④消去y1，y2后，得到x1＝λ2x2，将其代入①，注意到λ>0，解得x2＝.从而可得y2＝－，y1＝2，

故△OAB的面积S＝|OF|·|y1－y2|＝＋，

因＋≥2恒成立，所以只要解＋≤即可，

解之得≤λ≤.

20．已知A、B、D三点不在一条直线上，且A（－2,0），B（2,0），|

|＝2，

＝（

＋

）．

（1）求E点的轨迹方程；

（2）过A作直线交以A、B为焦点的椭圆于M，N两点，线段MN的中点到y轴的距离为，且直线MN与E点的轨迹相切，求椭圆的方程．

解：

（1）设E（x，y），由

＝（

＋

），可知E为线段BD的中点，

又因为坐标原点O为线段AB的中点，

所以OE是△ABD的中位线，

所以|

|＝|

|＝1，

所以E点在以O为圆心，1为半径的圆上，

又因为A，B，D三点不在一条直线上，

所以E点不能在x轴上，

所以E点的轨迹方程是x2＋y2＝1（y≠0）．

（2）设M（x1，y1），N（x2，y2），中点为（x0，y0），椭圆的方程为＋＝1，直线MN的方程为y＝k（x＋2）（当直线斜率不存在时不成立），

由于直线MN与圆x2＋y2＝1（y≠0）相切，

所以＝1，解得k＝±，

所以直线MN的方程为y＝±（x＋2），

将直线y＝±（x＋2）代入方程＋＝1，

整理可得：

4（a2－3）x2＋4a2x＋16a2－3a4＝0，

所以x0＝＝－.

又线段MN的中点到y轴的距离为，

即x0＝－＝－，解得a＝2.

故所求的椭圆方程为＋＝1.

21．（2010·东北四市模拟）已知O为坐标原点，点A、B分别在x轴，y轴上运动，且|AB|＝8，动点P满足

＝

，设点P的轨迹为曲线C，定点为M（4,0），直线PM交曲线C于另外一点Q.

（1）求曲线C的方程；

（2）求△OPQ面积的最大值．

解：

（1）设A（a,0），B（0，b），P（x，y），

则

＝（x－a，y），

＝（－x，b－y），

∵

＝

，∴∴a＝x，b＝y.

又|AB|＝＝8，∴＋＝1.

∴曲线C的方程为＋＝1.

（2）由

（1）可知，M（4,0）为椭圆＋＝1的右焦点，

设直线PM方程为x＝my＋4，

由消去x得

（9m2＋25）y2＋72my－81＝0，

∴|yP－yQ|＝

＝.

∴S△OPQ＝|OM||yP－yQ|＝2×

＝＝＝

≤＝，

当＝，

即m＝±时，△OPQ的面积取得最大值为，此时直线方程为3x±y－12＝0.